六年级下册数学试题-超难奥数题之数论专题：质合看分解(含答案)人教版
六年下册奥数试题：质数与合数 全国通用(含答案)
第3讲质数与合数知识网络1．质数与合数（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。
2．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
重点·难点要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）关于质数1）质数有无限多个。
2）最小的质数是2。
3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
4）每个质数只有两个约数：1和它本身。
（3）关于合数1）合数有无限多个。
2）最小的合数是4。
3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。
例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
学法指导（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。
判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。
（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。
如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。
那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。
（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。
小学六年级奥数 数论之质合数论之质合、、因倍因倍、、余数综合余数综合_PDF压缩
【例1】(★ ★) 有一组密码有7个数字组成，它们不是2就是1，并且数字2比数字1
的数量多，已知这个密码能被3和4整除，试求出其中的一个密码。
【例2】(★★) 有一个长长的纸条，里面有37个方格，要求在每个方格里填入 一个自然数，从1到37，既不重复，也不遗漏。但数字不能随便 乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1个数与 第2个数之和能被第3个数整除；第1、2、3个数之和能被第4个 数整除，…这个规律一直要保持下去，直到前面36个数的和能
数论之质合、因倍、余数综合
一、整除 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能 被b整除。 (1)末尾系:2,5;4,25;8,125 (2)和系：3,9;99 (3)差系：7,11,13 (4)拆分系 (5)试除法
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二、质数与合数
质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数 (或素数)。
【例5】(★★★) 有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是？
【例6】 (★★★) 一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前 两位数字组成的两位数。如果它后两位数字组成的两位数是质 数，那么原来的四位数是多少？
一、本讲重点知识回顾
1．整除：整除特征熟记
2. 质合：100以内质数熟记，特殊质数——2,5 3. 因倍：因数个数定理，
最小公倍数的乘积。 两个数的最大公因数是这两个数的和，差， 积的因数。 四、余数
1．运算性质：
(1)和的余数等于余数的和
(2)积的余数等于余数的积 1
2．同余定理 （1）定义 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b （ mod m） （2）性质 若两个数关于某一个数同余，那么这两个数的差一定是这个数的倍数
2超难奥数题之数论专题：质合看分解
质合看分解【例1】2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？【例2】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，……，3599，开始时头都朝东。
第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，……，如此进行。
那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【例3】若整数A使得(A－42)能整除(42A－1)，那么所有这样的A是多少？【例4】在1，2，3，…，1994，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数来：1995＋a能整除1995×a。
测试题【例1】对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30。
那么在1，2，……，16这16个整数中，有“好数”多少对？【例2】已知m 、n 两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n 有10个约数，求数m 与n 的和。
【例3】如果n 个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明，n 的最大值为4。
