1.2任意角的三角函数(1)教案
1.2.1任意角的三角函数(1)
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
P(a, b)
1
cos a
x
o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定 义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M
1.2.1任意角的三角函数1(张奕辉用)
任意角的三角函数定义： 任意角的三角函数定义：
如图， 是一个任意角， 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y) 那么： P(x,y)， 于点P(x,y)，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即 y 叫做α的正弦，记作sinα， inα sinα=y； sinα=y； （2）x叫做α的余弦， 叫做α的余弦， 记作cosα， 记作cosα，即 cosα cosα=x； cosα=x；
结论：一全，二正，三切， 结论：一全，二正，三切，四余
终边相同的角的集合 { β | β = α + k ⋅ 2π , k ∈ z }
问题：根据三角函数的定义，终边相同的角的 同一三角函数值是否相等?
终边相同 点的坐标相同 同一函数值相同
【例3】求下列各式的值： 求下列各式的值： (1) sin 25π + tan(− 15π );
【规范解答】(1)sin 规范解答】
(2)sin810°+cos360° 125° (2)sin810°+cos360°-tan1 125° =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360° =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360°)tan(3×360°+45°)=sin90°+cos0° tan45°=1+1tan(3×360°+45°)=sin90°+cos0°-tan45°=1+1-1=1.
y
M0 M
x O
设角 α 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) , 分别过点 P, P0 作 x 轴的垂线 MP, M 0 P0 ,则
P（x，y） P0 （－3，－4）
任意角三角函数教案
1二、任意角的三角函数（1）一、教学内容分析：高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主如果从通过问题引导学生自主探讨任意角的三角函数的生成进程，从而很好理解任意角的三角函数的概念。
在《课程标准》中：三角函数是大体初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求咱们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其大体性质，体会三角函数在解决具有转变规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析咱们的课堂教学常常利用“高起点、大容量、快推动”的做法，忽略了知识的发生发展进程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。
我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的概念及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的概念中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、按照学生的生活经验，创设丰硕的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，和音乐、波浪、潮汐、四季转变等实例，使学生感受周期现象的普遍存在，熟悉周期现象的转变规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型和三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期转变的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处置上的一个突出特点。
按照《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮忙学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并成立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的概念并熟悉其概念域、函数值的符号。
高中数学1.2.1任意角的三角函数优秀课件
其中: OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
r b
tan MP b
OM a
o
﹒
aMx
5
诱思探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OM P
sin MP M P
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P终边ຫໍສະໝຸດ (Ⅲ)yTα的 终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
(Ⅳ) 终边 34
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0;
OP OP
cos OM
OP
OM OP
x
tan MP
OM
M P OM
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？ 6
若OP r 1，则以原点为圆心,以单位
长度为半径的圆叫做 单位圆.
Y
P(a,b)
O
M
sin
MP OP
b
cos OM a
X
OP
tan MP b a OM
7
1、任意角的三角函数第一定义
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
蒋王中学高一任意角的三角函数(1)
1.2.1 任意角的三角函数一、学习目标1. 理解任意角三角函数的定义，能根据三角函数的定义确定三角函数的定义域，函数值得符号。
2. 体会类比思想在数学学习中的作用重点、难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义二、课前自学问题：如何定义任意角的三角函数？阅读P11回答下列问题：1.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ,它与原点的距离是r ，如图1，当α是锐角时，),(y x 与),(αr 之间有何关系？它与锐角三角函数是否一致？如图2，你能否将锐角三角函数推广到任意角的三角函数？3. 三个比值xy r x r y ,,与点P 在教的终边上的位置是否有关？请你将三角函数的定义和函数的定义对照，考虑它们是否符合函数定义的要求。
三、问题探究例1 已知角α的终边经过点P （2，-3），求α的正弦、余弦、正切的值。
引申：（1）已知角β的终边在直线x y 3=上，使用三角函数的定义，求βsin 、βcos 、βtan 。
（2）已知角θ的终边过点P （-4t,3t ）(0≠t ),求θθcos sin 2+的值。
例2 确定下列三角函数值得符号：（1）π127cos（2）)465sin( - （3）π311tan例3 已知αsin <0且0tan >α，试判断2tanα和2cos 2sin αα的符号四、反馈小结1.反馈:必修四P152.小结本节课主要内容五、课后作业1. 必修四 P222. 已知角α的终边经过P （65cos ,65sinππ），那么角α为_____________ 3. 已知θ是第三象限角，2cos θ<0，那么2θ所在象限为_________________ 4. （思考）已知角α的终边在直线kx y =上，若52sin =α，且αcos <0，试求实数k 的值。
任意角的三角函数的定义 精品教案
1.2.1 任意角三角函数的定义(方永富，高一14班)
知识与技能：
1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数值的符号与角的象限的关系，诱导公式（一）。
过程与方法：
1理解并掌握任意角的三角函数的定义；
2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
