山东日照2015高三一模理科数学试题

山东日照2015高三一模理科数学试题2015年高三模拟考试理科数学参考答案与评分标准 2015.03一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案D ，{}[0,2],|01,(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂=或.故选D.2.解析: 答案A ,求出z 1·2z 的虚部，令其为0. ∵复数z 1=3+4i ，z 2=t +i ， ∴z 1•2z =（3t +4）+（4t ﹣3）i ，∵z 1•2z 是实数，∴4t ﹣3=0，∴t =34.故选A. 3.解析: 答案B ,由2log (31)0x +≤ 得311x +≤即30x≤,显然无解，所以p 是假命题，又由含量词命题的否定易得⌝p ：R x ∀∈,2log (31)0x+>.故选B.4.解析：答案B ，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.5.解析: 答案B ，先画出x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如右图：由2y xx y =⎧⎨+=⎩ ，得B (1，1)，由x a y x =⎧⎨=⎩，得C (a ，a )，当直线2z x y=+过点B (1，1)时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点C (a ，a )时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以a =14，故选B .6.解析：答案D ，由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=-.所以选D.7.解析：答案A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ． 8.解析:答案D ,当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．故选D ．9. 解析: 答案 C ，如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系， 设(),,0A x y y > ，AB AC =，AD kAC kAB ∴==，即222AD k AB =，22222x l y k x y ∴-+=+（）（），整理得：()()22222222222221221111k x lx l l l k l y x x k k k k --+-==-+-≤----，即max 21kl y k =-， BD l =，∴()()()2maxmax2121ABC ABD l S S kk ==-.故选C. 10. 解析: 答案 A ，利用条件构造函数h （x ）=xf （x ），∴h ′（x ）=f （x ）+x •f ′（x ），∵y =f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴h （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，h '（x ）=f （x ）+x •f ′（x ）＞0，∴此时函数h （x ）单调递增．∵a =12f （12）=h （12），b =﹣2f （﹣2）=2f （2）=h （2），c=（ln 12）f （ln 12）=h （ln 12）=h （﹣ln2）=h （ln2），又2＞ln2＞12，∴b ＞c ＞a ．故选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.; 12. 0.2 ;13.; 14. 10 ； 15.. 11.，由题意知e ==2，（a ＞0），由此可以求出a． 12.解析：答案 0.2 ，因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称，又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=. 13.解析：答案BC=，因为,60AB AC =,所以2213213cos60BC =+-⨯⨯⨯=7.14.解析：答案 10，分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C +=.15.解析：答案(2π2+ ，每次转动一个边长时，圆心角转 过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在 这11次中，半径为1的63次，半径为0的 2次，点A 走过的路径的 长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯三、解答题：本大题共6小题，共75分.第(15)题图16.解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+, 由题意知：()f x 的周期为π，由2ππ2ω=，知1ω= ………………………………………………………2分 由)(x f 最大值为2，故232=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π()2sin(2)3f x x =+ ………………………………………………………………………………………………………4分 令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =+∈ ……………………………………6分（Ⅱ）由4()3f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………………………………10分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………12分17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一 个法向量为(0,0,1)n =设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =,则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =- (9)分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E BC A --的余弦值为……12分(18)解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则312737013310109849()()()12060C C C P A P A P A C C =+=+==……………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 , 37343(0)()101000P ξ===; 12337441(1)()10101000P C ξ==⋅⋅=;22337189(2)()10101000P C ξ==⋅⋅=; 3327(3)()101000P ξ===. 分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 注：用二项分布直接求解也可以． 19．解：（Ⅰ）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+……10分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减， 又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 12分20.解：（Ⅰ）依题意得，()()s i n ,e c o s .x f x x g x x ==⋅()00e c o s 01g ==， ()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=,所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+………………………………………4分（Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ······································ 10分（Ⅲ）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H ->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ········································· 13分21.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a -+--=22021()x a a-≥21)，0a x a -≤≤,当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==111x y ==, 知ON PQ ⋅=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k-+=-=++, 12PQ x =-==,d =11222POQ S d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=， 422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>, 由前知12322x x k m+=-，2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m ++=+=+=-, 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++, 22221125(3)(2)4OM PQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. ………………………10分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）, 所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=, 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS===, 因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）..……………………14分。