(完整word版)热传导方程傅里叶解
第二章__热传导方程
0 x l, t 0,
t 0 : u ( x),
0 x l,
x
0
:
u 0;
x l : ux hu 0,
t 0.
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut
a 2 uxx
0,
(I ) t 0 : u ( x),
0 x l, t 0, 0 x l,
x
0
:
u 0,
其中:
u( x, t) Tk (t)sin k x; k 1
f ( x, t) fk (t)sin k x; k 1
( x) k sin k x; k 1
fk (t)
1 Mk
l
f (, t)sin
0
k d;
1l
k Mk
() sin
0
k d;
l
h
Mk 2 2(h2 k ) .
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
传热傅里叶定律
Φ =
单层圆筒壁传 导传热公式：
L
圆筒壁传导传热时传热面积 A = 2πrl 傅立叶定律写为：
因圆筒壁厚度δ = r2 – r1 上式可写成：
添加标题
Φ =
添加标题
其中 rm = (r2 - r1)/ ln
添加标题
半径的对数平均值 当r2/rl < 2时，用算术平均值 rm = (r1+r2)/2
t
热流体
冷流体
Φ
Φ
A
1
A
2
δ
01
添加标题
流体的流动形态对于流体的传热有决定性的影响
02
添加标题
以湍流流体向壁面给热的情况为例：
03
添加标题
湍流层：对流传热，没有温度降；
04
添加标题
过渡层：传导传热和对流传热，有较小温度降；
05
添加标题
层流内层：传导传热，有较大的温度降。
06
添加标题
层流内层的热阻的对流传热的控制因素。
定态的一维平壁热传导，导热速率Φ和传热面积A都为常量
δ
t1
t2
Φ
当 x=0时，t = t1； x= δ时，t = t2；且t1 > t2
t1
t2
t
δ
0 δ
=
Φ
A (t1 – t2)
l δ
= -l
Φ
A
dt dδ
δ l = (t1 – t2) δ l 单层平壁的热传导公式
傅立叶定律
平壁热传导
圆筒壁热传导
多层
单层
多层
单层
L
= -l
Φ
A
d t dδ
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
热传导方程傅里叶解
热传导方程傅里叶解热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。
/是空间中一点的温度对时间的变化率。
, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。
一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。
因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。
热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。
扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。
先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。
方程如下：其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。
数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
热传导过程的能量平衡及其表现形式
energy balance for heat conduction and its mathematical form
导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考 虑区域内的能量守恒规律，即简化的热力学 thermodynamics 第一定律。 它揭示了温度场在时——空领域内的内在联系。
(unit volume) 发热量(heat generation rate)为Q(x,τ)
的内热源(inner heat source)开始发热，按照经典的傅
立叶导热定律，其定解(unique solution)问题可以用以
下表达：
t
＝a
2t x 2
f
(x, )
t(x, ) 0 0
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 H1
q1
e1
1 H2
q2
e2
1 H3
q3
e3
按温度变量(variable)有：
t n dA
A
V qv dV
这就是导热积分方程（integral equation），它针对物体内 任意区域。
高等传热学
ห้องสมุดไป่ตู้
导热微分方程及其推导
曾经的推导方式是怎样？ 在具体坐标系下，对微元体(different
element) 应用能量平衡原理
基于导热积分方程，利用散度定理 (divergence theorem) 推导
热传导
4.2.1 傅立叶定律Fourier’s Law法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。
曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。
后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律23n t A Q ∂∂λd d −=式中d Q ──热传导速率，W 或J/s ；dA ──导热面积，m 2；∂t/∂n ──温度梯度，℃/m 或K/m ；λ─导热系数,W/(m·℃)或W/(m·K)。
傅里叶定律：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正比而方向相反gradtq λ−= x y z t t t q q i q j q k i j k x y zλλλ∂∂∂=++=−−−∂∂∂r u r u u r u u r u r u u r u u r4负号表示传热方向与温度梯度方向相反q Q A t n ==−d d λ∂∂λ表征材料导热性能的物性参数λ越大，导热性能越好用热通量来表示对一维稳态热传导dxdt A Q d d λ−=注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的5(2) λ是分子微观运动的宏观表现,反映了物质微观粒子传递热量的特性。
4.2.2 导热系数thermal conductivityλ∂∂=−q t n/(1) λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
λ= f(物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等）导热系数与物质几何形状无关,实验测定。
6λ金属固体> λ非金属固体> λ液体> λ气体0˚C 时：C m w °•=/22.2冰λCm w °•=/551.0水λCm w °•=/0183.0蒸汽λ(3) 各种物质的导热系数; λλλ>>固相液相气相不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同Jack 的死因7)1(0at +=λλ在一定温度范围内：式中λ0, λ──0℃, t ℃时的导热系数，W/(m·K)；a ──温度系数。
热传导和扩散问题的傅里叶解
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
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热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
其中：
∙u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。
∙/是空间中一点的温度对时间的变化率。
∙, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。
∙k决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。
一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。
因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。
热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。
扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。
先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。
方程如下：
其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。
x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。
t是时间变量，所以t≥0。
假设下述初始条件
其中函数f是给定的。
再配合下述边界条件
.
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。
现在将u代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数−λ，于是：
以下将证明 (6) 没有λ≤ 0 的解：
假设λ < 0，则存在实数B、C使得
从 (3) 得到
于是有B = 0 = C，这蕴含u恒等于零。
假设λ = 0，则存在实数B、C使得
仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。
因此必然有λ > 0，此时存在实数A、B、C使得
从等式 (3) 可知C = 0，因此存在正整数n使得
由此得到热方程形如 (4) 的解。
一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。
事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
其中
推广求解技巧[编辑]
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。
想法是：在适当的函数空间上，算子可以用它的特征矢量表示。
这就自然地导向线
性自伴算子的谱理论。
考虑线性算子Δu = u x x，以下函数序列
（n≥ 1）是Δ的特征矢量。
诚然：
此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0 的Δ的特征矢量都是某个e n。
令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。
这些函数e n构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。
更明白地说：
最后，序列 {e n}n∈N张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。
这就表明我们实际上已将算子Δ对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。
首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。
∙单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量q t(V) 给出。
假设q有个密度Q(t,x)，于是
∙热流是个依赖于时间的矢量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素
的热量是
因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出
其中n(x) 是在x点的向外单位法矢量。
∙热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系
其中A(x) 是个3 × 3 实对称正定矩阵。
利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
∙温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。
将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
注记：
∙系数κ(x) 是该材料在x点的密度和比热的积的倒数。
∙在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。
∙在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。
然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定
的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷
传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。
这些论证通常有
赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那
么由
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成
一个单参数半群。
粒子扩散[编辑]
粒子扩散方程[编辑]
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及
∙在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。
或者
∙在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作P。
不同情况下的方程：
或者
c与P都是位置与时间的函数。
D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。
如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的概率密度P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间时置于，则相应的概率密度函数具
有以下形式：
它与概率密度函数的各分量、和的关系是：
随机变量服从平均数为 0、变异数为的正态分布。
在三维的情形，随机矢量服从平均数为、变异数为的正态
分布。
在t=0时，上述的表示式带有奇点。
对应于粒子处在原点
之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为
（三维的推广是）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。
扩散方程的历史源流[编辑]
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。
以格林函数解扩散方程[编辑]
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程
的基本解）。
当粒子初始位置在原点时，相应的格林函数记作（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始
位置，相应的格林函数是。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值
分布于空间中。
扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。
跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。
一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。
一维格林函数解列表[编辑]
以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。
（可能的问题：根据上解，u(0)=0）。