⑵当4n =时，求4个质数的乘积的最小值。
答案：【例1】 【分析】设这两个数为a 、b ，且a b <，有()ab k a b =+，即111a b k+=，这样就变成了分数拆分问题。
单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ， 有：111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B+==+=++++， 由于16a b <≤，故11111116168k a b =+>+=，得8k <。
当2k =时，有1121122(12)36+==+⨯+，由于a b <，有36a b =⎧⎨=⎩满足； 当3k =时，有1131133(13)412+==+⨯+，有412a b =⎧⎨=⎩满足； 当4k =时，有1121144(12)612+==+⨯+，由于16a b <≤，有612a b =⎧⎨=⎩满足；当5k =时，有1151155(15)630+==+⨯+，由于16a b <≤，此时没有满足条件的a 、b ； 当6k =时，有1231166(23)1015+==+⨯+，由于16a b <≤，有1015a b =⎧⎨=⎩满足； 当7k =时，有1171177(17)856+==+⨯+，由于16a b <≤，此时没有满足条件的a 、b ； 如此逐个验证k 的值，可得“好数”有3与6，4与12，6与12，10与15，共有4对。
六年级下册人教版数学奥数题
六年级下册人教版数学奥数题第一章几何运算1.1 三角形的判定根据给定的条件判定下列图形是否为三角形，并给出理由。
1) 图形ABC，AB = AC = 3 cm，∠BAC = 60°。
解析：由于两边相等且夹角为60°，符合边边角（SSA）判定三角形的条件，故图形ABC是一个三角形。
2) 图形PQR，PQ = 6 cm，QR = 7 cm，RP = 10 cm。
解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可以得有：PQ +QR > RP，PQ + RP > QR，QP + RP > QR。
将给定的数值代入可以得到：6 + 7 > 10，6 + 10 > 7，7 + 10 > 6。
这些不等关系成立，因此图形PQR是一个三角形。
3) 图形XYZ，XY = 4 cm，YZ = 8 cm，ZX = 6 cm。
解析：同样利用三角形两边之和大于第三边的性质进行判定，我们可以得到：XY + YZ > ZX，XY + ZX > YZ，YZ + ZX > XY。
将给定的数值代入可以得到：4 + 8 > 6，4 + 6 > 8，8 + 6 > 4。
这些不等关系成立，因此图形XYZ是一个三角形。
1.2 相似与全等判断下列图形是否相似，并给出相似的理由。
1) 图形ABC与图形DEF。
解析：两个三角形相似的条件是对应角相等且对应边成比例。
通过观察可以发现∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
并且，AC : DF = 2 : 4 = 1 : 2，BC : EF = 3 : 6 = 1 : 2。
因此，图形ABC与图形DEF相似。
2) 图形GHJ与图形KLM。
解析：同样利用相似三角形的条件进行观察，我们可以发现∠G = ∠K，∠H = ∠L，∠J = ∠M，并且GH : KL = 4 : 6 = 2 : 3，HJ : LM = 6 : 9 = 2 : 3。
六年级数学下奥数试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列数中，不是质数的是（）A. 17B. 19C. 18D. 23答案：C解析：18可以被2、3、6、9整除，不是质数。
2. 一个数的因数有6个，那么这个数是（）A. 8B. 9C. 12D. 15答案：C解析：8的因数有1、2、4、8；9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12；15的因数有1、3、5、15。
因此，12的因数有6个。
3. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆答案：D解析：在相同周长的情况下，圆的面积最大。
4. 下列分数中，分子相同的是（）A. 3/5B. 4/7C. 6/9D. 2/3答案：C解析：6/9可以化简为2/3，分子相同。
5. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm答案：C解析：长方形的周长计算公式为：周长 = （长 + 宽）× 2。
代入数值计算得：周长 = （10cm + 5cm）× 2 = 30cm。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 下列数中，最小的质数是______。
答案：2解析：2是最小的质数。
7. 下列图形中，面积最小的是______。
答案：三角形解析：在相同周长的情况下，三角形的面积最小。
8. 下列分数中，分母相同的是______。
答案：3/5，6/10解析：3/5和6/10的分母都是10。
9. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，它的面积是______cm²。
答案：32cm²解析：长方形的面积计算公式为：面积 = 长× 宽。
代入数值计算得：面积 = 8cm × 4cm = 32cm²。
10. 下列数中，不是合数的是______。
答案：7解析：7只能被1和7整除，没有其他因数，因此是质数。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 一个正方形的边长是4cm，求它的周长和面积。
