九年级数学相似图形的性质同步练习
人教版九年级数学 下册 27.1图形的相似 同步练习 有答案
27.1图形的相似一选择题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是()A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，32．下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．两个菱形D．两个正五边形3．下列图形是相似图形的是()A．两张孪生兄弟的照片B．一个三角板的内、外三角形C．行书中的“美”与楷书中的“美”D．在同一棵树上摘下的两片树叶4．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°5．一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为()A．6 B．8 C．10 D．126．用放大镜看四边形ABCD.若四边形的边长被放大为原来的10倍，则下列结论正确的是()A．放大后的∠B是原来的10倍B．两个四边形的对应边相等C．两个四边形的对应角相等D．以上选项都不正确7．下列各选项中的两个图形是相似图形的是()8．宽与长的比是215(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图27－1－7，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F 为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则下列矩形是黄金矩形的是()A．矩形ABFE B．矩形EFCDC．矩形EFGH D．矩形DCGH二填空题1.如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是__________．（只要写出一种）2.如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD＝2m，BD＝3m，CE＝9m，则河宽DE为___________3.一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为_________m2．4.如图，点P是RtΔABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作___________条．三解答题1.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．2.如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．3.已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF 是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．4.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.参考答案一 选择题BDBCBCDD二 填空题1.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB ；2.6m ；3.0.2；4.3三 解答题1.梯子长为440cm2.CO=103.35cm DO=55.65cm3.周长之比=3:2:5 面积之比=9:4:254.点P 的位置有三处,即在线段AB 距离点A 1、514、6 处.。
人教版九年级数学下册图形的相似同步练习【新审】
图 27.1－6
6.如图 27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中 .
图 27.1－7 7.如图 27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边 度数 .
x、 y、z 的长度和∠ α、∠β的
图 27.1－8
二、综合 ?应用达标 8.矩形相框如图 27.1－9 所示，图中两个矩形是否相似 ?
思路解析： 要解决此类问题 ,应先统一单位 (当四条线段的长度单位不相同时 )，把它 们 按从小到大 ( 或从大到小 )的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条 与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、 四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例 . 解： (1)四条线段按从小大的顺序排列为 3，4，5，7. ∵ 3×7≠4×，５即 3∶ 4≠５∶7， ∴ 3 cm,4 cm,5 cm,7 cm这四条线段不成比例 . (2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为 12，15， 40，50. ∵ 12×50=15×40，即 12∶15=40∶50， ∴ 12 mm,5 cm,15 mm,4 cm这四条线段成比例 . (3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为 5，10， 10，20. ∵ 5×20=10×10，即 5∶ 10=10∶20， ∴ 5 mm,1 cm,10 mm,2 cm这四条线段成比例 . 10.试将一个正方形纸片 (如图 27.1－10)分割为 8 个相似的小正方形 .
图乙
图 1(1 阶)
图 2(2 阶)
图 3(3 阶)
思路解析： 本题是阅读理解题， n 阶分割实际是把原三角形分为 4n 个相同的小三角
初中数学图形的相似练习题及参考答案
初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。
在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。
题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。
若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。
解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。
即AB/DE=BC/EF。
代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。
题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。
设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。
题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。
如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。
解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。
设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。
题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。
设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。
北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质 同步练习(含答案)
4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）A．36°B．117°C．143°D．153°4．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A．16：81 B．4：9 C．9：4 D．2：35．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（）A．5 B．C．5或D．66．两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为（）A．10和14 B．9和15 C．8和16 D．11和137．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，6cm，另一个三角形的最短边长为4cm，则它的最长边长为（）A．B．8cm C．D．12cm8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（）A．2 B．C．3或D．3或9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8二．填空题11．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是．12．△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为．