(完整)八年级数学上册几何添辅助线专题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之

间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3. 角平分线在三种添辅助线

4. 垂直平分线联结线段两端

5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或

40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线

段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯” 试题）已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是

解：延长AD至 E 使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知

AB-BE <2AD

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线等中线。

BDC

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ ADG 故△ ADB ≌△ ADG ，故有∠ BAD=∠ DAG ，即 AD 平分∠ BAE 、截长补短

BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP

解：（补短法 , 计算数值法）延长 AB 至 D ，使 BD ＝ BP ，连

DP 在等腰△ BPD 中，可得∠ BDP ＝ 40°

例 2、如图，△ ABC 中， E 、F 分别在 AB 、AC 上， DE ⊥DF ， D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 大小 . 解： （倍长中线 ,等腰三角形“三线合一”法 ） 延长 FD 至 G 使 FG ＝ 2EF ，连 BG ，EG, 显然 BG ＝ FC ， EG ＝ EF EG

故： EF

1、如图， ABC 中， AB=2AC ，AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证： CD ⊥AC

解：（截长法）在 AB 上取中点 F ，连 FD

△ ADB 是等腰三角形， F 是底 AB 中点，由三线合一知 DF ⊥ AB ，故∠ AFD ＝ 90°

△ ADF ≌△ ADC （ SAS ）

∠ ACD ＝∠ AFD ＝90°即： CD ⊥

AC

2、如图， AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠ DAB,∠ CBA ， CD 过点 E ，求证 ;AB ＝AD+BC

解：（截长法）在 AB 上取点 F ，使 AF ＝AD ，连 FE

△ ADE ≌△ AFE （ SAS ） ∠ ADE ＝∠ AFE ， ∠ ADE+∠ BCE ＝ 180°

∠ AFE+∠ BFE ＝

180° 故∠ ECB ＝∠ EFB △ FBE ≌△ CBE

（ AAS ） 故有 BF ＝

BC 从而 ;AB ＝ AD+BC

3、如图，已知在△ ABC

内，

BAC 60 ，

C 400 ， P ，Q 分别在 BC ，CA 上，并且

AP ，

从而∠ BDP ＝ 40°＝∠ ACP

△ADP ≌△ ACP （ ASA ） 故 AD ＝ AC 又∠ QBC ＝ 40°＝∠ QCB 故 BQ ＝ QC BD ＝ BP 从而 BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形 ABCD 中， BC > BA,AD ＝ CD ，BD 平分 ABC ，

求证： A C 1800 解：（补短法）延长 BA 至 F ，使 BF ＝ BC ，连 FD △BDF ≌△ BDC （ SAS ） 故∠ DFB ＝∠ DCB ，FD ＝ DC 又 AD ＝ CD 故在等腰△ BFD 中 ∠DFB ＝∠ DAF 故有∠ BAD+∠ BCD ＝ 180° C 5、如图在△ ABC 中， AB > AC ，∠ 1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证 ;AB-AC >PB-PC 解：（补短法）延长 AC 至 F ，使 AF ＝ AB ，连 PD △ABP ≌△ AFP （ SAS ） 故 BP ＝ PF

由三角形性质知 PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应用：

D

分析： 此题连接 AC ，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等

边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 解：有 BC AD AE 连接 AC ，过 E 作EF//BC 并AC 于 F 点 则可证 AEF 为等边三角形 即 AE EF ， AEF AFE 60 ∴ CFE 120 又∵

AD //

BC ，

B 60

∴ BAD 120 又∵ DEC 60 ∴ AED FEC 在 ADE 与 FCE 中

EAD CFE ， AE EF ， AED ADE FCE FEC

∴ AD FC

∴ BC AD AE

点评： 此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角 形的性质解决。

、平移变换

例 1 AD 为△ ABC 的角平分线，直线 MN ⊥AD 于 A.E 为 MN 上一点，△ ABC 周长记为 P A ，△

EBC 周长记为

P B . 求证 P B > P A .