3通过对三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
情感态度与价值观：
1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式
2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：三角函数的定义；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一
教学难点：任意角三角函数的定义．
【教学过程】
第六章三角函数
第六章三角函数。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案关键信息1、课程名称：任意角的三角函数2、教学目标：学生能够理解任意角三角函数的定义。
掌握三角函数在各象限的符号。
能够运用三角函数解决简单的数学问题。
3、教学方法：讲授法练习法讨论法4、教学资源：教材多媒体课件练习册5、教学时长：具体时长6、教学评估：课堂提问作业完成情况考试成绩1、教学内容11 任意角的概念111 回顾锐角、直角、钝角等常见角的概念。
112 引入任意角的定义，包括正角、负角和零角。
113 通过实例说明任意角在实际生活和数学中的应用。
12 弧度制121 讲解弧度制的定义和与角度制的换算关系。
122 进行弧度制与角度制的转换练习。
13 任意角的三角函数定义131 以单位圆为基础，介绍正弦、余弦、正切函数的定义。
132 通过图形和实例，帮助学生理解三角函数的定义。
14 三角函数在各象限的符号141 分析三角函数在不同象限的正负情况。
142 给出记忆口诀，帮助学生快速判断符号。
15 三角函数的基本关系式151 推导同角三角函数的基本关系式。
152 通过例题和练习巩固关系式的应用。
2、教学方法21 讲授法211 教师系统地讲解任意角的三角函数的概念、定义和相关知识。
212 运用多媒体课件辅助讲解，使抽象的知识更加直观。
22 练习法221 安排学生进行课堂练习，及时巩固所学知识。
222 针对学生练习中出现的问题进行讲解和纠正。
23 讨论法231 组织学生讨论三角函数在实际问题中的应用，激发学生的思维。
232 鼓励学生分享自己的思考和见解，促进学生之间的交流与合作。
3、教学资源31 教材311 选择适合学生水平的教材，作为教学的主要参考资料。
312 引导学生合理利用教材中的例题和习题进行学习。
32 多媒体课件321 制作生动形象的多媒体课件，展示图形、动画等，帮助学生理解抽象概念。
322 课件内容包括教学重点、难点的讲解和例题的演示。
33 练习册331 选择配套的练习册，提供丰富的练习题，帮助学生巩固知识和提高解题能力。
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
高一年级数学备课组集体备课教案任意角的三角函数
§任意角的三角函数
【 预习自学】
1.初中学过的三角函数是怎样定义的?
2.三角函数在各个象限例的正负如何?
3.如何能求出任意一个角的三角函数值?
4.三角函数线是怎样定义的?
【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，
以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
B
能
力
要
求
2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等。
B
3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.。
B
4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
A
教学重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离 ,那么 , , .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
角度制
弧度制
例3．求证：当且仅当不等式组终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中 )
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1) ; (2) ; (3) ; (4)
1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 【例7】 判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 答案32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。
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1.2.1 任意角的三角函数（1）
教学目标：
1、借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
2、目标在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力
3、在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
教学重、难点：根据定义求三角函数值。
教学过程：
一、复习回顾：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则 ,,a b a sinA cosA tanA c c b === ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、新课讲解：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）
的坐标为(,)x y ，
它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 特别地：当1=r 时有
（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r
α=； y =αsin （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r
α=； x =αcos （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； x
y =αtan （)0≠x 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当()2k k Z παπ=
+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x
α=无意义； ④除上述情况外，对于确定的值α，比值
y r 、x r 、y x
分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三个函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
例1 已知角α的终边经过点)4,3(--，求α的正弦、余弦和正切值。
练习1、书本P 15 2
例2 求 π3
5的正弦、余弦和正切值 练习2、书本P 15 1
例3 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值。
解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2x a y a ==
当0sin
5y a r α>====时，， cos 5x r α===；
当0sin
5y a r α<====-时，
cos x r α===． 4．三角函数的符号（让学生来完成书本13页表格）
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值
y r
对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x
对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
练习：完成P 15的3.
例4：求证：当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0
sin θθ成立时，角θ为第三象限角。
反之也成立。
课堂小结：1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
课堂作业： 20页 第1题（用定义求）、 2、3（1）（4）。