4.2.1 直线与圆的位置关系课件(人教A版必修2)

当k为何值时，直线l：y＝kx＋5与圆C：(x－1)2
＋y2＝1：
①相交；②相切；③相离． [提示]判断直线与圆的位置关系习惯上使用几何法，即 用d与r比较，也可以用代数法，但是一般比较复杂．
[解]
y＝kx＋5， 法一：由： x－12＋y2＝1
消去 y 得(x－1)2＋(kx
＋5)2＝1， 即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0， 故 Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k. 12 (1)当 Δ＞0，即 k＜－ 时，直线与圆相交． 5 12 (2)当 Δ＝0，即 k＝－ 时，直线与圆相切． 5 12 (3)当 Δ＜0，即 k＞－ 时，直线与圆相离． 5
已知直线 l：y＝x＋b 与曲线 C：y＝ 1－x2有两个公 共点，求实数 b 的取值范围． [错解] 曲线 C 可化为 y2＝1－x2，即 x2＋y2＝1， 得 2y2－2by＋b2－1＝0.
y＝x＋b， 由 2 2 x ＋y ＝1，
∵直线 l 与曲线 c 有两个公共点， ∴Δ＝(－2b)2－4×2×(b2－1)＞0， 解得－ 2＜b＜ 2.
[错因] 上面解法中，将直线方程和圆的方程联立，
消去y得到关于x的一元二次方程，有两个解用Δ＞0， 忽视了方程中要求y≥0，－1≤x≤1这一限制条件，导致 了错误结论．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[正解]
方程 y＝x＋b 表示斜率为 1 的
平行直线系，方程 y＝ 1－x2表示单位 圆位于 x 轴及其上方的半圆，如右图所示． 当 l 通过点 A(－1,0)，B(0,1)两点时，l 与 C 交于两点，此时 b ＝1，直线记为 l1； 当 l 和半圆相切时，切线记为 l2，此时 b＝ 2， 那么 l 夹在 l1 与 l2 之间时，直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共 点．因此 1≤b＜ 2.
2 2．已知圆的方程为 x ＋y ＝13，它与斜率为－ 的直线相切，求该 3
2 2
切线的方程．
2 解：法一：设圆的切线方程为：y＝－3x＋b， 2 因为圆 x2＋y2＝13 与直线 y＝－3x＋b 相切， 所以圆心(0,0)到直线 2x＋3y－3b＝0 的距离 |－3b| d＝ ＝ 13， 13 13 解得 b＝±3 ， 所以所求圆的切线方程为：2x＋3y－13＝0 或 2x＋3y＋13＝0.
消元，得到一元二次方程的判别
式为 Δ，则
位置关系 相交 相切 相离
交点个数 有 两 个公共点 有 且只有一个公
Δ符号 d与r大小关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 d＜r d＝r d＞r
共点
没有公共点
判断直线2x＋y－1＝0与下列圆的位置关系．
(1)x2＋y2＝1；(2)(x－1)2＋y2＝
1 5 ；
3． 求经过点 P(6， －4)， 且被圆 x2＋y2＝20 截得的弦长为 6 2的 直线方程．
解：设所求直线的斜率为 k，则方程为 y＋4＝k(x－6)， 即 kx－y－6k－4＝0. 因为圆心(0,0)到直线的距离 d＝ 20－3 22＝ 2， |6k＋4| 所以 ＝ 2， 1＋k2 7 所以 k＝－1 或 k＝－ ， 17 7 即直线方程为 y＋4＝－(x－6)或 y＋4＝－ (x－6)，故所 17 求直线方程为 x＋y－2＝0 或 7x＋17y＋26＝0.
消去 y 并整理，
得 2x2＋2mx＋m2－m＝0. 因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解， 因此 Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，即 m2－2m＝0， 又 m＞0，所以 m＝2.
答案：C
探究点二
圆的切线问题
1.点在圆上时切线的求法 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心 1 连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－k，由点斜式 可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得 切线方程 y＝y0 或 x＝x0.
(3)x2＋(y＋1)2＝1；(4)(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
提示：令圆心到直线的距离为 d，则 |－1| 5 (1)d1＝ 2 2＝ 5 ＜1，∴相交； 2 ＋1 |2－1| 5 (2)d2＝ 2 2＝ 5 ＝r，∴相切； 2 ＋1 |－1－1| 2 5 (3)d3＝ ＝ ＜1，∴相交； 5 5 |－2－1－1| 4 5 (4)d4＝ ＝ ＞1，∴相离． 5 5
2 2
4 a＝5， 8 或 b＝ ， 5 r＝ 5.
