2014年湖南省湘西自治州中考数学试卷(有答案)
2023年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析)
2023年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2023的相反数是( )A. −2023B. 2023C. −12023D. 120232. 今年五一假期，湘西州接待游客160.3万人次，实现旅游收入1673000000元，旅游复苏形势喜人将1673000000用科学记数法表示为( )A. 16.73×108B. 1.673×108C. 1.673×109D. 1.673×10103. 下列运算正确的是( )A. (−3)2=3B. (3a)2=6a2C. 3+2=32D. (a+b)2=a2+b24. 已知直线a//b，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放.若∠1=40°，则∠2的度数是( )A. 40°B. 50°C. 140°D. 150°5. 某校九年级科技创新兴趣小组的7个成员体重(单位：kg)如下：38，42，35，40，36，42，75，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 42，36B. 42，42C. 40，40D. 42，406. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是( )A.B.C.D.7. 不等式组{x −1<21−x <4的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.8. 七边形的内角和是( )A. 1080°B. 900°C. 720°D. 540°9. 如图，点A 在函数y =2x(x >0)的图象上，点B 在函数y =3x(x >0)的图象上，且AB //x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为C ，D .若AB =10，PC =12，则sin ∠CAD 等于( )A. 125B.1312C. 135D. 1213二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 在实数3，−2，1，2中，最小的实数是______ ．212. 若二次根式2x−10在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．13. 分解因式：2x2−2=______ ．14. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是______ ．15. 在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b=______ ．16. 已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1.则另一个根x2=______ ．17. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8，AD=DE=10，则B F的长为______ ．18. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP+12BP的最小值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。
2022年湖南省湘西州中考数学试卷含答案解析
2022年湖南省湘西州中考数学试卷及答案解析一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）（2022•湘西州）在实数﹣5，0，3，13中，最大的实数是（ ） A ．3 B ．0 C ．﹣5 D ．13 2．（4分）（2022•湘西州）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2022•湘西州）据统计，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试九年级考生报名人数约为35000人，其中数据35000用科学记数法表示为（ ）A ．35×103B ．0.35×105C ．350×102D ．3.5×1044．（4分）（2022•湘西州）下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2022•湘西州）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取5位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，80，85，90，80．则这组数据的众数为（ ）A．78B．80C．85D．906．（4分）（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°7．（4分）（2022•湘西州）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5C．2√5−√5=2D．（a﹣1）2＝a2﹣18．（4分）（2022•湘西州）要使二次根式√3x−6有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥29．（4分）（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH ⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32√3，则CD的长为（）A．4B．4√3C．8D．8√310．（4分）（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB 上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（2022•湘西州）2022的相反数是．12．（4分）（2022•湘西州）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为．13．（4分）（2022•湘西州）计算：xx−1−1x−1=．14．（4分）（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝．15．（4分）（2022•湘西州）在一个不透明的袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别标有1、2、3、4、5这5个数字．从袋中任意摸出一个小球，则球面上数字为奇数的概率是．16．（4分）（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝．17．（4分）（2022•湘西州）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bc cos Ab2＝a2+c2﹣2ac cos Bc2＝a2+b2﹣2ab cos C现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝．18．（4分）（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）（2022•湘西州）计算：√16−2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．20．（8分）（2022•湘西州）解不等式组：{3x ≤6+x ①x −1≤3(x +1)②． 请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ．（Ⅱ）解不等式②，得 ．（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ．21．（8分）（2022•湘西州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接CE 并延长，交DA 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△BEC ．（2）若CD ＝4，∠F ＝30°，求CF 的长．22．（10分）（2022•湘西州）如图，一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y =k x的图象在第一象限交于点B （1，3），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△ABC 的面积．23．（10分）（2022•湘西州）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．（1）本次调查共抽取学生多少人？（2）表中a的值为，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为．（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．读书量1本2本3本4本5本人数10人25人30人a15人24．（10分）（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？25．（12分）（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE 于点M．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若CF＝2，sin C=35，求AE的长．26．（12分）（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2022年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）（2022•湘西州）在实数﹣5，0，3，13中，最大的实数是（ ） A ．3 B ．0 C ．﹣5 D ．13 【分析】利用实数大小比较的法则将各数按从小到大排列后即可得出结论．【解答】解：将各数按从小到大排列为：﹣5，0，13，3， ∴最大的实数是3，故选：A ．【点评】本题主要考查了实数大小的比较，利用实数大小比较的法则将各数按从小到大排列是解题的关键．2．（4分）（2022•湘西州）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．【解答】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、3、1． 故选：C ．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．3．（4分）（2022•湘西州）据统计，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州学业水平考试九年级考生报名人数约为35000人，其中数据35000用科学记数法表示为（ ）A ．35×103B ．0.35×105C ．350×102D ．3.5×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．【解答】解：35000＝3.5×104．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4．（4分）（2022•湘西州）下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）（2022•湘西州）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取5位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，80，85，90，80．则这组数据的众数为（）A．78B．80C．85D．90【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，根据概念解答即可．【解答】解：这组数据中80出现2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是80，故选：B．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．6．（4分）（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．7．（4分）（2022•湘西州）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5C．2√5−√5=2D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】A、根据合并同类项的法则计算判断即可；B、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；C、根据二次根式的加减运算法则计算判断即可；D、根据完全平方公式计算即可．【解答】解：A、原式＝a，正确，符合题意；B、原式＝a6，错误，不合题意；C、原式=√5，错误，不合题意；D、原式＝a2﹣2a+1，错误，不合题意；故选：A．【点评】此题考查的是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根式的加减法，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．8．（4分）（2022•湘西州）要使二次根式√3x−6有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．9．（4分）（2022•湘西州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，OH ＝4，若菱形ABCD 的面积为32√3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．4√3C ．8D ．8√3【分析】在Rt △BDH 中先求得BD 的长，根据菱形面积公式求得AC 长，再根据勾股定理求得CD 长．【解答】解：∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD ，OC ＝OA =12AC ，AC ⊥BD ，∴OH ＝OB ＝OD =12BD （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD ＝4，BD ＝8，由12AC ⋅BD =32√3得， 12×8⋅AC =32√3，∴AC ＝8√3，∴OC =12AC =4√3，∴CD =√OC 2+OD 2=8，故答案为：C ．【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD 的长．10．（4分）（2022•湘西州）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG ∥AB ，交HM 的延长线于点G ，若AC ＝8，AB ＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（ ）A ．24B ．22C ．20D ．18【分析】通过证明△BMH ≌△CMG 可得BH ＝CG ，可得四边形ACGH 的周长即为AB +AC +GH ，进而可确定当MH ⊥AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形ACGH 为矩形可得HG 的长，进而可求解．【解答】解：∵CG ∥AB ，∴∠B ＝∠MCG ，∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ，在△BMH 和△CMG 中，{∠B =∠MCGBM =CM ∠BMH =∠CMG，∴△BMH ≌△CMG （ASA ），∴HM ＝GM ，BH ＝CG ，∵AB ＝6，AC ＝8，∴四边形ACGH 的周长＝AC +CG +AH +GH ＝AB +AC +GH ＝14+GH ，∴当GH 最小时，即MH ⊥AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，∵∠A ＝90°，MH ⊥AB ，∴GH ∥AC ，∴四边形ACGH 为矩形，∴GH ＝8，∴四边形ACGH 的周长最小值为14+8＝22，故选：B ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（2022•湘西州）2022的相反数是 ﹣2022 ．【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．【解答】解：2022的相反数是：﹣2022．故答案为：﹣2022．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．12．（4分）（2022•湘西州）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为40°．【分析】利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．【解答】解：如图，∵AC⊥BC，∴∠2+∠3＝90°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°．∴∠2＝90°﹣∠3＝40°．故答案为：40°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13．（4分）（2022•湘西州）计算：xx−1−1x−1=1．【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式=x−1 x−1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．14．（4分）（2022•湘西州）因式分解：m 2+3m ＝ m （m +3） ．【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式＝m （m +3）．故答案为：m （m +3）．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．15．（4分）（2022•湘西州）在一个不透明的袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别标有1、2、3、4、5这5个数字．从袋中任意摸出一个小球，则球面上数字为奇数的概率是 35 ．【分析】用袋中奇数的个数除以数的总个数即为所求的概率．【解答】解：∵共有5个数字，这5个数字中是奇数的有：1、3、5共3个，∴从中任摸一个球，球面数字是奇数的概率是35． 故答案为：35． 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=m n且0≤P （A ）≤1． 16．（4分）（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P （﹣3，5）与点Q （3，m ﹣2）关于原点对称，则m ＝ ﹣3 ．【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m ﹣2＝﹣5，∴m ＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，难度适中．17．（4分）（2022•湘西州）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bc cos Ab2＝a2+c2﹣2ac cos Bc2＝a2+b2﹣2ab cos C现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝√13．【分析】从阅读可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A，将数值代入求得结果．【解答】解：由题意可得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A＝32+42﹣2×3×4•cos60°＝13，∴BC=√13，故答案为：√13．【点评】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用．18．（4分）（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是−294＜b＜﹣1．【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b 经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．