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ ABC的角平分线, MN ⊥AD 知∠

FAE＝∠ CAE 故有

△FAE≌△ CAE( SAS)

故EF＝CE

在△ BEF中有：

BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 证明（角平分线在三种添辅助线, 计算数值法）∠B=60 度, 则∠ BAC+∠BCA=120 度;

从而

P B=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC P+A BC=

例 2 如图，在△ ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

证明：取BC 中点M,连AM 并延长至N,使MN=AM, 连BN,DN. AD,CE 均为角平分线,

则∠ OAC+ ∠OCA=60 度=∠AOE=∠COD;

∠ AOC=120 度.

在AC 上截取线段AF=AE, 连接OF.

又AO=AO; ∠ OAE= ∠ OAF .则

⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;

∠AOF= ∠AOE=60 度.

则∠ COF= ∠AOC- ∠AOF=60 度=∠COD;

又CO=CO; ∠OCD= ∠OCF.

故⊿ OCD ≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ ABC中，AD平分

∠

C

BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于

E，

DF⊥ AC于

F.

1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE、BE的

长.

∵BD=CE,

∴DM=EM,

∴△ DMN ≌△ EMA(SAS),

∴DN=AE, 同理BN=CA.

延长ND 交AB 于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP, 得BN+AB>DN+AD, ∴

AB+AC>AD+AE 。

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE 相交于点O，求证：OE=OD，解：（垂直平分线联结线段两端）连接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠ BAC，DE⊥ AB于E，DF⊥ AC于

F，故有

ED＝DF

故RT△DBE≌

RT△DFC(HL)

F

DC+AE =AC 故有BE＝

CF。

AB+AC＝

2AE

AE＝( a+b)/2

BE=(a-b)/2

应用：

1、如图①，OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°， AD 、CE 分别是∠ BAC 、∠BCA 的

平分线， AD 、CE 相交于点 F 。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；

2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 （1）中的其它条件不变，请问，你

（方法二）过 A 作 AE ⊥BC 于 E （过程略）

（方法三）取 BC 中点 E ，连结 AE （过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ ABC 中，AB = AC ，D 为 BC

⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ， 求证：DE = DF 证明：连结 AD.

∵ D 为 BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC

∴AD 平分∠ BAC

在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请

证明；

F

解：

（1） （2）答： 证法一： ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图， AB = AC ，BD ⊥AC 于 D ， 求证：∠ BAC = 2∠DBC

1

证明：（方法一）作∠ BAC 的平分线 AE ，交 BC 于 E ，则∠1 = ∠2 = 1

∠BAC

（第 23 题图 ）

FE 与 FD 之间的数量关系为 FE FD （1）中

的结论 FE FD 仍然成立。 如图 1，在 AC 上截取 AG AE ，连结 FG 2 ， AF 为公共

边， 又∵AB = AC ∴AE ⊥BC

∴∠ 2＋∠ ACB = 90o ∵BD ⊥AC

∴∠ DBC ＋∠ ACB =

90o

∴∠2 = ∠DBC

∴∠BAC = 2∠DBC 证法二： ∴可得 如图 2，过点 F 分别作 60 ，AD 、CE 分别是 2 3 60 ， F 是

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF GEF 60 1， FH 又∵ HDF B 1 ∴ GEF HDF ∴可证 EGF DHF BC 于点 H

FG BAC

、

图2

AB 于点 G ， FH

BCA 的平分线

∴ FE FD

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ ABC 中， AB = AC ，在 BA 延长线

和 AC 上各取一点 E 、F ，使 AE = AF ， 求证： EF ⊥BC

证明：延长 BE 到 N ，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN

= AC ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠ B ＋∠ ACB ＋∠ ACN ＋∠ ANC = 180o ∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o

