九年级数学中位线画相似图形图形与坐标华东师大版知识精讲

九年级数学中位线、画相似图形、图形与坐标华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§24.4—24.6 中位线、画相似图形、图形与坐标二. 学习目标：（1）理解三角形、梯形的中位线定义与性质，会应用三角形、梯形中位线解决实际问题；（2）了解位似图形及其有关概念，能利用位似的方法将一个图形放大或缩小；（3）会用平面直角坐标系来确定地理位置，体会直角坐标系的作用；（4）理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上的点的坐标的某种变化引起的图形变换，并应用于实际问题中。

三. 重点、难点：1. 重点：（1）三角形、梯形中位线定理；（2）能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小；（3）掌握利用直角坐标系确定地理位置；（4）图形坐标变化与图形变换之间的关系。

2. 难点：（1）三角形中位线定理的形成和应用；（2）怎样利用位似方法画相似图形；（3）怎样应用直角坐标系来确定地理位置也就是如何建立适当的坐标系；（4）图形坐标变化与图形变换规律的探究。

四. 知识梳理：1. 三角形、梯形中位线（1）三角形的中位线定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

①三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形；②要注意三角形的中线与中位线的区别。

中线是从顶点到对边中点的连线；中位线是两边中点的连线。

（2）三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

利用三角形的中位线性质可以说明两条直线平行；也可以说明线段的倍分关系。

（3）梯形的中位线的定义连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，值得注意的是梯形的中位线只有一条；连结两底中点的线段不是梯形的中位线。

（4）梯形中位线的应用：可以说明线段平行；可以说明线段的等量关系；梯形的面积等于中位线与高的积。

三角形、梯形中位线定理第一部分讲位置关系；第二部分讲数量关系。

中位线的应用极其广泛，如用在证明线段平行，角的和、差、倍、分等问题上。

在实际问题中常过一边的中点作另一边的平行线从而运用中位线定理解决问题。

2. 位似图形的有关概念（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫位似，这一点叫位似中心。

位似变换是相似变换的特例，位似形一定是相似形，但相似形不一定是位似形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。

位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点(位似中心)，该点可在两个图形的两侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点。

如图：由位似图形的定义不难得出位似图形的一条性质：位似图形上任意一对对应点到位似中点的距离之比等于位似比。

（2）作位似图形的方法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连结各点，即得到放大或缩小的图形(注意“放大”与“放大到”等说法的区别)。

位似是新课标中新增添的内容，要求掌握用多种方法将一个图形放大或缩小。

3. 图形与坐标（1）确定物体位置的方法①以点的坐标确定点的位置；②用一个角度和一个距离表示点的位置，如：点B在点A的北偏东60°方向上，且距点A 30m。

③用经度及纬度确定点的位置；④其他方式，如国际象棋竖条用字母，横条用数字表示，中国象棋用一、二、三……和1、2、3……以及平、进、退来表示点的位置，等等。

有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置。

例如：用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示。

同时，我们还可用一个角度和距离来表示一个点的位置。

这种方式在军事和地理中较为常用。

（2）图形的平移、旋转、对称、放大或缩小等变化中点的坐标的变化规律到目前为止，我们已经学过了平移、旋转对称、相似等变换，图形经过这些变换后，对应顶点的坐标也会随之变化，有的横坐标变化，而纵坐标不变，也有的横坐标不变，纵坐标变化。

①平移：水平方向平移，图形各顶点的纵坐标不变，沿铅直方向平移，图形各顶点的横坐标不变；②旋转：先找准旋转中心及旋转方向与旋转的角度，再观察旋转后与旋转前点的变化情况；③对称：关于x 轴对称的图形横坐标不变，关于y 轴对称的图形纵坐标不变，关于原点对称的图形，图形的横坐标与纵坐标互为相反数。

④位似变换：将已知图形放大或缩小，应运用网格法求点的变化坐标，或运用相似三角形的方法求变化后的图形坐标。

学习本节内容，应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起。

【典型例题】例1. 如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

例2图QPM D CBA分析：角平分线与垂直结合，这是一个基本图形，注意构造等腰三角形。

解答：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。

PM ＝6例2. 已知第一个三角形的周长为a ，它的三条中位线组成第二个三角形；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依此类推，第二○○七个三角形的周长是多少？分析：先探究第二个三角形的周长与第一个三角形周长的关系，再探究第三个三角形的周长与第一个三角形周长的关系，从而发现寻找规律。