【解答】解：如图，当y ＝0时，﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝5，则A （﹣1，0），B （5，0），将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝（x +1）（x ﹣5），即y ＝x 2﹣4x ﹣5（﹣1≤x ≤5），当直线y ＝﹣x +b 经过点A （﹣1，0）时，1+b ＝0，解得b ＝﹣1；当直线y ＝﹣x +b 与抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣5（﹣1≤x ≤5）有唯一公共点时，方程x 2﹣4x ﹣5＝﹣x +b 有相等的实数解，解得b =−294，所以当直线y ＝﹣x +b 与新图象有4个交点时，b 的取值范围为−294＜b ＜﹣1． 故答案为：−294＜b ＜﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（8分）（2022•湘西州）计算：√16−2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．【分析】先计算开方、绝对值、零指数幂、特殊的三角函数值，再合并即可．【解答】解：原式＝4﹣2×1+3+1＝4﹣2+3+1＝6．【点评】此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．20．（8分）（2022•湘西州）解不等式组：{3x ≤6+x ①x −1≤3(x +1)②． 请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得 x ≤3 ．（Ⅱ）解不等式②，得 x ≥﹣2 ．（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ﹣2≤x ≤3 ．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：{3x ≤6+x ①x −1≤3(x +1)②． （Ⅰ）解不等式①，得x ≤3，（Ⅱ）解不等式②，得x ≥﹣2，（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x ≤3，故答案为：（Ⅰ）x ≤3；（Ⅱ）x ≥﹣2；（Ⅲ）数轴表示见解答；（Ⅳ）﹣2≤x ≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．21．（8分）（2022•湘西州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接CE 并延长，交DA 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△BEC ．（2）若CD ＝4，∠F ＝30°，求CF 的长．【分析】（1）先根据矩形性质得出AD ∥BC ，然后证得∠F ＝∠BCE ，再根据AAS 即可证明：△AEF≌△BEC；（2）根据矩形的性质得出∠D＝90°，然后根据∠F＝30°得出CF＝2CD即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠BCE，∵E是AB中点，∴AE＝EB，∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵CD＝4，∠F＝30°，∴CF＝2CD＝2×4＝8，即CF的长为8．【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上各性质．22．（10分）（2022•湘西州）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用直线的解析式求得点A坐标，利用坐标表示出线段CA，BC的长度，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），∴a+1＝3，∴a＝2．∴一次函数的解析式为y＝2x+1，∵反比例函数y=kx的图象经过点B（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y=3 x．（2）令y＝0，则2x+1＝0，∴x=−1 2．∴A（−12，0）．∴OA=1 2．∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），∴OC＝1，BC＝3．∴AC=12+1=32．∴△ABC的面积=12×AC•BC=94．【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．23．（10分）（2022•湘西州）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．（1）本次调查共抽取学生多少人？（2）表中a的值为20，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为108°．（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．读书量1本2本3本4本5本人数10人25人30人a15人【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；（2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数；（3）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可．【解答】解：（1）抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人），答：本次调查共抽取学生100人；（2）a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20；扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×30100=108°，故答案为：20；108°；（3）3000×30+20+15100=1950（人），答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人．【点评】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（10分）（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？【分析】（1）设原计划篮球买x 个，则足球买y 个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；（2）设篮球能买a 个，则足球（80﹣a ）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．【解答】解：（1）设原计划篮球买x 个，则足球买y 个，根据题意得：{x +y =60100x +80y =5600， 解得：{x =40y =20． 答：原计划篮球买40个，则足球买20个．（2）设篮球能买a 个，则足球（80﹣a ）个，根据题意得：100a +80（80﹣a ）≤6890，解得：a ≤24.5，答：篮球最多能买24个．【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．25．（12分）（2022•湘西州）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，O 为AC 上一点，经过点A 、E 的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、F ，连接OD 交AE 于点M ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若CF ＝2，sin C =35，求AE 的长．【分析】（1）连接OE ，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC ＝90°即可；方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC ＝90°即可；（2）连接EF ，根据三角函数求出AB 和半径的长度，再利用三角函数求出AE 的长即可．【解答】（1）证明：连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接EF，∵CF ＝2，sin C =35，∴OE OF+CF =35， ∵OE ＝OF ，∴OE ＝OF ＝3，∵OA ＝OF ＝3，∴AC ＝OA +OF +CF ＝8，∴AB ＝AC •sin C ＝8×35=245， ∵∠OAE ＝∠BAE ，∴cos ∠OAE ＝cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ， ∴245AE =AE 3+3， 解得AE =12√55（舍去负数）， ∴AE 的长为12√55． 【点评】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．26．（12分）（2022•湘西州）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C 1：y ＝x 2+2x ﹣3与抛物线C 2：y ＝ax 2+2ax +c 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C 1和抛物线C 2与x 轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B （点B 在点A 右侧），与y 轴的交点分别为G 、H （0，﹣1）．（1）求抛物线C 2的解析式和点G 的坐标．（2）点M 是x 轴下方抛物线C 1上的点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，交抛物线C 2于点D ，求线段MN 与线段DM 的长度的比值．（3）如图②，点E 是点H 关于抛物线对称轴的对称点，连接EG ，在x 轴上是否存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣3，0）、H （0，﹣1）代入y ＝ax 2+2ax +c 中，即可求函数的解析式；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，13t 2+23t ﹣1），N （t ，0），分别求出MN ，DM ，再求比值即可；（3）先求出E （﹣2，﹣1），设F （x ，0），分来两种情况讨论：①当EG ＝EF 时，2√2=√(x +2)2+1，可得F （√7−2，0）或（−√7−2，0）；②当EG ＝FG 时，2√2=√9+x 2，F 点不存在．【解答】解：（1）将A （﹣3，0）、H （0，﹣1）代入y ＝ax 2+2ax +c 中，∴{9a −6a +c =0c =−1， 解得{a =13c =−1， ∴y =13x 2+23x ﹣1，在y ＝x 2+2x ﹣3中，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴G （0，﹣3）；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，13t 2+23t ﹣1），N （t ，0）， ∴NM ＝﹣t 2﹣2t +3，DM =13t 2+23t ﹣1﹣（t 2+2t ﹣3）=−23t 2−43t +2，∴MN DM =−(t 2+2t−3)−23(t 2+2t−3)=32；（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2√2，∴2√2=√(x+2)2+1，解得x=√7−2或x=−√7−2，∴F（√7−2，0）或（−√7−2，0）；②当EG＝FG时，2√2=√9+x2，此时x无解；综上所述：F点坐标为（√7−2，0）或（−√7−2，0）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．。
2014年中考数学模拟题(湘教版)范文
2014年中考数学模拟试题（考试用时：120分钟满分： 150分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．。
2．答题前，请认真阅读答题卡．．．上的注意事项。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡．．．．．．．一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）．1．2011的倒数是（）．A．12011B．2011 C．2011- D．12011-2．在实数2、0、1-、2-中，最小的实数是（）．A．2 B．0 C．1- D．2-3、下列事件为必然事件的是（）A、打开电视机，它正在播广告B、抛掷一枚硬币，一定正面朝上C、投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7D、某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖4、下面如图是一个圆柱体，则它的正视图是（）A B C D5、若⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为1，且O1O2=4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A、内含B、内切C、相交D、外切6、下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A、正三角形B、正方形C、正六边形D、正七边形7、若a、b 是正数，a-b=l，ab=2，则a+b=（）A、-3B、3C、±3D、9．8．直线1y kx=-一定经过点（）．A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)9．下面调查中，适合采用全面调查的事件是（）．A．对全国中学生心理健康现状的调查．B．对我市食品合格情况的调查．C．对桂林电视台《桂林板路》收视率的调查．D．对你所在的班级同学的身高情况的调查．10．如图，将边长为a的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）．A.4233aπ+B.8433aπ+C.433aπ+D.4236aπ+二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡．．．上）．11．若点 P（a，a－2）在第四象限，则a的取值范围是（）．12．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．13．因式分解：22a a+=．14．我市在临桂新区正在建设的广西桂林图书馆、桂林博物馆、桂林大剧院及文化广场，建成后总面积达平方米，将成为我市“文化立市”和文化产业大发展的新标志，把平方米用科学记数法可表示为平方米．15．当2x=-时，代数式21xx-的值是．16．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC,BE∥AD, 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC 的周长为 ． 17．双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．18．若111a m =-，2111a a =-，3211a a =-，… ；则2011a 的值为 ．（用含m 的代数式表示）三、解答题（19、20、21、22题，每题10分）． 19．（1）计算：01(21)22452tan -︒+--+-（2）解二元一次方程组：35382x y y x =-⎧⎨=-⎩20．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.已知： 求证： 证明：21． “初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数为 ； （2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是 ．22．某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？23、（本题12分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数y1=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（5，1）和A1．（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数的图象特征可知：点A和A1关于直线y=x对称．请你根据图象，填写点A1的坐标及y1＜y2时x的取值范围．数学试卷第 3 页（共5 页）24、（本题12分）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息．解决问題：（1）试计算两种笔记本各买了多少本？（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？25、（本题14分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．数学试卷第 5 页（共5 页）。