法二：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)，则因 圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切， |2m－2m＋5| 2 2 ∴ 2 2 ＝ m－3 ＋2m－2 . 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或 . 5 当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 5. 4 4 8 当 m＝ 时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5. 5 5 5 故所求的圆的方程为：(x－2)2＋(y－4)2＝5 4 8 或(x－ )2＋(y－ )2＝5. 5 5
4.2 直 线 、 圆 的 位 置 关 系
4．2.1 直线 与圆
新知全景扫描 案例全程导航
的位
置关 系
训练全程跟踪
4．2.1
直线与圆的位置关系
设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆 C：(x－a)2＋(y－b)2 ＝ r2 ，圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，由
Ax＋By＋C＝0， x－a2＋y－b2＝r2
法二：圆心 C 的坐标为 C(1,0)，半径 r＝1， |k＋5| 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ . 1＋k2 |k＋5| 12 (1)当 d＜r，即 ＜1⇒k＜－ 时，直线与圆相交． 5 1＋k2 (2)当 d＝r，即 |k＋5| 12 ＝1⇒k＝－ 时，直线与圆相切． 5 1＋k2
|k＋5| 12 (3)当 d＞r，即 ＞1⇒k＞－ 时，直线与圆相离． 5 1＋k2
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(
)
A．0或2
B．0或4
C．2
D．4
解析： 法一： x2＋y2＝m 的圆心坐标为(0,0)， 圆 半径长 r＝ m(m |m| ＞0)，由题意得 ＝ m，即 m2＝2m， 2 又 m＞0，所以 m＝2.
x＋y＋m＝0 法二：由 2 2 x ＋y ＝m
(2)几何法：如果直线 l 和圆 C 的方程分别是：Ax＋By ＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2.可以用圆心 C(a，b)到直 |Aa＋Bb＋C| 线 l 的距离 d＝ 2 2 与半径 r 的大小关系来判断 A ＋B 直线与圆的位置关系：①直线与圆相交⇔d＜r；②直线 与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相离⇔d＞r.
(2011· 兴义高一期末)求经过点(3,2)，圆心在直
线y＝2x上，与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
[提示] 解答本题可采用待定系数法，在处理相切时， 要用圆心到直线的距离等于半径．
[解]
法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r， a＝2， 解这个方程组得b＝4， r＝ 5 ∴所求的圆的方程为： 42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5 或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 法二：设所求切线方程为 y＝－ x＋b. 3 2 y＝－ x＋b， 3 列出方程组 x2＋y2＝13， 消去 y，转化成关于 x 的一元二次方程 13 2 4b x － x＋b2－13＝0， 9 3 13 令 Δ＝0，可求得 b＝± ， 3 所以所求的圆的切线方程为：2x＋3y－13＝0 或 2x＋3y＋13＝0.
2．点在圆外时切线的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的 距离等于半径建立方程，可求得k，也就得到切线方程． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立， 消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切
线方程．
当用上述方法只有一条切线时，另一条应为x＝x0，因为在 上面解法中不包括斜率不存在的情况，点在圆外时，切线 有两条．
探究点一
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定 (1)代数法：将直线 l 和圆 C 的方程联立
Ax＋By＋C＝0， 2 x ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0.
可以用消元法将方程组转化为一个关于 x(或 y)的一元 二次方程，其判别式为 Δ，则①若 Δ＜0，则直线与圆 相离；②若 Δ＝0，则直线与圆相切；③若 Δ＞0，则 直线与圆相交．
[解] 设所求的圆C的半径为r，与直线y＝x交于A，B 两点， ∵圆心C在直线x－3y＝0上，∴设圆心C(3a，a)，
又圆与y轴相切，∴r＝3|a|.
又圆心C到直线y－x＝0的距离
|3a－a| d＝ ＝ 2|a|，且|AB|＝2 7， 2 ∴r2－( 2|a|)2＝( 7)2，∴9a2－2a2＝7. ∴a2＝1，a＝± 1,3a＝± 3. ∴圆心的坐标 C 分别为(3,1)和(－3，－1)， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
探究点三
弦长问题
弦长问题要充分考虑，如图所示的三角形，设弦长为 l，弦 心距为 d，半径为 r，则 l＝2 r2－d2.
已知圆 C 同时满足下列三个条件：①与 y 轴相切；② 在直线 y＝x 上截得的弦长为 2 7； ③圆心在直线 x－3y＝0 上，求圆的方程．
[提示] 可采用待定系数法，利用圆满足的三个条件 列方程，求待定系数的值，从而得出圆的方程．