一维热传导方程求解例题
一维热传导方程 解析解
一维热传导方程解析解标题：热传导方程与温度的变化在日常生活中，我们经常会遇到各种物体的温度变化现象。
而这些温度变化可以通过一维热传导方程来描述。
热传导方程是一个非常重要的方程，它可以帮助我们理解物体内部温度的分布和变化规律。
假设我们有一根长度为L的金属棒，两端分别与温度为T1和T2的热源相接触。
我们想要知道金属棒的中间位置温度随时间的变化情况。
这时，我们可以使用一维热传导方程来描述这个问题。
热传导方程的数学形式是这样的：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u代表温度，t代表时间，x代表位置，α代表热扩散系数。
这个方程告诉我们，温度随时间的变化率等于热扩散系数乘以温度在空间上的二阶导数。
通过求解这个方程，我们可以得到金属棒中间位置温度随时间的变化规律。
解析解的具体形式会根据初始条件和边界条件的不同而有所变化，但总体上可以分为几个阶段。
在金属棒刚与热源接触的时候，中间位置的温度会迅速上升，接近热源的温度。
然后，随着时间的推移，温度会逐渐向两端传播，金属棒的整体温度会趋于平稳。
在这个过程中，金属棒中间位置的温度会随着时间的增加而不断增加，直到达到一个稳定的值。
而金属棒两端的温度则会保持恒定，不随时间变化。
通过热传导方程的解析解，我们可以更好地理解温度的变化规律。
这对于很多实际问题的解决都非常有帮助，比如热工学、材料科学等领域。
一维热传导方程是描述物体温度变化的重要工具。
通过求解这个方程，我们可以得到温度随时间和位置的变化规律，从而更好地理解和解决实际问题。
通过研究热传导方程，我们可以为人类的生活和科学研究提供更多的帮助和指导。
偏微分一维热传导问题
偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解目录问题描述 (3)1 解析解——分离变量法 (3)2 数值解——隐式格式 (5)3 证明隐式格式的相容性与稳定性 (5)4 数值解——分析与Matlab实现 (6)5 数值解与解析解的比较 (9)6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 (11)7稳定后细杆上的温度分布情况 (12)参考文献 (13)附录 (13)有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。
假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。
一维热传导方程：20txx u a u -=，现在令21a =，从而可知本题：0t xx u u -=。
现在要求细杆温度分布：(,)u x t 。
1 解析解——分离变量法热传导偏微分方程：0t xx u u -= (1)(0,t)(1,t)0u u ==(0)()u x x ϕ=，其中，001x x ==，或()x ϕ=100(0,1)x ∈，首先令：(,)()()u x t X x T t = (2)将(2)式带入(1)式得：()T()()()0X x t T t X x -=于是可得：T()()()()t X x T t X x λ==- 可以得到两个微分方程：T()()0t T t λ+= ()()0X x X x λ+=先求解空间项： 当0λ<时， ()xxX x Ae λλ--=+由于(0,t)(1,t)0,.u u t ==∀可知:由于解的收敛性，0B =(0)=(1)00X X A Ae A λ===⇒=则此时是平庸解。
当0λ=时， ()X x A Bx =+(0)=(1)00,0X X A A B A B ==+=⇒==则此时是平庸解。
当0λ>时， ()cos sin X x A kx B kx =+，其中k λ=(0)00X A A ==⇒=(1)sin 0,1,2,3...X B k k n n π==⇒==所以，()sin()n X x B n x π=，1,2,3...n =因为22n λπ=所以，22()n tn T t C eπ-=，1,2,3...n =则，221(,)sin()n tn n u x t D en x ππ∞-==∑初始条件：(0)()u x x ϕ=，1(0)sin()()n n u x D n x x πϕ∞===∑，102()sin()n D x n x dx ϕπ=⎰[]12100sin()1200()cos (1)cos n x dxn n n εεππεπεπ-==⋅-⋅--⎰2000lim =(1cos )n D n n εεππ→∞→-当时，最终，221200(,)(1(1))sin()n n tn u x t e n x n πππ∞-==--∑， 1,2,3...n =2 数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。
一维热传导方程数值解法及matlab实现
问题描述实验原理分离变量法实验原理有限差分法实验目的利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题利用matlab进行建模构建图形研究不同的情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