2019年湖南省湘西州中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年湘西土家族苗族自治州初中学业水平考试数学试题卷（时量120分钟，满分150分）一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）1．﹣2019的相反数是．2．要使二次根式有意义，则x的取值范围为．3．因式分解：ab﹣7a＝．4．从﹣3．﹣l，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是．5．黔张常铁路将于2020年正式通车运营，这条铁路估算总投资36200 000 000元，数据36200 000 000用科学记数法表示为．6．若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为．7．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为．（用科学计算器计算或笔算）．8．阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝．二、选择题（本大题10小题，每小题4分,共40分，每个小题所给的四个选项中有唯一正确选项）9．下列运算中，正确的是（）A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．+＝10．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形11．下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．12．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．40°B．90°C．50°D．100°13．一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断14．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）15．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．16．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.25克，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁17．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2三、解答题（本大题8小题，共78分，写出计算或证明的主要步骤）19．（6分）计算：+2sin30°﹣（3.14﹣π）020．（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．22．（8分）“扫黑除恶”受到广大人民的关注，某中学对部分学生就“扫黑除恶”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“扫黑除恶”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶200km，求该列车提速前的平均速度．25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D 作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．26．（22分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．参考答案与解析一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）1．﹣2019的相反数是．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解题过程】解：﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．要使二次根式有意义，则x的取值范围为．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】直接利用二次根式的定义得出答案．【解题过程】解：要使二次根式有意义，则x﹣8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【总结归纳】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．3．因式分解：ab﹣7a＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提公因式a即可．【解题过程】解：原式＝a（b﹣7），故答案为：a（b﹣7）．【总结归纳】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．4．从﹣3．﹣l，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是．【知识考点】概率公式．【思路分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得．【解题过程】解：∵在﹣3．﹣l，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1这2个，∴抽取一个数，恰好为负数的概率为，故答案为：．【总结归纳】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．黔张常铁路将于2020年正式通车运营，这条铁路估算总投资36200 000 000元，数据36200 000 000用科学记数法表示为．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【解题过程】解：36200 000 000＝3.62×1010．故答案为：3.62×1010．【总结归纳】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为．【知识考点】一元一次方程的解．【思路分析】直接把x＝2代入进而得出答案．【解题过程】解：∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，∴3×2﹣2k+2＝0，解得：k＝4．故答案为：4．【总结归纳】此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．7．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为．（用科学计算器计算或笔算）．【知识考点】计算器—数的开方．【思路分析】当输入x的值为16时，＝4，4÷2＝2，2+1＝3．【解题过程】解：解：由题图可得代数式为．当x＝16时，原式＝÷2+1＝4÷2+1＝2+1＝3．故答案为：3【总结归纳】此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．8．阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝．【知识考点】坐标与图形性质．【思路分析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；【解题过程】解：∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，∴4m＝3×8，∴m＝6；故答案为6；【总结归纳】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．二、选择题（本大题10小题，每小题4分,共40分，每个小题所给的四个选项中有唯一正确选项）9．下列运算中，正确的是（）A．2a+3a＝5a B．a6÷a3＝a2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．+＝【知识考点】合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式；二次根式的加减法．【思路分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解题过程】解：A、2a+3a＝5a，故此选项正确；B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ，故此选项错误；D、+，故此选项错误．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【知识考点】多边形内角与外角．【思路分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．【解题过程】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．故选：D．【总结归纳】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．11．下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解题过程】解：A、主视图是三角形，故不符合题意；B、主视图是矩形，故不符合题意；C、主视图是圆，故符合题意；D、主视图是正方形，故不符合题意；故选：C．【总结归纳】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．12．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．40°B．90°C．50°D．100°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数．【解题过程】解：∵a∥b，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝40°，∴∠3＝90°，故选：B．【总结归纳】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．13．一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识考点】根的判别式．【思路分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．【解题过程】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴此方程没有实数根．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．14．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）【知识考点】坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变．【解题过程】解：将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）．故选：B．【总结归纳】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律．15．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解题过程】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．16．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.25克，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【知识考点】方差．【思路分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断．【解题过程】解：因为方差越小成绩越稳定，故选甲．故选：A．【总结归纳】本题考查方差，解题的关键是理解方差越小成绩越稳定．17．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【知识考点】命题与定理．【思路分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；即可得出答案．【解题过程】解：A/同旁内角相等，两直线平行；假命题；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C．相等的两个角是对顶角；假命题；D．圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B．【总结归纳】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；要熟练掌握．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【知识考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形．【思路分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解题过程】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．【总结归纳】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．三、解答题（本大题8小题，共78分，写出计算或证明的主要步骤）19．（6分）计算：+2sin30°﹣（3.14﹣π）0【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：原式＝5+2×﹣1＝5+1﹣1＝5．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式x﹣2＜1得x＜3，解不等式4x+5＞x+2，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，将解集表示在数轴上如下：【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【思路分析】（1）利用SAS即可证明；（2）用正方形面积减去两个全等三角形的面积即可．【解题过程】解：（1）在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积＝×4×1＝2．所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．【总结归纳】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（8分）“扫黑除恶”受到广大人民的关注，某中学对部分学生就“扫黑除恶”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“扫黑除恶”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）由很了解的有18人，占30%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得基本了解很少的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【解题过程】解：（1）接受问卷调查的学生共有：18÷30%＝60（人）；∴扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°；故答案为：60，108°；（2）60﹣3﹣9﹣18＝30；补全条形统计图得：（3）根据题意得：900×＝720（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数为72人．【总结归纳】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y＝kx+b，可得一次函数解析式；（2）根据A点的坐标，结合图象即可求得．【解题过程】解：（1）把点A（3，2）代入反比例函数y＝，可得m＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝，∵OB＝4，∴B（0，﹣4），把点A（3，2），B（0，﹣4）代入一次函数y＝kx+b，可得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x﹣4；（2）不等式组0＜＜kx+b的解集为：x＞3．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶200km，求该列车提速前的平均速度．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，根据时间＝路程÷速度结合提速前行驶300km和提速后行驶500km（300+200）所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解题过程】解：设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，依题意，得：＝，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该列车提速前的平均速度为120km/h．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D 作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BF．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）根据圆的对称性即可求出答案．（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：，利用BC＝AC即可求证BD2＝AC•BF．【解题过程】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°，∴∠BDF＝∠CDB，∴△BCD∽△BDF，∴，∴BD2＝BC•BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC•BF．【总结归纳】本题考查相似三角形，涉及圆的对称性，垂径定理，相似三角形的判定与性质，需要学生灵活运用所学知识．26．（22分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A （2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．【解题过程】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．【总结归纳】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．。
湖南省湘西州中考数学真题试题(含解析)
2016年湖南省湘西州中考数学试卷一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．2的相反数是．2．使代数式有意义的x取值范围是．3．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C=．4．如图，直线CD∥BF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1=30°，则∠2=．5．某地区今年参加初中毕业学业考试的九年级考生人数为31000人，数据31000人用科学记数法表示为人．6．分解因式：x2﹣4x+4= ．7．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=．8．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）9．一组数据1，8，5，3，3的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．510．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．矩形 D．正方形11．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形12．计算﹣的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）（）A．0.30 B．0.31 C．0.32 D．0.3313．不等式组的解集是（）A．x＞1 B．1＜x≤2 C．x≤2 D．无解14．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对15．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A． B． C． D．116．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．818．在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB 的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定三、解答题（共8小题，满分78分）19．计算：（﹣3）0﹣2sin30°﹣．20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣b（a﹣b），其中，a=﹣2，b=1．21．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．22．如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B．（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求△AOB的面积．23．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）“从来不管”的问卷有份，在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为．（2）请把条形图补充完整．（3）若该校共有学生2000名，请估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有多少人．24．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．25．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？26．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．2016年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．2的相反数是﹣2 ．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义可知．【解答】解：﹣2的相反数是2．【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．2．使代数式有意义的x取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．3．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C=80°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．