解：∵第二个三角形的每边长为第一个三角形每边长的一半，• ∴第二个三角形的周长为第一个三角形周长的一半，第三个三角形的周长为第二个三角形周长的一半，即是第一个三角形周长的212。

依此类推，第n 个三角形的周长为第一个三角形周长的112n ， 故第二○○七个三角形的周长为200612a 。

例3. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 、的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？分析：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。

猜想探索得到的四边形的形状，由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？解答：连结AC，由已知条件可得EF与HG分别是△ABC与△ACD的中位线，根据三角形中位线定理，可得EF∥AC，EF=12AC，同理：HG∥AC，HG=12AC 所以EF平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形。

例4. 如下图：E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝)(21CDAB+，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。

解析：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥21CD，FG∥21AB，∴EG＋FG＝)(21CDAB+，即EG＋FG＝EF，则G点在EF上，EF ∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。

（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。

点拨：利用中位线构造出21CD、21AB，其关键是连AC，并取其中点G。

例5. 如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于( )A、4B、6C、8D、10解析：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EO//AD，可得△BOE∽△BDA，相似比为12，∴O是BD的中点，∴EO是△BAD的中位线，同理可得：OF是△BDC的中位线，∴EO=12AD ，OF=12BC ，又FO －EO=3 ∴12BC －12AD=3，即BC －AD=6， 故选B例6. 如图，请用位似的方法把下面的图形放大一倍。

分析：根据位似的概念，先确定位似中心，再依据相似形的性质，把对应线段放大一倍。

解：如图1、任取一点O ；2、以点O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD ；3、分别在射线OA 、OB 、OC 、OD 上，取点D C B A ''''、、、， 使2:,2:,2:,2:='='='='OD D O OC C O OB B O OA A O ；4、连结A D D C C B B A '''''''',,,，得到所要画的多边形D C B A ''''。

例7. 如图，已知O 是四边形ABCD 的一边AB 上的任意一点，EH ∥AD ，HG ∥DC ，GF ∥BC 。

试说明四边形EFGH 与四边形ABCD 是否相似，并说明你的理由。

分析：通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH ∽四边形ABCD ，关键是如何说明两者是相似的。

三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可。

从EH ∥AD 、HG ∥DC 、GF ∥BC 可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想。

解答：四边形EFGH ∽四边形ABCD 。

理由：因为EH ∥AD ，所以△OEH ∽△OAD ，所以∠1=∠A ，∠2=∠3，OD OHAD EH OA OE ==， 又因为HG ∥CD ，所以△OHG ∽△ODC ，所以∠4＝∠5，∠6＝∠7，OCOGDC HG OD OH ==，所以∠2+∠4＝∠3+∠5，即∠EHG ＝∠ADC 。

因为GF ∥BC ，所以△OFG ∽△OBC ，所以∠8＝∠9，∠10＝∠B ，OBOFBC FG OC OG ==，所以∠6+∠8＝∠7+∠9，即∠HGF ＝∠DCB ，所以k AD EHOB OF OA OE ===， 所以OE ＝k ·OA ，OF=K ·OB ，所以()ADEHk OB OA OB OA k OB OA OF OE ==++=++ 所以∠1＝∠A ，∠EHG ＝∠ADC ，∠HGF ＝∠DCB ，∠10＝∠B ，BCGFDC HG AD EH AB EF ===。

所以四边形EFGH ∽四边形ABCD 。

例8. 下图是某市旅游景点的示意图。

试建立直角坐标系， 用坐标表示各个景点的位置。

解析：直角坐标系位置不同，各景点的坐标也不相同。

如以中心广场为原点建立坐标系，答案如下：以中心广场为原点建立坐标系，如图，则各景点坐标依次为：雁塔(－2，4)；钟楼(－4，2)，大成殿(－3，－1)；科技大学(－5，－4)；碑林(4，4)；映月湖(4，－3)。

例9. 下图中，矩形ABCD 沿y 轴向上平移3个单位后，得到矩形D C B A ''''。

四个顶点的坐标有什么变化呢?若矩形D C B A ''''再沿x 轴方向向右平移6个单位后，得到矩形1111D C B A ，四个顶点的坐标又有什么变化呢?分析：关键是搞清平移的方向。