有等腰三角形时常用的辅助线

AEF AGF

中点， DE

∴ AFE AFG ， FE FG

∵ B 60 ， AD 、CE 分别是 BAC 、 ∴ 2 3 60

∴ AFE CFD AFG 60 ∴ CFG 60

∵ 3 4 及 FC 为公共边 ∴ CFG CFD ∴ FG FD ∴ FE FD

图1

证明：(证法一)过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠ B

∠ AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE

=∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠ AFE

＋∠AEF＋∠ AED＋∠ ADE = 180 ∴2∠AEF＋

2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ ABC中，AB = AC，D 在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：(证法一)过D作DN∥ ∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵ AB = AC，

∴∠B = ∠ACB ∴∠B

=∠DNB ∴ BD = DN 又

∵BD = CE ∴ DN = EC

在△ DNF和△ ECF中

∠ 1 = ∠ 2 ∠ NDF =∠E

DN = EC ∴△ DNF≌△

ECF

∴ DF = EF

（证法二）过E作

EM∥AB交BC延长线于M,则

∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一

腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD= AE，

连结DE

求证：DE⊥BC

又∵EF∥BC

∴DE⊥BC

（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于

N，（过程略）（证法三）过点A 作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常

将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 ------ 等边三角形

例：已知，如图，△ ABC中，AB = AC，∠ BAC = 80o ,P 为形内一点，若∠ PBC = 10o∠PCB = 30o求∠ PAB的度数. 解法一：以AB为一边作等边

三角形，连结CE

则∠BAE =∠ABE = 60o

AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC ∠ABC =∠ACB

∴∠ AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠ BAE o o o

= 80 o－60o = 20 o

1o

∴∠ACE= (180 o－∠ EAC)= 80∵∠

1 o o

ACB= (180 o－∠ BAC)= 50o

∴∠BCE =∠ACE－∠ ACB

= 80 o－50o = 30 o

∵∠ PCB = 30o

∴∠ PCB = ∠BCE

∴∠ BCA＋∠ ACN = 90o 即

∠BCN = 90o

∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠ BAC = ∠AEF ＋

∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠

ANC ∴∠BAC =2∠AEF =

2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

E

E

∴△ PBC≌△ EBC

∴BP = BE

∵AB = BE

∴AB = BP ∴∠ BAP =∠ BPA ∵∠ABP

=∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40

1 o o

∴∠PAB = (180 o－∠ ABP)= 70o

解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形△ BCE，连结AE,则EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o

∵EB = EC

∴E 在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线

上∴EA所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥BC

1o

∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB

2

由解法一知：∠ ABC = 50o

∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC

∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△

ABE≌△ PBC

∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠ PBC = 50o－10o = 40 o

1 o 1 o o o

∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180 o－40o)=

70 o

解：连结CD

∵∠ ECD＋∠ BDC=∠B＋∠E

=180°－∠ BOE=180 °－∠ COD

∴∠ A ＋∠ B＋∠ ACE ＋∠ ADB＋∠ E

=∠ A ＋∠ ECD ＋∠ BDC ＋∠ACE＋∠ADB =∠A＋(∠ ECD＋∠ ACE )＋(∠ BDC ＋∠ ADB ) =∠A＋

∠ ACD＋∠ ADC

=180°

2. 如图，已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中

线，交AC 于 F 。求证：AF=EF 。

解：延长AD 至G ，使DG=AD ，连结BG ∵

BD=DC ，∠ BDG= ∠ADC

∴△ BGD ≌△ CAD

∴ BG=AC=BE ，∠ G= ∠CAD

∴∠ G=∠ BEG= ∠ AEF

∴∠ AEF= ∠CAD ∴ AF=EF

3. 已知 E 是正方形ABCD 边CD 上的中点，

点求证：AF=AD ＋CF。

解：过 E 作EG⊥ AF 于G

∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∴∠EBC= ∠ABE－∠ ABC =10o

∵∠ PBC = 10o

∴∠ PBC = ∠EBC 在△ PBC和△ EBC中

∠PBC = ∠EBC

BC = BC

∠PCB = ∠BCE ∠ABE= 60o

= 60 o－

50o

1. 如图，求∠ A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数。

E是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE

F 在BC 上，且∠ DAE= ∠ FAE。