4．如图，直线CD∥BF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1=30°，则∠2=30°．【考点】平行线的性质．【分析】直接利用对顶角的定义得出∠DMN的度数，再利用平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1=30°，∴∠DMN=30°，∵CD∥BF，∴∠2=∠DMN=30°．故答案为：30°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2=∠DMN是解题关键．5．某地区今年参加初中毕业学业考试的九年级考生人数为31000人，数据31000人用科学记数法表示为3.1×104人．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：31000=3.1×104，故答案为：3.1×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．分解因式：x2﹣4x+4= （x﹣2）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．7．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=35°．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵圆心角∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=×70°=35°．故答案为：35°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为24 ．【考点】菱形的性质．【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可．【解答】解：菱形的面积=×6×8=24，故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）9．一组数据1，8，5，3，3的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．5【考点】中位数．【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，3，5，8，故这组数据的中位数是3．故选：A．【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．10．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．等腰三角形 C．矩形 D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握概念是解答此题的关键．11．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．12．计算﹣的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）（）A．0.30 B．0.31 C．0.32 D．0.33【考点】计算器—数的开方．【分析】首先得出≈1.732，≈1.414，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵≈1.732，≈1.414，∴﹣≈1.732﹣1.414=0.318≈0.32．故选：C．【点评】此题主要考查了利用计算器求数的开方运算，解题首先注意要让学生能够熟练运用计算器计算实数的四则混合运算，同时也要求学生会根据题目要求取近似值．13．不等式组的解集是（）A．x＞1 B．1＜x≤2 C．x≤2 D．无解【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x≤2，由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤2，故选B【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．15．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A． B． C． D．1【考点】概率公式．【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率．【解答】解：∵袋中装有6个红球，2个绿球，∴共有8个球，∴摸到红球的概率为=；故选A．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．【解答】解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴必过第二、四象限，∵b=3，∴交y轴于正半轴．∴过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．8【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得△ABC的面积，根据面积的和差，可得答案．【解答】解：由DE∥BC，DB=2AD，得△ADE∽△ABC， =．由，△ADE的面积为1，得=，得S△ABC=9．S DBCE=S ABC﹣S△ADE=8，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ABC=9是解题关键．18．在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB 的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．三、解答题（共8小题，满分78分）19．计算：（﹣3）0﹣2sin30°﹣．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣3）0﹣2sin30°﹣的值是多少即可．【解答】解：（﹣3）0﹣2sin30°﹣=1﹣2×﹣2=1﹣1﹣2=﹣2【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣b（a﹣b），其中，a=﹣2，b=1．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣ab+b2=a2﹣ab，当a=﹣2，b=1时，原式=4+2=6．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．22．如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B．（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】（1）把A点坐标分别代入y=和y=﹣x+b中分别求出k和b即可得到两函数解析式；（2）利用一次函数解析式求出B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=得k=1×4=4，所以反比例函数的解析式为y=；把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5，所以直线解析式为y=﹣x+5；（2）当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0），所以△AOB的面积=×5×4=10．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点23．某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）“从来不管”的问卷有25 份，在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为72°．（2）请把条形图补充完整．（3）若该校共有学生2000名，请估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有多少人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用问卷数“从来不管”所占百分比即可；用“严加干涉”部分占问卷总数的百分比乘以360°即可；（2）由（1）知“从来不管”的问卷数，再将问卷总数减去其余两个类别数量可得“严加干涉”的数量，进而补全条形统计图；（3）用“严加干涉”部分所占的百分比的乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）“从来不管”的问卷有100×25%=25（份），在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为：360°×20%=72°，故答案为：25，72°．（2）由（1）知，“从来不管”的问卷有25份，则“严加干涉”的问卷有100﹣25﹣55=20（份），补全条形图如图：（3）2000×20%=400（人），答：估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有400人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．24．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）直接利用tan50°=，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°=，进而得出BC的长求出答案．【解答】解：（1）由题意可得：tan50°==≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°==≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．25．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元，根据甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同即可列方程组求解；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件，根据两种商品的进货总价不高于9000元，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元即可列不等式组求解；（3）把利润表示出甲进的数量的函数，利用函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．根据题意得：，解得：，答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件．根据题意得：，解得：48≤x≤50．又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；（3）销售的利润w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，则当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．此时，乙进的件数是100﹣48=52（件）．答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组、一次函数的性质，正确求得甲进货的数量的范围是关键．26．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0，然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO，从而得到OD=AO=1，于是可求得点D的坐标；（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点B′的坐标，由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时，△BMD的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得D、B′的解析式，然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标；（4）过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．然后依据S△FDA=S梯形﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．DOGF【解答】解：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DE O．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形DOGF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=OD•OA=×1×1=，S△AGF=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FDA的最大值为．∴点P的坐标为（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质、二次函数的图象和性质得到△FDA的面积与a的函数关系式是解题的关键．。
湖南省湘西土家族苗族自治州2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)
湖南省湘西土家族苗族自治州2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·贵州）实数2021的相反数是（）A. 2021B. -2021C. 12021 D. −120212.（2021·湘西土家族苗族自治州）计算-1+3的结果是（）A. 2B. -2C. 4D. -43.（2019·长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4.（2020·包头）下列计算结果正确的是（）A. (a3)2=a5B. (−bc)4÷(−bc)2=−b2c2C. 1+1a =2aD. a÷b⋅1b=ab25.（2021·湘西土家族苗族自治州）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A. B. C. D.6.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CD，交AD于点F，如果EF=5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A. 11B. 22C. 33D. 447.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，在ΔECD中，∠C=90°，AB⊥EC于点B，AB= 1.2，EB=1.6，BC=12.4，则CD的长是（）A. 14B. 12.4C. 10.5D. 9.38.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB⌢的长度为（）A. 9πB. 92π C. 3π2D. 94π9.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y=2x−1的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A. 图象与x轴没有交点B. 当x>0时y>0C. 图象与y轴的交点是(0,−12) D. y随x的增大而减小10.（2021·湘西土家族苗族自治州）已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12，点A(10,0)在x轴上，当ΔOMA为直角三角形时，点M的坐标为（）A. (10,2)，(8,4)或(6,6)B. (8,4)，(9,3)或(5,7)C. (8,4)，(9,3)或(10,2)D. (10,2)，(9,3)或(7,5)二、填空题11.（2021·湘西土家族苗族自治州）计算：(−12)2=________.12.（2021·湘西土家族苗族自治州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m ，成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表示为________.13.（2018·温州模拟）因式分解： a 2−2a = ________.14.（2021·湘西土家族苗族自治州）若二次根式 √2x −1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________.15.（2021·湘西土家族苗族自治州）实数 m ， n 是一元二次方程 x 2−3x +2=0 的两个根，则多项式 mn −m −n 的值为________.16.（2021·湘西土家族苗族自治州）若式子 2y−2+1 的值为零，则 y ＝________.17.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、 CD ，若 CD //BE ， ∠1=20° ，则 ∠2 的度数是________.18.（2021·湘西土家族苗族自治州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 a 1=1 ，第二个图形表示的三角形数记为 a 2=3 ，…，则第 n 个图形表示的三角形数 a n ＝________.（用含 n 的式子表达）三、解答题19.（2021·湘西土家族苗族自治州）计算： (−2)0−√8−|−5|+4sin45° .20.（2021·湘西土家族苗族自治州）解不等式组： {3(x −1)>x 1−2x ≥x−32，并在数轴上表示它的解集.21.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，在 ΔABC 中，点 D 在 AB 边上， CB =CD ，将边 CA 绕点 C 旋转到 CE 的位置，使得 ∠ECA =∠DCB ，连接 DE 与 AC 交于点 F ，且 ∠B =70° ， ∠A =10° .（1）求证：AB=ED；（2）求∠AFE的度数.22.（2021·湘西土家族苗族自治州）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查.根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.（1）该校此次调查共抽取了________名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动.23.（2021·湘西土家族苗族自治州）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁” CH的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73）24.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.（1）求证：AC平分∠DBA；（2）若AD=8，tan∠CAB=3，求：边AC及AB的长.425.（2021·湘西土家族苗族自治州）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元.（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？26.（2021·湘西土家族苗族自治州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC 的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：2021的相反数是：-2021.故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.2.【答案】A【考点】有理数的加法【解析】【解答】解：−1+3=3−1=2；故答案为：A.【分析】利用有理数的加法法则进形计算即可.3.【答案】B【考点】常用统计量的选择【解析】【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故答案为：B．【分析】将11个不同的成绩按从小到大排序后，可得最中间的数据为这组数据的中位数，由于按照成绩取前5名进入决赛，根据中位数的意义即得.4.