13．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为．14．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝．15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC 的面积为．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC （点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是△ABC的子三角形．（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°，若BE＝，求CF和AD的长．参考答案1．A2．A3．D4．D5．B6．B7．B8．D9．A10．B11．16或112．1：213．2414．15．1016．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE，∴△DAF≌△EBD≌△FCE，∴DE＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝∠B＝∠A＝60°，∴△DEF∽△ABC．∴△DEF是△ABC的子三角形．（2）如图2中，作EH⊥AB于H．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵△DEF是△ABC的子三角形，∴△DEF∽△ABC，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF+∠EDH＝90°，∴∠EDH＝∠AFD，∵∠DHE＝∠A＝90°，∴△DEH≌△DF A，∴AD＝HE，∵△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝×＝1，∴AD＝1，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∵∠B＝∠DEF＝45°，∴△BDE∽△CEF，∴＝＝，∴CF＝2．。
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质与判定》同步练习(含答案)
相似三角形的性质与判定一 、填空题1.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．2.如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．二 、解答题3.已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=4.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．5.已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE的中点，求证：4321EAD BCFDCBAD CB A22AB BMAC CM=6.已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．7.如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY于P 、Q . ⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值8.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2BP PE PF =⋅．9.如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和MD MED CBADCBA4321F EDCB A QPYXOAF PEDCBABC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=．10.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ． 求证：AC FABC FD=．11.如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=12.如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．PEDCBA321FD E C BAD CB ADOECB A相似三角形的性质与判定答案解析一 、填空题1.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．2.3:5;过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．二 、解答题3.过C 作CE AD ∥交直线AB 于EHFCBD AE∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =， 由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BDAE CD=，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． 4.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证． 解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD ADBC BM=和BD ADBC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证． （本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠，EDCBANMDCBAF 4321EDCB A∴60BAD CAD ∠=∠=︒ ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=︒ ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BDAC BC=∴1DE AE CD BDAB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD +=5.连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=︒，ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ∆∆∽， ∴AB BM AC AM =，AB AMAC CM=∴22AB BM AC CM=． 6.在ABC ∆外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠， 又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ∆∆∽ ∴AE ABAC AD=，即AE AD AB AC ⋅=⋅，① 由AEB ADC ∆∆∽可得：ACD E ∠=∠， 又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ∆∆∽， ∴DA DE DC DB ⋅=⋅，②-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ⋅⋅⋅-⋅-=∴()AD DE AD DC DB AB AC -=⋅-⋅，即2AD BD CD AB AC =⋅-⋅ 7.⑴ 方法一：过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF的延长线于点K .∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥⇒=KP PA KP OY QE AQ ⇒=∥，KP PFOE OF =∴KP PF =，KP PF PAQE QE AQ==∵PA OPXOA YOA AQ OQ∠=∠⇒=∴PF OP PF QEQE OQ OP OQ=⇒=∵1OF OP OF PFOP OP OP --==，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OEOP OQ OP OQ-=-⇒+= ∴112OP OQ OE+=因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11OP OQ+是定值. 方法二：过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，易证得：AM OM =设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴a PMOQ OP=，即a OP a OQ OP -=， 整理得：111OQ OP a+=， KQ FE P YXOAa aYX M PQOA∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴11OQ OP+为定值. ⑵ 因为222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-⋅，其中11OP OQ+为定值，要使2211OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ⋅的值最小. 