超难奥数题之数论专题及答案
【例 3】 如果 n 个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明， n 的最大值为 4 。 ⑵当 n = 4 时，求 4 个质数的乘积的最小值。
p = 3 ， q = 2 ， x = 1， y = 4 ．所以 m= 33 × 52 ， n= 3× 54 ， m + n =2550 。
【例 3】【分析】 ⑴因为如果这些数中有 3 个数除以 3 的余数各不相同或者完全相同，则这 3 个数之和必然是
3 的倍数，不可能是质数，所以这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个。 所以，最多可以写出 2 × 2 =4 个。 ⑵当 n = 4 时，因为这个数组中所有的数都是质数，所以这 4 个数不可能有被 3 除余数为 0 的，否则，在 n = 4 的情况下，这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个， 所以这些数中至少有两个被 3 除余数为 0 的，即被 3 整除的，所以这两个数中至少有一个 不是 3 这个唯一被 3 整除的质数，那么是合数，与题意不符，因此这 4 个数被 3 除的余数 的情况只有1、1、 2 、 2 。 写出所有除以 3 余1的奇质数： 7 、13 、19 、 31、 37 、 43 、 61、 67 、 73 、 79 …… 写出所有除以 3 余 2 的奇质数：5 、11、17 、23 、29 、 41 、47 、53 、59 、71、83…… 以上两行数中各有 4 个数当中的两个。 ①如果这 4 个数中含有 5 ，那么另外 3 个数被 5 除的余数可能为1、 2 、 3 、 4 。 这两行数被 5 除的余数分别如下： 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、1、 2 、 3 、 4 …… ( 0 )、1、 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、 4 、1、 3 …… 如果这其余的 3 个数被 5 除的余数各不相同，那么必有两个余数恰好在(1、 4 )、( 2 、 3 ) 这两个括号中的一个括号中。这时，该括号中余数对应的两个数与 5 的和是一个被 5 整除 的合数，与题意不符； 如果这 3 个数被 5 除的余数都相同，根据上面所列的余数的情况，这 3 个数中必然有一个 数大于或等于 37 ，这时这 4 个数的乘积至少为 5 × 7 ×11× 37 =14125 ； 如果这 3 个数被 5 除的余数仅有两个相同，容易判断，这三个余数只能是1、 3 、 3 或 2 、 2 、 4 或1、1、 2 或 3 、 4 、 4 。通过尝试，得到 5 、 7 、17 、19 这组乘积的值最小，乘 积为 5 × 7 ×17 ×19 =11305 。 ②如果这 4 个数中不含有 5 ，那么，这四个数的乘积至少是 7 ×11×13×17 =17017 。
六年级下册数学试题-超难奥数题之数论专题：穷举用技巧(含答案)人教版
【例 2】【分析】
6 只能表示为 5 1 或 1 12 1 ，所以恰好有 6 个约数的数要么能表示成某个
质数的 5 次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100 以内符合前者 的只有 32 ，符合后者的数枚举如下：
22 3 32 2 52 2 72 2
22 5 32 5 52 3
42235??24235??例2分析只能表示为或所以恰好有个约数的数要么能表示成某个6??51?????1121??6质数的次方要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数以内符合前者5100的只有符合后者的数枚举如下
穷举用技巧
【例 1】
N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N 的最大值
【例 4】 如果一个自然数的 2004 倍恰有 2004 个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
1Байду номын сангаас
测试题
【例 1】求所有能被 30 整除，且恰有 30 个不同约数的自然数。
【例 2】在1到100 中，恰好有 6 个约数的数有多少个？
答案：
【例 1】【分析】 由于 30 2 3 5 ，从质数的观点看整除，如果自然数 N 能被 30 整除，那么自然 数 N 至少含有三个质因数 2，3，5。设： N 2r1 3r2 5r3 。自然数 N 恰有 30 个不同的因数，根据约数的个数公式：（（（（r（1（ 1 r2 1 r3 1 30 2 3 5 。注意到 2 3 5 是三个约数之积，由此可知自然数 N 中质因数的个数恰好有 3 个。因此（（（（r（1（ 1 r2 1 r3 1 2 3 5 ，由此可知（（（（r1 r2 r3 必是（（1（ （ 2 4 的 一个排列。 综上所述，所求的自然数有： 2 32 54 ， 2 34 52 ， 22 3 54 ， 24 3 52 ， 24 32 5 ， 22 34 5 。
小升初必考专题分解质因数-数学六年级下册-全国通用(含答案)
分解质因数定义：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，12＝2×2×3。
部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2007＋2008＝4015＝5×11×73；10101＝3×7×13×37。