【答案】D【考点】分式的乘除法，分式的加减法，单项式除以单项式，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】解：A. (a3)2=a6，故A选项不符合题意；B. (−bc)4÷(−bc)2=b4c4÷b2c2=b2c2，故B选项不符合题意；C. 1+1a =aa+1a=a+1a，故C选项不符合题意；D. a÷b⋅1b =ab⋅1b=ab2，故D选项符合题意．故答案为D．【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．5.【答案】B【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：由题意得该几何体的俯视图为；故答案为：B.【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.6.【答案】D【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵EF//CD，∴△AEF∽△ACD，∴AEAC =EFCD，∵E是AC的中点，∴AEAC =EFCD=12，即EF=12CD，∵EF=5.5，∴CD=11，∵四边形ABCD是菱形，∴C菱形ABCD=4CD=44；故答案为：D.【分析】根据平行线可证△AEF∽△ACD，可得AEAC =EFCD，由E是AC的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用C菱形ABCD=4CD即可求出结论.7.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB⊥EC，∴∠ABE=∠C=90°，∴AB//CD，∴△ABE∽△DCE，∴ABCD =EBEC，∵AB=1.2，EB=1.6，BC=12.4，∴EC=14，∴ 1.2CD =1.614，∴CD=10.5；故答案为：C.【分析】证明△ABE∽△DCE，可得ABCD =EBEC，据此即可求出CD的长.8.【答案】C【考点】正方形的性质，弧长的计算【解析】【解答】解：连接BD、AC，∵四边形ABCD是正方形，且面积为18，∴∠AOB=90°,BD2=36，∴BD=6，∴OB=12BD=3，∴AB⌢的长度为nπr180=90×3×π180=3π2；故答案为：C.【分析】连接BD、AC，由正方形ABCD的面积为18，可求出BD=6，根据正方形的性质∠AOB=90°，OB=12BD=3，利用弧长公式计算即得结论.9.【答案】A【考点】函数的图象，反比例函数的图象，反比例函数的性质【解析】【解答】解：由图象可得：x−1≠0，即x≠1，A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；B、当0<x<1时，y<0，错误，故不符合题意；C、图象与y轴的交点是(0,−2)，错误，故不符合题意；D、当x<1时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当x>1时，y随x的增大而减小，且y 的值永远大于0，错误，故不符合题意；故答案为：A.【分析】由函数解析式知y≠0，故图象与x轴无交点，据此判断A；当0<x<1时，函数图象在x轴下方，据此判断B错误；当x=0时，y=-2，即得图象与y轴的交点是(0,−2)，据此判断C；由图象知在每个分支上，y随x增大而减小，据此判断D即可.10.【答案】C【考点】坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质【解析】【解答】解：由题意得：当∠OAM=90°时，如图所示：∵A(10,0)，M(x,y)，∴x=10，∵x+y=12，∴y=2，∴M(10,2)；当∠OMA=90°时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：∴∠MBO=∠MBA=∠OMA=90°，∴△MBO∽△ABM，∴BMAB =OBBM，即BM2=OB⋅AB，∵A(10,0)，M(x,y)，∴OB=x,BM=y,OA=10，∵x+y=12，∴OB=x,BM=12−x,AB=10−x，∴(12−x)2=x⋅(10−x)，解得：x1=8,x2=9，∴当x=8时，则y=4；当x=9时，则y=3，∴M(8,4)或M(9,3)；故答案为：C.【分析】根据题意分两种情况：①当∠OAM=90°时，②当∠OMA=90°时，据此分别求解即可.二、填空题 11.【答案】 14【考点】有理数的乘方【解析】【解答】解： (−12)2=14 ， 故答案为： 14 .【分析】(−12)2表示2个（−12）的乘积，据此计算即可. 12.【答案】 4×105【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：把400000用科学记数法可以表示为 4×105 ； 故答案为 4×105 .【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数，据此解答即可. 13.【答案】 a(a −2) 【考点】提公因式法因式分解 【解析】【解答】解：原式= a(a −2) . 故答案为：a ( a − 2 )【分析】观察此多项式有公因式a ，因此提取公因式，即可解答。
2021年湖南省湘西州中考数学试卷(学生版+解析版)
2021年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．11202D．−120212．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣43．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•1b =ab2D．1+1a=2a5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．447．（4分）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD 的长是（ ）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.38．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD 内接于⊙O ，则AB̂的长度为（ ）A ．9πB ．92πC ．32πD ．94π9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y =2x−1的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象与x 轴没有交点B ．当x ＞0时，y ＞0C ．图象与y 轴的交点是（0，−12）D．y随x的增大而减小10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA 为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（−12）2＝．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．13．（4分）因式分解：a2﹣2a＝．14．（4分）若二次根式√2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．（4分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为．16．（4分）若式子2y−2+1的值为零，则y＝．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD ∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n的式子表达）三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0−√8−|﹣5|+4sin45°．20．（8分）解不等式组：{3(x−1)＞x①1−2x≥x−32②，并在数轴上表示它的解集．21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73）24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB=34，求：边AC及AB的长．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B 类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B 两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？26．（16分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．11202D．−12021【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．故选：B．2．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：﹣1+3＝+（3﹣1）＝2，故选：A．3．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•1b =ab2D．1+1a=2a【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•1b =a⋅1b⋅1b=ab2，正确，故此选项符合题意；D、1+1a=a+1a，故此选项不符合题意；故选：C．5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆． 故选：B ．6．（4分）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CD ，交AD 于点F ，如果EF ＝5.5，那么菱形ABCD 的周长是（ ）A ．11B ．22C ．33D ．44【解答】解：∵点E 是AC 的中点， ∴AE ＝EC =12AC ， ∵EF ∥CD ， ∴△AEF ∽△ACD ， ∴AE AC=EF CD，∴CD ＝2EF ＝11， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴菱形ABCD 的周长＝4×11＝44， 故选：D ．7．（4分）如图，在△ECD 中，∠C ＝90°，AB ⊥EC 于点B ，AB ＝1.2，EB ＝1.6，BC ＝12.4，则CD 的长是（ ）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.3【解答】解：∵EB ＝1.6，BC ＝12.4， ∴EC ＝EB +BC ＝14， ∵AB ⊥EC ， ∴∠ABE ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠ABE ＝∠C ， 又∵∠E ＝∠E ， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴BA CD =EB EC ， 即1.2CD=1.614，解得：CD ＝10.5， 故选：C ．8．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD 内接于⊙O ，则AB̂的长度为（ ）A ．9πB ．92πC ．32πD ．94π【解答】解：如图连接OA，OB，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB=√18=3√2，∴OA＝OB＝3，∴弧AB的长L=nπr180=90⋅3⋅π180=3π2，故选：C．9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y=2x−1的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，−1 2）D．y随x的增大而减小【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA 为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）【解答】解：分情况讨论：①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，∴点M的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x+12中，得y＝2，∴点M坐标（10，2）；③若M为直角顶点，可得△OMB∽△MAB．∴OBMB =MBAB，∴MB2＝OB•AB．∴（﹣x+12）2＝x（10﹣x）．解得x＝8或9，∴点M坐标（8，4）或（9，3）．∴当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（−12）2＝14．【解答】解：（−12）2=14． 故答案为：14．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m ，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为 4×105 ． 【解答】解：400000＝4×105． 故答案为：4×105．13．（4分）因式分解：a 2﹣2a ＝ a （a ﹣2） ． 【解答】解：a 2﹣2a ＝a （a ﹣2）． 故答案为：a （a ﹣2）．14．（4分）若二次根式√2x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥12． 【解答】解：根据题意得：2x ﹣1≥0， ∴x ≥12． 故答案为：x ≥12．15．（4分）实数m ，n 是一元二次方程x 2﹣3x +2＝0的两个根，则多项式mn ﹣m ﹣n 的值为 ﹣1 ．【解答】解：∵实数m ，n 是一元二次方程x 2﹣3x +2＝0的两个根，a ＝1，b ＝﹣3，c ＝2， ∴m +n =−ba =3，mn =ca =2，∴mn ﹣m ﹣n ＝mn ﹣（m +n ）＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 16．（4分）若式子2y−2+1的值为零，则y ＝ 0 ．【解答】解：由题意得：2y−2+1＝0．∴2y−2=−1．∴y﹣2＝﹣2．∴y＝0．当y＝0时，y﹣2≠0．∴该分式方程的解为y＝0．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD ∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是40°．【解答】解：如图分别延长EB、DB到F，G，由于纸带对边平行，∴∠1＝∠4＝20°，∵纸带翻折，∴∠3＝∠4＝20°，∴∠DBF＝∠3+∠4＝40°，∵CD∥BE，∴∠2＝∠DBF＝40°．故答案为：40°．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a 2＝3，…，则第n 个图形表示的三角形数a n ＝ n(n+1)2.（用含n 的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1， 第2个图形表示的三角形数为1+2＝3， 第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6， 第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10， ....．第n 个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n ﹣1）+n =n(n+1)2． 故答案为：n(n+1)2．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0−√8−|﹣5|+4sin45°．【解答】解：原式＝1﹣2√2−5+4×√22=1﹣2√2−5+2√2=−4． 20．（8分）解不等式组：{3(x −1)＞x ①1−2x ≥x−32②，并在数轴上表示它的解集．【解答】解：解不等式①，得x ＞32， 解不等式②，得x ≤1， 在数轴上表示不等式的解集为：，所以不等式组无解．21．（8分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，CB ＝CD ，将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置，使得∠ECA ＝∠DCB ，连接DE 与AC 交于点F ，且∠B ＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB ＝ED ； （2）求∠AFE 的度数．【解答】（1）证明：∵∠ECA ＝∠DCB ， ∴∠ECA +∠ACD ＝∠DCB +∠ACD ， 即∠ECD ＝∠BCA ， 由旋转可得CA ＝CE ， 在△BCA 和△DCE 中， {CB =CD∠BCA =∠DCE AC =EC， ∴△BCA ≌△DCE （SAS ）． ∴AB ＝ED ．（2）由（1）中结论可得∠CDE ＝∠B ＝70°， 又CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB ＝70°，∴∠EDA ＝180°﹣∠BDE ＝180°﹣70°×2＝40°， ∴∠AFE ＝∠EDA +∠A ＝40°+10°＝50°．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． （1）该校此次调查共抽取了 50 名学生； （2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动． 活动名称朗诵 合唱 舞蹈 绘画 征文活动代号A B C D E【解答】解：（1）该校此次调查共抽取的学生数为：10÷20%＝50（名），故答案为：50；（2）C舞蹈人数为：50﹣8﹣10﹣12﹣14＝6（名），补全条形统计图如下：（3）2000×650=240（名），答：估计该校有240名学生参加舞蹈活动．23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：√2≈1.41，√3=1.73）【解答】解：设CH为xm，由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，∴BH＝CH＝xm，AH=√3CH=√3xm，∵AH﹣BH＝AB，∴√3x﹣x＝20，解得：x＝10（√3+1）≈27.3（m），答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB=34，求：边AC及AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；（2）解：连接BC，如图，∵∠DAC＝∠OAC，∴tan∠DAC＝tan∠CAB=3 4，在Rt△DAC中，∵tan∠DAC=CDAD=34，∴CD=34×8＝6，∴AC=√CD2+AD2=√62+82=10，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAB=BCAC=34，∴BC=34×10=152，∴AB=√(152)2+102=252．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B 类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B 两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w 与a 之间的函数关系式，并写出a 的取值范围；（3）每月制作A 类微课多少个时，该团队月利润w 最大，最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设团队制作一个A 类微课的成本为x 元，制作一个B 类微课的成本为y 元，根据题意得： {3x +5y =46005x +10y =8500， 解得{x =700y =500，答：团队制作一个A 类微课的成本为700元，制作一个B 类微课的成本为500元； （2）由题意，得w ＝（1500﹣700）a +（1000﹣500）×1.5（22﹣a ）＝50a +16500； 1.5（22﹣a ）≥2a ，又∵每月制作的A 、B 两类微课的个数均为整数， ∴a 为偶数， 解得a ≤8，∴0≤a ≤8（且a 为偶数）； （3）由（2）得w ＝50a +16500， ∵5＞0，∴w 随a 的增大而增大，∴当a ＝8时，w 有最大值，w 最大＝50×8+16500＝16900（元）．答：每月制作A 类微课8个时，该团队月利润w 最大，最大利润是16900元． 26．（16分）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +4经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP +PC 的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得到{a −b +4=016a +4b +4=0，解得{a =−1b =3，∴y ＝﹣x 2+3x +4．（2）设BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∵B （4，0），C （0，4）， ∴{b =44k +b =0， ∴{k =−1b =4， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4．（3）如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接P A ，此时P A +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=√42+42=4√2，此时P （32，52）．（4）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y ＝﹣x 2+3x +4，当y ＝4时，x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或3，∴N 1（3，4）．当y ＝﹣4时，x 2﹣3x ﹣8＝0，解得x =3±√412， ∴N 2（3+√412，﹣4），N 3（3−√412，﹣4）， 综上所述，满足条件的点N 的坐标为（3，4）或（3+√412，﹣4）或（3−√412，﹣4）．。