而()()OP OQ OF PF OE EQ ⋅=+⋅-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -⋅-⋅ 又PF OPEQ OQ=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -⋅-⋅=⋅-⋅=-⋅≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ⋅有最小值2OE . 此时2211OP OQ +有最小值22OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 8.连接CP ，由CF AB ∥， ∴1F ∠=∠，再证明APB APC ∆∆≌可得12∠=∠（也可以由AB AC PB PC ==，，于是ABC ACB PBC PCB ∠=∠∠=∠，， 等量减等量便可得12∠=∠） 又∵CPE FPC ∠=∠， ∴CPE FPC ∆∆∽， ∴2PC PE PF =⋅， 又∵PC PB =， ∴2PB PE PF =⋅．9.过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽，21F P EDC BA∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．10.∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =， ∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴13∠=∠， 又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFD CD=， 又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，， ∴ABC ACD ∆∆∽， ∴AD ACCD BC =， ∴AC FABC FD=． 11.过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥，4321MPE D CBA∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．12.∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OAOA OC =， ∴OD OA OB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥．321ED CBA。
北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案
北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.两个相似三角形的对应边之比为3∶4,那么它们对应高线的比为()A.√3∶4B.3∶4C.√3∶2D.2∶√32.已知△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为()A.2B.3C.6D.543.已知两个相似三角形的相似比为2∶3,则它们的面积比为()A.2∶3B.4∶9C.3∶2D.√2∶√34.如图,△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是()A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶25.若相似三角形对应角平分线的比为3∶2,则它们对应中线的比为.6.已知△ABC的三边长分别为√2,√6,2,△A'B'C'的两边长分别是1和√3,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是√2.7.两个相似三角形的面积之比为1∶2,则相似比为√2.【能力巩固】8.如图,△AOB∽△COD,OA∶OC=9∶7,∠A=x°,∠C=y°,△AOB与△COD的面积分别是S1和S2,△AOB与△COD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.BO=9CDB.7x=9yC.7S1=9S2D.7C1=9C29.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点的值为.上.设△ABC的面积为S1,△DEF的面积为S2,则S1S210.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是DE的中点,CM的延长线交边AB于点的值为.N,那么S△DMNS四边形DBCM11.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有()A.2个B.3个C.4个D.5个12.已知△ABC∽△A'B'C',它们的周长之差为20,面积比为4∶1,求△ABC和△A'B'C'的周长.【素养拓展】13.如图,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.(1)求证:△OCP∽△PDA.(2)若△OCP与△PDA的周长之比为1∶2,求边AB的长.参考答案【基础达标】1.B2.C3.B4.B5.3∶26.√27.1∶√2【能力巩固】8.D9.1210.11511.C12.解:∵△ABC∽△A'B'C',面积比为4∶1∴相似比为2∶1,周长比为2∶1.∵周长比相差1,而周长之差为20∴每份周长为20∴△ABC的周长是2×20=40,△A'B'C'的周长是1×20=20.【素养拓展】13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B∴∠APO=90°,∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC∴△OCP∽△PDA.(2)∵△OCP与△PDA的周长之比为1∶2∴OPPA =CPDA=12,∴DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,CB=8.设OP=x,则OB=x,CO=8-x.在Rt△PCO中,∠C=90°,CP=4,OP=x 则OB=x,CO=8-x∴x2=(8-x)2+42,解得x=5.∵OPPA =12,∴AB=AP=2OP=10∴边AB的长为10.。
人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质同步测试及答案【新】
相似三角形的性质1. 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )A ．4∶3B ．3∶4C ．16∶9D ．9∶162. 如图27－2－41，AB ∥CD ，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )图27－2－41A.25B.32C.49D.233．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( A )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∴AD AE ＝AB AC，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误．5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．6 3【解析】 作DF ⊥BC 于F ，∵边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，∴DE ＝2，BD ＝2，∠B ＝60°，∴BF ＝1，DF ＝BD 2－BF 2＝22－12＝3，∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12×3×(2＋4)＝3 3.故选B. 6．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( A )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6【解析】 ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴AB DE ＝AC DF＝2，又∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的周长为16×12＝8，△DEF 的面积为12×14＝3. 7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )图27－2－44A ．1∶ 3 B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶48．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C ′的周长为__8__.