特别注意：将一个数分解质因数时通常把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
例如：120＝23×3×5，而不写成：120＝2×2×2×3×5。
例1975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？例2已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是_____厘米。
例4已知两个大于1的数互质，它们的和是5的倍数，它们的积是2924，那么它们的差等于_____。
例5有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140。
如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？例6在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。
六年级数学总复习：质数、合数与分解质因数专项练习(含答案)
六年级数学总复习：质数、合数与分解质因数专项练习（含答案）一、填空题。
1、一个数（），这样的数叫做质数；一个数（），这样的数叫做合数。
2、在自然数中，既不是质数，也不是偶数的最小数（）；既是质数，又是偶数的是（）；既是奇数又是质数的最小的数是（）；既是偶数，又是合数的最小数是（）。
3、两个都是质数的连续自然数是（）和（）。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，其中最大的是（），最小的数是（）。
5、一个合数至少有（）个约数。
6、最小的合数是（），最小的质数是（），既是偶数又是质数的数（），既是奇数又是合数的数最小是（）。
7、把一个合数（），叫做分解质因数。
8、在1、2、4、10、11这几个数中，（）是整数，（）是奇数，（）是偶数，（）是质数，（）是合数。
9、10～20之间的质数有（），其中（）个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数。
10、两个质数和为18，积是65，这两个质数是（）和（）。
11、20以内的质数有（）。
12、20以内差为4的两个质数是（）和（），（）和（），（）和（）。
13、三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是（）、（）和（）。
14、用最小的质数，最小的奇数，最小的合数和0组成一个四位数，其中能够被2和5同时整除的最大四位数是（），只能被2整除的最小四位数是（）。
15、把下面两个数写成几个质数和的形式：15＝（）＋（）；20＝（）＋（）＝（）＋（）。
16、把下面各数分别填在指定的圈里。
9、23、31、39、41、51、69、79、81、89、91、9717、一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是（）或（）。
18、10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（）。
19、一个两位数的质数，它个位上的数与十位上的数交换位置后，仍是一个质数．这样的数有（）。
20、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（），将它分解质因数是（）。
六年级下册数学试题-小升初数论真题解析及练习 人教版
1数论杂题整体概况十一：数论的题考的不是很难，不过比较灵活。
更多的时候是把数论融入到应用题中来考察。
知识框架数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．五年级主要考察整除类问题和简单余数问题。
具体内容如下：1、整除性和试除法2、因数倍数及应用3、质数合数和分解质因数4、公因数和公倍数及应用5、最值和数字拆分6、余数定理和周期7、数论中的计数问题8、完全平方数和位置原理9、数论综合和数字迷例题精讲【例 1】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？（十一分班真题）【练习】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【例 2】某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是。
因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
□□【练习】在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 3】七位数175□62□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有b-a=8，或者a-b=3。
①当b-a=8时，b可取9、8； ②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。
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2)
1 6
1 12
，由于
a
b
16
，有
a6
b
12
满足；
2
当 k 5 时，有 1 1 5 1 1 ，由于 a b 16 ，此时没有满足条件的 a 、 b ； 5 5 (1 5) 6 30
当
k
6
时，有
1 6
23 6 (2
3)
1 10
1 15
，由于
a
b
16
，有
a b
10 15
由于 a b 16 ，故 1 1 1 1 1 1 ，得 k 8 。 k a b 16 16 8