湖南省湘西州中考数学试卷及答案解析
·2018·湖南省湘西州中考数学试卷一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）1．（4.00分）﹣2018绝对值是．2．（4.00分）分解因式：a2﹣9=．3．（4.00分）要使分式有意义，则x取值范围为．4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为．5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕概率为．6．（4.00分）按照如图操作步骤，若输入x值为2，则输出值是．（用科学计算器计算或笔算）7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=．8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式正整数解是．二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）9．（4.00分）下列运算中，正确是（）A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab10．（4.00分）如图所示几何体主视图是（）A．B．C．D．11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据众数为（）A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.8112．（4.00分）不等式组解集在数轴上表示正确是（）A．B．C．D．13．（4.00分）一次函数y=x+2图象与y轴交点坐标为（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（2，0） D．（﹣2，0）14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．15．（4.00分）已知⊙O半径为5cm，圆心O到直线l距离为5cm，则直线l与⊙O位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定16．（4.00分）若关于x一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．417．（4.00分）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等四边形为正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O两条弦，且CD ∥AB，若⊙O半径为5，CD=8，则弦AC长为（）A．10 B．8 C．4 D．4三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明主要步骤）19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°20．（6.00分）解方程组：21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE周长．22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示两个不完整统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）求n值；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完人数．23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美景点C．经测量，C位于A北偏东60°方向上，C位于B 北偏东30°方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路长．（结果保留根号）24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）图象经过点A（1，3）、B （3，m）．（1）求反比例函数解析式及B点坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB值最小，求满足条件点P坐标．25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号电脑共100台，其中B型电脑进货量不超过A型电脑2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑销售总利润为y元．（1）求y关于x函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大进货方案．26．（22.00分）如图1，经过原点O抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x 轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线对称轴相交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点三角形与以点A、O、B为顶点三角形相似，求满足条件点P坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E 恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′解析式；（4）在（3）问条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件点F坐标．·2018·湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）1．（4.00分）﹣2018绝对值是2018．【分析】根据绝对值定义即可求得．【解答】解：﹣2018绝对值是2018．故答案为：2018【点评】本题主要考查是绝对值定义，熟练掌握相关知识是解题关键．2．（4.00分）分解因式：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．3．（4.00分）要使分式有意义，则x取值范围为x≠﹣2．【分析】根据根式有意义条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x+2≠0，∴x≠﹣2故答案为：x≠﹣2【点评】本题考查分式有意义条件，解题关键是正确理解分式有意义条件，本题属于基础题型．4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为4.2×108．【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：420000000=4.2×108．故答案为：4.2×108【点评】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a值以及n值．5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕概率为．【分析】根据题意和题目中数据可以求得小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕概率．【解答】解：由题意可得，小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕概率为：，故答案为：．【点评】本题考查概率公式，解答本题关键是明确题意，利用概率知识解答．6．（4.00分）按照如图操作步骤，若输入x值为2，则输出值是2．（用科学计算器计算或笔算）【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．【解答】解：将x=2代入得：3×（2）2﹣10=12﹣10=2．故答案为：2．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题关键．7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=60°．【分析】先根据垂直定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线性质，即可得出∠D 度数．【解答】解：∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查了平行线性质以及垂线定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式正整数解是1．【分析】根据新定义可得出关于x一元一次不等式，解之取其中正整数即可得出结论．【解答】解：∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，∴x＜，∵x为正整数，∴x=1．故答案为：1．【点评】本题考查一元一次不等式整数解以及实数运算，通过解不等式找出x＜是解题关键．二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）9．（4.00分）下列运算中，正确是（）A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂乘法性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；B、2a﹣a=a，错误；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；D、2a+3b=2a+3b，错误；故选：A．【点评】此题主要考查了整式运算能力，对于相关整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果．10．（4.00分）如图所示几何体主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据圆锥体三视图即可得．【解答】解：圆锥体主视图是等腰三角形，故选：C．【点评】本题主要考查简单几何体三视图，解题关键是掌握常见几何体三视图．11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据众数为（）A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81【分析】根据众数概念解答．【解答】解：在数据1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10中，2.10出现2次，出现次数最多，∴这组数据众数是2.10，故选：B．【点评】本题考查是众数确定，掌握一组数据中出现次数最多数据叫做众数是解题关键．12．（4.00分）不等式组解集在数轴上表示正确是（）A．B．C．D．【分析】先定界点，再定方向即可得．【解答】解：不等式组解集在数轴上表示如下：故选：C．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式解集，用数轴表示不等式解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向原则是：“小于向左，大于向右”．13．（4.00分）一次函数y=x+2图象与y轴交点坐标为（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（2，0） D．（﹣2，0）【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出发一次函数y=x+2图象与y轴交点坐标．【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，∴一次函数y=x+2图象与y轴交点坐标为（0，2）．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点坐标特征，代入x=0求出y值是解题关键．14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形概念求解．【解答】解：D选项图形是轴对称图形，A，B，C选项图形不是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形概念：轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．15．（4.00分）已知⊙O半径为5cm，圆心O到直线l距离为5cm，则直线l与⊙O位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据圆心到直线距离5等于圆半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【点评】此题考查直线与圆关系，能够熟练根据数量之间关系判断直线和圆位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．16．（4.00分）若关于x一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【分析】设方程另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3．【点评】本题考查了根与系数关系以及一元二次方程解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题关键．17．（4.00分）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等四边形为正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对顶角性质，菱形判定，正方形判定，平行线性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等四边形为正方形，故④正确，故选：B．【点评】本题考查了正方形判定、菱形判定、平行线性质、对顶角性质，熟记对顶角性质，菱形判定，正方形判定，平行线性质是解题关键．18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O两条弦，且CD ∥AB，若⊙O半径为5，CD=8，则弦AC长为（）A．10 B．8 C．4 D．4【分析】由AB是圆切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE===3，∴AE=AO+OE=8，则AC===4，故选：D．【点评】本题主要考查切线性质，解题关键是掌握切线性质：圆切线垂直于经过切点半径及垂径定理．三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明主要步骤）19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=2+1﹣2=1．【点评】此题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解本题关键．20．（6.00分）解方程组：【分析】①+②求出x，把x=2代入①求出y即可．【解答】解：①+②得：4x=8，解得：x=2，把x=2代入①得：2+y=3，解得：y=1，所以原方程组解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题关键．21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE周长．【分析】（1）由全等三角形判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形对应边相等和勾股定理求得线段DE长度，结合三角形周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB中点，∴AE=BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE===5，∴△CDE周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．【点评】本题主要考查了全等三角形判定和性质，矩形性质，全等三角形判定是结合全等三角形性质证明线段和角相等重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当判定条件．22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示两个不完整统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）求n值；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完人数．【分析】（1）由读完3部人数乘以占百分比求出n值即可；（2）求出读完2部人数，补全条形统计图即可；（3）求出读完4部百分比，乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），则n值为100；（2）四大古典名著你读完了2部人数为100﹣（5+15+30+25）=25（人），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：25%×2000=500（人），则该校四大古典名著均已读完人数为500人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中数据是解本题关键．23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美景点C．经测量，C位于A北偏东60°方向上，C位于B 北偏东30°方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路长．（结果保留根号）【分析】（1）先根据方向角定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km．；（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案．【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B北偏东30°方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．【点评】本题考查解直角三角形应用﹣方向角问题，比较简单．涉及到三角形内角和定理，等腰三角形判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C是解题关键．24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）图象经过点A（1，3）、B （3，m）．