模拟与仿真作业（1）分离变量法（代码）：x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的三维热传导图形为：有限差分法：u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 构造一个1025列的矩阵（初始化为0）用于存放时间t和变量x 横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');所得到的热传导图形为：（2）i分离变量法（取前100项和）x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,u);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的热传导图形为：Ii有限差分法根据（1）我们有如下图结论：比较可得这两幅图基本相同，有限差分法和分离变量法对本题都适应（3）第一种情况（取无穷项）：在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数，相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));我们得到如下一组数据：当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第二种情况（取前100项和）在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);r=0.04/(0.1*pi)^2;fprintf('稳定性系数S为：')disp(r);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第三种情况（有限差分法）在原来程序代码的基础上加上disp(u(5,:));可得出第五行（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 10行25列横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j);endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');disp(u(5,:));得到如下结果我们知19列为50.3505 20列是数据为47.8902 所以时间t为20*0.04=0.78结论：比较一二三种情况，我们得到不同的时间，这是由于：1、加和不同一种为100，一种为无穷；2、采用的方法不同：一种为分离变量法，一种为有限差分法造成的。
matlab求解一维带内热源传热问题
matlab 求解一维带内热源传热问题解一维带有内部热源的传热问题通常涉及到热传导方程的求解。
热传导方程描述了温度场随时间和空间的变化。
一维热传导方程通常写作：22()T T Q x t xα∂∂=+∂∂ 其中：• T 是温度，• t 是时间，• x 是空间坐标，• α 是热扩散系数，• Q(x) 是热源。
解这个方程需要适当的边界条件和初始条件。
为了简化问题，我们可以考虑一个稳态（0T t∂=∂）情况。
以下是使用 MATLAB 求解一维带有内部热源的传热问题的简单示例代码：% 参数设置L = 1; % 区域长度alpha = 0.01; % 热扩散系数Q = @(x) 1; % 内部热源% 空间离散化N = 100; % 离散网格数x = linspace(0, L, N);% 热传导方程T = zeros(1, N);T(1) = 0; % 初始条件T(N) = 100; % 边界条件% 离散格式求解dx = x(2) - x(1);dt = 0.01;num_steps = 1000;for step = 1:num_stepsfor i = 2:N-1T(i) = T(i) + alpha * dt / dx^2 * (T(i+1) - 2*T(i) + T(i-1)) + Q(x(i)) * dt;endend% 结果可视化plot(x, T);xlabel('空间坐标');ylabel('温度');title('一维带内部热源传热问题');请注意，这是一个简化的例子，具体的问题可能需要更多的考虑，例如更精确的数值方法、不同的边界条件和初始条件、更复杂的热源分布等。
这个示例主要用于演示MATLAB 中解决这类问题的基本方法。
第四章导热问题(一维导热问题)
kP ke fe
q e f ek E
?
合理
k P Tp TE qe fe xe
?
第四章 导热问题———一维稳态导热
实际上
TP Te qe k P ( x ) e
TP TE kP ( x ) e
k P TP TE ( x ) e ( x ) e ( x ) e
源项负线化的方法示例 3 S 4 5TP 例 3：
Sc 4 Sp
*2 5TP
*3 Sc 4 5TP
*3 Sc 4 10TP *2 Sp 15TP
*3 Sc 4 20TP
Sp 0
S p 25T
*2 P
可自 接然 受法
可懒 取汉 法
最切 佳线 法
4.2.1 基本方程与差分方程
d dT (k )S 0 dx dx
(x)w
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
E
a P TP a E TE a W TW b
第四章 导热问题———一维稳态导热 其中，
ke aE ( x ) e
aW kw ( x ) w
dxdt第四章导热问题一维稳态导热第一类边界条件已知第四章导热问题一维稳态导热第二类边界条件给定q第四章导热问题一维稳态导热第三类边界条件给定第四章导热问题一维稳态导热内节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式其中第四章导热问题一维稳态导热对第一类边界条件对第二类边界条件对第三类边界条件第四章导热问题一维稳态导热非线性差分方程的线性化424差分方程的求解紧邻边界节点差分方程引入边界条件内节点法外节点法第四章导热问题一维稳态导热对外节点网格系统n个内节点2个边界节点n2个待求温度n个差分方程2个差分方程n2个差分方程第四章导热问题一维稳态导热线性代数方程组非线性代数方程组温度场假定温度场第四章导热问题一维稳态导热1在所有各个网格节点上猜测或估计或假定一个t值2用这些估计的t值去计算差分方程中的所有系数从而差分方程中的所有系数变成了已知量而使差分方程变成了线性方程
一维热传导问题
一维热传导问题
一维热传导问题，是指在一个维度上的热量传导现象。
这种问题通常涉及到一个物体或介质，它被视为一条长度为L的线段。
物体的两端被放置在不同的温度环境下，例如一个端口处于高温区域，而另一个端口处于低温区域。
这种温差会导致物体内部的热量传输和温度变化。
在这种问题中，我们需要解决以下重要因素：