当
k
2
时，有
1 2
2
1 (1
2
2)
1 3
1 6
，由于aBiblioteka b，有a b
3 6
满足；
当
k
3
时，有
1 3
3
1 3 (1
3)
1 4
1 12
，有
a4 b 12
满足；
当
k
4
时，有
1 4
1 2 4 (1
满足；
当 k 7 时，有 1 1 7 1 1 ，由于 a b 16 ，此时没有满足条件的 a 、 b ； 7 7 (1 7) 8 56
如此逐个验证 k 的值，可得“好数”有 3 与 6，4 与 12，6 与 12，10 与 15，共有 4 对。
【例 2】【分析】 因为 75 3 52 ，所以我们如果设 m 3p 5q ， n 3x 5y ，那么 p、x 中较小的数是 1，q、 y 中较小的数是 2．我们知道一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的质数加 1 的乘积。 所以（（（（p 1 q 1 12 ，（（（（x 1 y 1 10 ，又12 3 4 2 6 ，10 2 5 ，不难得出
质合看分解
【例 1】 2001 个连续的自然数之和为 a×b×c×d，若 a、b、c、d 都是质数，则 a＋b＋c＋d 的最小 值是多少？
【例 2】 有 3599 只甲虫，依次编号为 1，2，3，……，3599，开始时头都朝东。第 1 秒钟，编号为 1 的倍数的甲虫向右转 90 度；第 2 秒钟，编号为 2 的倍数的甲虫向右转 90 度；第 3 秒 钟，编号为 3 的倍数的甲虫向右转 90 度，……，如此进行。那么，1 小时后，第 3599 号 甲虫头朝哪个方向？
答案：
【例 1】 【分析】
设这两个数为 a 、 b ，且 a b ，有 ab k a b ，即 1 1 1 ，这样就变成了分数拆分问
ab k
题。单位分数的拆分，主要方法是从分母 N 的约数中任意找出两个数 m 和 n ， 有： 1 m n m n 1 1 ，
N N(m n) N(m n) N(m n) A B
p 3 ， q 2 ， x 1 ， y 4 ．所以 m 33 52 ， n 3 54 ， m n 2550 。
【例 3】【分析】 ⑴因为如果这些数中有 3 个数除以 3 的余数各不相同或者完全相同，则这 3 个数之和必然是
3 的倍数，不可能是质数，所以这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个。所以，最多可以写出 2 2 4 个。 ⑵当 n 4 时，因为这个数组中所有的数都是质数，所以这 4 个数不可能有被 3 除余数为 0 的，否则，在 n 4 的情况下，这些数除以 3 的余数最多有两类而且每类的数最多有 2 个，所以这些数中至少有两个被 3 除余数为 0 的，即被 3 整除的，所以这两个数中至少 有一个不是 3 这个唯一被 3 整除的质数，那么是合数，与题意不符，因此这 4 个数被 3 除 的余数的情况只有1、1、 2 、 2 。 写出所有除以 3 余1的奇质数： 7 、13 、19 、 31、 37 、 43 、 61、 67 、 73 、 79 …… 写出所有除以 3 余 2 的奇质数： 5 、11、17 、 23 、 29 、 41 、 47 、 53 、 59 、 71、 83 …… 以上两行数中各有 4 个数当中的两个。 ①如果这 4 个数中含有 5 ，那么另外 3 个数被 5 除的余数可能为1、 2 、 3 、 4 。 这两行数被 5 除的余数分别如下： 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、1、 2 、 3 、 4 …… ( 0 )、1、 2 、 3 、 4 、1、 2 、 3 、 4 、1、 3 …… 如果这其余的 3 个数被 5 除的余数各不相同，那么必有两个余数恰好在(1、 4 )、( 2 、 3 ) 这两个括号中的一个括号中。这时，该括号中余数对应的两个数与 5 的和是一个被 5 整 除的合数，与题意不符； 如果这 3 个数被 5 除的余数都相同，根据上面所列的余数的情况，这 3 个数中必然有一个 数大于或等于 37 ，这时这 4 个数的乘积至少为 5 7 11 37 14125 ； 如果这 3 个数被 5 除的余数仅有两个相同，容易判断，这三个余数只能是1、 3 、 3 或 2 、 2 、 4 或1、1、 2 或 3 、 4 、 4 。通过尝试，得到 5 、 7 、17 、19 这组乘积的值最小， 乘积为 5 7 17 19 11305 。 ②如果这 4 个数中不含有 5 ，那么，这四个数的乘积至少是 7 111317 17017 。
【例 3】 若整数 A 使得(A－42)能整除(42A－1)，那么所有这样的 A 是多少？
【例 4】 在 1，2，3，…，1994，1995 这 1995 个数中找出所有满足下面条件的数来：1995＋a 能整 除 1995×a。
1
测试题
【例 1】 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。那 么在 1，2，……，16 这 16 个整数中，有“好数”多少对？
【例 2】 已知 m、n 两个数都是只含质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 m 有 12 个约数， n 有 10 个约数，求数 m 与 n 的和。
【例 3】 如果 n 个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明， n 的最大值为 4 。 ⑵当 n 4 时，求 4 个质数的乘积的最小值。
综上，这 4 个数是 5 、 7 、17 、19 时乘积取得最小值，最小值是11305 。