（1）求反比例函数解析式及B点坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB值最小，求满足条件点P坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；（2）作A点关于x轴对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB值最小，再利用待定系数法求出直线BA′解析式，然后求出直线与x轴交点坐标即可得到P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，∴反比例函数解析式为y=；把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，∴B点坐标为（3，1）；（2）作A点关于x轴对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此时此时PA+PB值最小，设直线BA′解析式为y=mx+n，把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，∴直线BA′解析式为y=2x﹣5，当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，∴P点坐标为（，0）．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式：先设出含有待定系数反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数对应值）带入解析式，得到待定系数方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题．25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号电脑共100台，其中B型电脑进货量不超过A型电脑2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑销售总利润为y元．（1）求y关于x函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大进货方案．【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑进货量不超过A型电脑2倍且电脑数量为整数”求得x范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x增大而增大，分别进行求解．【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，33≤x≤60①当0＜a＜100时，y随x增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑销售利润最大．【点评】题主要考查了一次函数应用及一元一次不等式应用，解题关键是根据一次函数x值增大而确定y值增减情况．26．（22.00分）如图1，经过原点O抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x 轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线对称轴相交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点三角形与以点A、O、B为顶点三角形相似，求满足条件点P坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E 恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′解析式；（4）在（3）问条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件点F坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）∴OC=，OB=5当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°∴△MEN为等腰直角三角形．当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形∴点′E坐标为（a﹣b，b）∵EE′平行于x轴∴E、E′关于抛物线对称轴对称∵∴b=2a﹣3则点N坐标可化为（a，2a﹣3）把点N坐标带入y=得：2a﹣3=解得a1=1，a2=6∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0∴a=6舍去则点N坐标为（1，﹣1）把N坐标带入y=x+c则c=﹣2∴直线l′解析式为：y=x﹣2（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）则△MOK为等腰直角三角形∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）【点评】本题时代数几何综合题，考查了二次函数待定系数法及其轴对称性、三角形相似以及等腰三角形判定．解答过程中注意应用直线y=x与x轴正向夹角为45°这个条件．。
湖南省湘西州2015年中考数学真题试题(含解析)
2015年湖南省湘西州中考数学试卷 一、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．﹣2015的绝对值是 2015 ．考点：绝对值．分析：根据相反数的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．解答：解：∵﹣2015的绝对值等于其相反数，∴﹣2015的绝对值是2015；故答案为：2015．点评：此题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．2．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1=40°，则∠2= 140 度．考点：平行线的性质．.分析：根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可．解答：解：∵a∥b，∠1=40°，∴∠2=180°﹣40°=140°，故答案为：140点评：此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2的度数．3．（4分）（2015•湘西州）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．考点：因式分解-运用公式法．.专题：因式分解．分析：直接利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．4．（4分）（2015•湘西州）每年的5月31日为世界无烟日，开展无烟日活动旨在提醒世人吸烟有害健康，呼吁全世界吸烟者主动放弃吸烟，全世界每年因吸烟而引发疾病死亡的人数大约为5400000人，数据5400000人用科学记数法表示为 5.4×106 人．考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将5400000用科学记数法表示为：5.4×106．故答案为：5.4×106．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）（2015•湘西州）掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6；则出现点数为1的概率为 ．考点：概率公式．.分析：根据概率公式知，6个数中有1个数为1，故掷一次骰子，向上一面的点数为1的概率是．解答：解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有1种为向上一面的点数是1，故其概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．6．（4分）（2015•湘西州）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．考点：分式有意义的条件．.分析：利用分式有意义的条件得出其分母不能为0，进而求出即可．解答：解：∵分式有意义，∴2﹣x≠0，∴x≠2．故答案为：x≠2．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义分母不能为0是解题关键．7．（4分）（2015•湘西州）如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为 1：4 ．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．.分析：根据三角形的中位线得出EF=BC，DE∥BC，推出△EF∽△ABC，根据相似三角形的性质得出即可．解答：解：∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为：1：4．点评：本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．（4分）（2015•湘西州）如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为 4 cm．考点：垂径定理；等腰直角三角形．.分析：首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．解答：解：∵OE⊥AB，∴AE=EB在Rt△AOE中，∠OAB=45°，∴tan∠OAB=，∴AE=OE=2．∴AB=2AE=2×2=4．故答案为：4cm．点评：本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）9．（4分）（2015•湘西州）下列运算正确的是（ ） A．a+2a=2a2B．+=C．（x﹣3）2=x2﹣9D．（x2）3=x6考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；完全平方公式．.分析：分别根据合并同类项的法则、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、a+2a=2a≠2a2，故本选项错误；B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（x﹣3）2=x2﹣6x+9，故本选项错误；D、（x2）3=x6，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．10．（4分）（2015•湘西州）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）考点：关于原点对称的点的坐标．.分析：关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．解答：解：∵点A坐标为（﹣2，1），∴点B的坐标为（2，﹣1）．故选B．点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．11．（4分）（2015•湘西州）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A．球B．圆锥C．圆柱D．长方体考点：简单几何体的三视图．.分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图完全相同的选项即可．解答：解：A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意；B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；D、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意．故选A．点评：本题考查的是简单几何体的三视图，考查常见立体图形的三视图和学生的空间想象能力．解决本题的关键是找到几何体的三视图，掌握完全相同的含义．12．（4分）（2015•湘西州）湘西土家族苗族自治州6月2日至6月8日最高气温（℃）统计如下表：日期2日3日4日5日6日7日8日最高气温℃28252530322827则这七天最高气温的中位数为（ ） A．25℃B．27℃C．28℃D．30℃考点：中位数．.分析：首先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数解答即可．解答：解：将这组数据从小到大的顺序排列（25，25，27，28，28，30，32），处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28，故选C．点评：本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13．（4分）（2015•湘西州）下列方程中，没有实数根的是（ ） A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x+5=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0考点：根的判别式．.分析：利用判别式分别判定即可得出答案．解答：解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．点评：本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．14．（4分）（2015•湘西州）式子2+的结果精确到0.01为（可用计算器计算或笔算）（ ） A．4.9B．4.87C．4.88D．4.89考点：计算器—数的开方．.分析：首先得出≈1.732，≈1.414，进一步代入求得答案即可．解答：解：∵≈1.732，≈1.414，∴2+≈2×1.732+1.414=4.878≈4.88．故选：C．点评：此题主要考查了利用计算器求数的开方运算，解题首先注意要让学生能够熟练运用计算器计算实数的四则混合运算，同时也要求学生会根据题目要求取近似值．15．（4分）（2015•湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ） A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定考点：点与圆的位置关系．.分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．解答：解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．点评：本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．16．（4分）（2015•湘西州）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ） A．36°B．60°C．72°D．108°考点：等腰三角形的性质．.分析：根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．点评：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．17．（4分）（2015•湘西州）已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ） A．B．C．D．考点：一次函数图象与系数的关系．.分析：根据k、b的符号确定直线的变化趋势和与y轴的交点的位置即可．解答：解：∵k＞0，∴一次函数y=kx﹣b的图象从左到右是上升的，∵b＜0，一次函数y=kx﹣b的图象交于y轴的负半轴，故选B．点评：本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．18．（4分）（2015•湘西州）下列说法中，正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形考点：命题与定理．.分析：根据确定圆的条件对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．解答：解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一组对边平行且另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以C选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项正确．故选D．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）19．（5分）（2015•湘西州）计算：32﹣20150+tan45°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．解答：解：原式=9﹣1+1=9．点评：本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．20．（5分）（2015•湘西州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．.分析：首先根据解一元一次不等式组的方法，求出不等式组中每个不等式的解集；然后找出每个不等式的解集的公共部分，求出不等式组的解集；最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．解答：解：∵，∴∴1≤x≤3，把不等式组的解集在数轴上表示出来为：．点评：（1）此题主要考查了解一元一次不等式组问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一元一次不等式组的解法以及解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．（2）此题还考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．21．（8分）（2015•湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.专题：证明题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．22．（8分）（2015•湘西州）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．.分析：（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据反比例函数的性质先判定图象在一、三象限，y随x的增大而减小，根据1＜3＜0，可以确定B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，从而判定m，n的大小关系．解答：解：（1）因为反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2），把x=﹣3，y=﹣2代入解析式可得：k=6，所以解析式为：y=；（2）∵k=6＞0，∴图象在一、四三象限，y随x的增大而减小，又∵1＜3＜0，∴B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，∴m＜n．点评：本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．23．（8分）（2015•湘西州）某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状，随机抽取了某校50名初中生进行调查，依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：类别重视一般不重视人数a15b（1）求表格中a，b的值；（2）请补全统计图；（3）若某校共有初中生2000名，请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．.专题：计算题．分析：（1）由总人数结合条形统计图求出a与b的值即可；（2）补全条形统计图，如图所示；（3）求出“重视课外阅读名著”的初中生人数占的百分比，乘以2000即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：b=5，a=50﹣（15+5）=30；（2）补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：2000×=1200（人），则该校“重视课外阅读名著”的初中生人数约有1200人．点评：此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．24．