【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4，∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43＝8. 9．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1，的面积之比为9∶1.10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__．11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S (甲同学的视线起点C 与点A 、点S 三点共线)．经测量：AB ＝1.2米，BC ＝1.6米． (圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)解：如图，取圆锥底面圆圆心O ，连接OS ，OA ， 则∠O ＝∠ABC ＝90°，OS ∥BC ，∴∠ACB ＝∠ASO ，∴△SOA ∽△CBA ，∴OS BC ＝OA AB ，即OS ＝OA ·BC AB. ∵OA ＝34.542π≈5.5，BC ＝1.6，AB ＝1.2， ∴OS ≈5.5×1.61.2≈7.3， ∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．12. 已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的周长＝12×23＝8(cm)； (2)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．13．如图27－2－47，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，AD ＝1，BC ＝4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于( D )图27－2－47A.12B.14C.18D.11614．如图27－2－48，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 解：(1)证明：∵DC ＝AC ，∴△ACD 为等腰三角形．∵CF 平分∠ACD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC .(2)由(1)得EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD . ∵EF BD ＝12，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4， ∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝ 3∶4.∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92. 15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．图27－2－49(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝AE ， ∠EAC ＝∠ECA .∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAD ＝∠CAB .∴∠DAC ＝∠ECA .∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF.∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×6＝3. 又∵AD ＝4，由AD CE ＝AF CF 得43＝AF CF， ∴AF AC ＝47. ∴AC AF ＝74.16. 已知：如图27－2－50，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F .求证：BP 2＝PE ·PF .图27－2－50证明： 连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴．∴PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP (两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE ＝∠PFC .又∵∠CPE ＝∠EPC ，∴△EPC ∽△CPF . ∴PC PE ＝PF PC(相似三角形的对应边成比例)．∴PC 2＝PE ·PF .∵PC ＝BP ，∴BP 2＝PE ·PF .17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图1)，连结AO 并延长交BC 于D ，证明：AO AD ＝23； (2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图2)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB ，AC 相交于G ，H (均不与△ABC 的顶点重合)(如图3)，S 四边形BCHG .S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究S 四边形BCHG S △AGH的最大值．图27－2－51解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，连接DE ，则DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴△EDO ≌△BAO ，∴DO AO ＝DE AB ＝12，∴AO AD ＝23.(2)是，证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ，则△AOE ∽△ADF ， ∴AE AF ＝AO AD ＝23，∴AE ＝2EF ，又∵△CDF ∽△CBE ，∴CF CE ＝CD CB ＝12， ∴EF ＝FC ，∴AE ＝CE ，即点E 为AC 中点，∴点O 为△ABC 的重心．(3)54.。
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
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24.2 相似图形的性质同步练习
1、请看下图，并回答下面的问题：
（1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？
2、生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例。
3、在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多开头相同的图形，下图形状相同的图形分别是、、、、（填序号）
4、 如右图，放大镜中的三角形与原三角形具有怎样的关系？
5、提高：在直角坐标系中描出点O (0，0)、A (1，2)、B (2， 4)、C (3，2)、D (4，0).先用线段顺次连接点O, A 、B,C, D ，然后再用线段连结A 、C 两点． （1）你得到了一个什么图形？
（2）填写表1，在直角坐标系中描出点O,、1A 、1B 、1C 、1D ，并按同样的方式连结各点．你
得到一个什么图形？
填写表2，你又得到一个什么图形？
填写表3呢？
（3）在上述的图个图形中，哪两个图形的形状相同？
6、下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应用有怎样的关系？对应边呢？
（1） 正三角形ABC 与正三角形DEF ； （2） 正方形ABCD 与正方形EFGH 。
7、（1）观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？为什么？图（2）中的两个图形呢？与同伴交流。
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？
8、如图，3
5'
'
'
=
=
=
BC
BC AC
AC AB
AB ,且AB=8cm ，BC=10cm ，AC=7cm ，则△A '
'C B 的周长=
cm ．
9、如图,D 、E 分别在AB 、AC 上，则
2
1==EC
AE DB
AD ，则
=AB
BD ，
AC
CE = ，
AB
AD = ,
AC
AE = 。
10、已知，如图，EC
AE DB
AD =，且AE=8，AC=10，AD=12，求BD 、AB 的长。
11、如图，D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，且4
3=
=
=
AB
DE AC
CE CB
DC ，△DEC 的周长为18cm ，
求△ABC 的周长。
7、课后提高：
（1） 下面有两个短形相似，求它们的对应边的比。
（2） 如图，两个正六边形的边长分别为a 和b ，它们相似吗？为什么？
（3） 如图，短形草坪长20m ，宽10m ，沿草坪四周有1m 宽容环形小路，小路内外边缘所
的矩形相似吗？。