1. 热传导定律：描述热量在物体中传输的速度。
这个定律通常由傅里叶定律和傅里叶数学公式来描述。
2. 边界条件：这些条件指定物体的两端的温度或热通量。
例如，在一个板材的一端施加高热通量，另一个端口处于恒定温度。
3. 初始条件：这些条件指定物体内部的初始温度分布。
这个因素通常需要通过实验或计算来确定。
通过解决这些问题，我们可以计算出物体内部的温度和热传输速率。
这些计算可以用于设计和优化各种热传输设备，例如散热器、加热器、热交换器等。
matlab练习程序（差分法解一维热传导方程）
matlab练习程序（差分法解⼀维热传导⽅程）差分法计算⼀维热传导⽅程是计算偏微分⽅程数值解的⼀个经典例⼦。
热传导⽅程也是⼀种抛物型偏微分⽅程。
⼀维热传导⽅程如下：该⽅程的解析解为：通过对⽐解析解和数值解，我们能够知道数值解的是否正确。
下⾯根据微分写出差分形式：整理得：已知⽹格平⾯三条边的边界条件，根据上⾯递推公式，不断递推就能计算出每个⽹格的值。
matlab代码如下：clear all;close all;clc;t = 0.03; %时间范围，计算到0.03秒x = 1; %空间范围，0-1⽶m = 320; %时间⽅向分320个格⼦n = 64; %空间⽅向分64个格⼦ht = t/(m-1); %时间步长dthx = x/(n-1); %空间步长dxu = zeros(m,n);%设置边界条件i=2:n-1;xx = (i-1)*x/(n-1);u(1,2:n-1) = sin(4*pi*xx);u(:,1) = 0;u(:,end) = 0;%根据推导的差分公式计算for i=1:m-1for j=2:n-1u(i+1,j) = ht*(u(i,j+1)+u(i,j-1)-2*u(i,j))/hx^2 + u(i,j);endend%画出数值解[x,t] = meshgrid(0:x/(n-1):1,0:0.03/(m-1):0.03);mesh(x,t,u)%画出解析解u1 = exp(-(4*pi)^2*t).*sin(4*pi*x);figure;mesh(x,t,u1);%数值解与解析解的差figure;mesh(abs(u-u1));数值解：解析解：两种解的差的绝对值：。
计算传热学第5节-第2章 一维导热2
I=1A/m2 U=10V/m
y z Байду номын сангаас T=5℃
Sun Jining 2008 @ BUAA
6
2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
P3
λ=50W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
T
Pa
P1
P2
P3
P4
P5
Pb
x
13
Sun Jining 2008 @ BUAA
2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
λ=500W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
P3
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
Sun Jining 2008 @ BUAA
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2 一维导热
一维导热讨论问题
导热系数为x的函数λ
Pa P1 P2
λ=10W/m·k
(x)
P3
λ=50W/m·k P4 P5 Pb T=5℃
T=3℃
Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m Δx=0.6m
P1 aP1TP1 =aE1TP2 +aW1TPa + b1 aE1 =λ e/δ xe =10/0.6 aW1 =λ w/δ xw =10/0.3 aP1 = aE1 + aW1 =30/0.6 b1 = SP1∆x =1*10*0.6=6 P4 aP4TP4 =aE4TP5 +aW4TP3 + b4 aE4 =λ e/δ xe =50/0.6 aW4 =λ w/δ xw =50/0.6 aP4 = aE4 + aW4 = 100/0.6 b4 = SP4∆x =1*10*0.6=6
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一维热传导方程求解例题
例题：
考虑一个长度为L的杆，其左端温度为T1，右端温度为T2，且假设杆的横截面面积恒定。
我们可以使用一维热传导方程来描述这个问题的温度分布。
一维热传导方程为：∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²，其中T表示温度，t表示时间，x表示空间坐标，α表示热扩散率。
已知左端边界条件为T(0, t) = T1，右端边界条件为T(L, t) = T2。
初始条件为T(x, 0) = T0(x)，其中T0(x)是初始时刻的温度分布。
要求解这个一维热传导方程，找出任意时刻的温度分布T(x, t)。
解题过程：
首先，可以将方程进行分离变量，设T(x, t) = X(x) * T(t)。
代入一维热传导方程得到：X''(x) * T(t) = α * T''(t)，其中X''(x)表示X(x)的二阶导数。
由于边界条件和初始条件都与时间t无关，可以得到X(x)的通解为：X(x) = A * cos(πx/L) + B * sin(πx/L)，其中A和B为常数。
根据边界条件，可以得到：X(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A = T1 和X(L) = A * cos(π) + B * sin(π) = -A + B = T2。
通过解这个方程组，可以得到A = (T1 + T2)/2和B = (T1 - T2)/2。
因此，杆内任意时刻的温度分布为：T(x, t) = (T1 + T2)/2 * cos(πx/L) + (T1 - T2)/2 * sin(πx/L)。