（8分）（2015•湘西州）湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．（1）请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；（2）该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？考点：二元一次方程组的应用．.分析：（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，根据若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元，列出方程组，求解即可；（2）将（1）中的每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格代入解得即可．解答：解：（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，可得：，解得：，答：每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元，45元；（2）把每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元，45元代入，可得：4×30+2×45=210（元），答：该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需210元．点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．25．（12分）（2015•湘西州）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.分析：（1）过点A作AD⊥OD于点D，可求得AD的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．解答：解：（1）作AD⊥OC，∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，∴AD=DO=60÷=60km，∵60＞50，∴A市不会受到此台风的影响；（2）作BG⊥OC于G，∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，∴BG=OB=40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE=BF=50km，∴EG==30km，∴EF=2EG=60km，∵风速为40km/h，∴60÷40=1.5小时，∴影响时间约为1.5小时．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．26．（24分）（2015•湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）先由直线AB的解析式为y=﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B 的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．解答：解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；（3）如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴MB==．当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，△=32﹣4×1×3＜0，无解：当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=．∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．点评：本题主要考查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用，利用含字母t的式子表示出相关线段的长度，根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键．。
湖南省长沙市2014年中考数学真题试题(含答案)
2014年长沙市中考数学试卷(本卷共26个小题，满分120分，考试时间120分钟)一、选择题：(本大题10个小题，每小题3分，共30分)在每个小题的下面，都给出了A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的题号内． 1．21的倒数是( ) A ．2B ．-2C ．21 D ．-21 2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A ．圆锥B ．六棱柱C ．球D ．四棱锥3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )A ． 3和3B ． 3和4C ． 4和3D ． 4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A ．相等B ．互相平分C ． 互相垂直D ．互相垂直且相等 5 ．下列计算正确的是( )A ．752=+ B ．422)(ab ab = C ．a a a 632=+ D ．43a a a =⋅6 ．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD 的长等于( )A ． 2 cmB ． 3 cmC ． 4 cmD ． 6 cm 7 ．一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )A ． x >1B ．x ≥1C ．x >3D ．x ≥3 8．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB=60°, 则对角线BD 的长为 ( )A ． 1 BC ． 2D ．9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )10．函数a y x=与函数2y ax =（0a ≠）在同一坐标系中的图像可能是( ) A B DCA D B二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．如图，直线a ∥b,直线c 与a,b 相交，∠1=70°，则∠2= 度； 12．抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标为 ；13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠A OB=100°，则∠ACB= 度；14．已知关于x 的 一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k= ． 15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为 ． 16．如图，△ABC 中，DE ∥BC,23DE BC =,△AD E 的面积为8，则△ABC 的面积为 ；17.如图，B 、E 、C、F 在同一直线上，AB ∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ；18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在x 轴上存在点P ，使P 到A,B 两点的距离之和最小，则P 的坐标为 ；三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分) 19．计算：201411(1)()453--+︒20．先化简，再求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中，x =3；四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.a bc 12 第11题图 第13题图 AEDC第16题图 C AF DE 第17题图小吃类别口味人数臭豆唆螺 糖油粑请根据所给信息解答以下问题： （1） 请补全条形统计图；（2） 若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人； （3） 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D ，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A ”的概率；22.如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O, (1) 求证：△AEO ≌△CDO ；（2）若∠OCD=30°，求△ACO 的面积；五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)23． 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。
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1 湖南省湘西州2014年中考数学试卷 一、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，将正确答案填在相应的横线上） 1．（3分）（2014•湘西州）2014的相反数是 ﹣2014 ．
考点： 相反数． 分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 解答： 解：2014的相反数是﹣2014， 故答案为：﹣2014． 点评： 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2014•湘西州）分解因式：ab﹣2a= a（b﹣2） ． 考点： 因式分解-提公因式法． 分析： 观察原式，公因式为a，然后提取公因式即可． 解答： 解：ab﹣2a=a（b﹣2）．（提取公因式） 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式，确定出公因式为a是解题的关键．
3．（3分）（2014•湘西州）已知∠A=60°，则它的补角的度数是 120 度． 考点： 余角和补角． 分析： 根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角． 解答： 解：这个角的补角=180°﹣60°=120°． 故答案为：120． 点评： 本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°是关键．
4．（3分）（2014•湘西州）据中国汽车协会统计，2013年我国汽车销售量约为2198万辆，连续五年位居全球第一位，请用科学记数法表示21980000= 2.198×107 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：21980000=2.198×107．
故答案为：2.198×107． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2014•湘西州）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE= 20 度．
考点： 对顶角、邻补角；角平分线的定义． 分析： 由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE 2
即可． 解答： 解：∵∠AOC=40°， ∴∠DOB=∠AOC=40°， ∵OE平分∠DOB， ∴∠DOE=∠BOD=20°， 故答案为：20． 点评： 本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．
6．（3分）（2014•湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= 4 cm．
考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 先根据垂径定理得出CE的长，再在Rt△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长． 解答： 解：∵CD⊥AB ∴CE=CD=×6=3cm， ∵在Rt△OCE中，OE=cm．
故答案为：4． 点评： 本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分） 7．（4分）（2014•湘西州）下列运算正确的是（ ） A． （m+n）2=m2+n2 B． （x3）2=x5 C． 5x﹣2x=3 D． （a+b）（a﹣b）=a
2
﹣b2
考点： 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式． 分析： 根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可． 解答： 解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故本选项错误；
B、（x3）2=x6，故本选项错误； C、5x﹣2x=3x，故本选项错误； D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故本选项正确； 故选D． 点评： 本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注意：完全平方公式有（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，题目比较好，难度适中．
8．（4分）（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（ ） A． 0 B． ﹣1 C． ﹣3 D． 3
考点： 代数式求值． 分析： 先把6﹣2x+4y变形为6﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y=3整体代入计算即可． 解答： 解：∵x﹣2y=3， ∴6﹣2x+4y=6﹣2（x﹣2y）=6﹣2×3=6﹣6=0 故选：A． 点评： 本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算． 3
9．（4分）（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2 考点： 等腰直角三角形． 分析： 由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，得出AD=BD=AB=1，再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1． 解答： 解：∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠A=∠B=45°， ∵CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°， ∴CD=BD=1． 故选：C． 点评： 本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．
10．（4分）（2014•湘西州）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（ ）
A． 45° B． 60° C． 90° D． 120° 考点： 平行线的性质；垂线． 分析： 根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1． 解答： 解：∵c⊥a， ∴∠1=90°， ∵a∥b， ∴∠2=∠1=90°． 故选C．
点评： 本题考查了平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 11．（4分）（2014•湘西州）在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同， 4
从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ） A． B． C． 1 D．
考点： 概率公式． 分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答： 解：根据题意可知，共有8个球，红球有3个， 故抽到红球的概率为， 故选B． 点评： 本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12．（4分）（2014•湘西州）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．（4分）（2014•湘西州）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A． 500名学生 B． 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C． 50名学生 D． 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
考点： 总体、个体、样本、样本容量． 分析： 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 解答： 解：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况． 故选B． 点评： 本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．
14．（4分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ） A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8 5
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 解答： 解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8； 当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7． 故选D． 点评： 题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
15．（4分）（2014•湘西州）正比例函数y=x的大致图象是（ ） A． B． C． D．
考点： 正比例函数的图象． 分析： 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限． 解答： 解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限． ∴正比例函数y=x的大致图象是C． 故选：C． 点评： 此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．
16．（4分）（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（ ） A． 相等的角一定是对顶角 B． 四个角都相等的四边形一定是正方形 C． 平行四边形的对角线互相平分 D． 矩形的对角线一定垂直
考点： 正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质． 分析： 根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解． 解答： 解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误； B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误； C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确； D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
三、解答题（本大题9小题，共92分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤） 17．（6分）（2014•湘西州）计算：2﹣1+2cos60°+．
考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=+2×+3=4．