垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-

圆的对称性，圆周角

1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

圆周角和圆心角的关系:

1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（

A 、CE=DE

B 、B

C B

D = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD

2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM

的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、8

3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm

，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．

5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.

7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？

第4题

C

E O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。

（1）顶角A 等于多少度时，A 在圆D 上？ （2）顶角A 等于多少度时，A 在圆D 内部？

（3）顶角A 等于多少度时，A 在圆D 外部？

9. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。已知：AB cm 24=，CD cm 8=。（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径。

10. 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，求弦AB 与CD 之间的距离。

11、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 12.已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

13. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。

14. 如图所示，已知O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆心角的两边分别交于点A 、B 、C 、D

求证：PB=PD ，若角的顶点P 在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。

15、如图，AB 是⊙O 的直径，BC CD DE ==，∠COD=35°，求∠AOE 的度数．

16、如图,在⊙O 中，AB=AC ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.

O

C

B

A

17、在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所

对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）

18、如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条弦，AD BC =，求证：AB=CD.

19、如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为（ ） A 、2π B 、3π C 、6π D 、12π 20、如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB ∠的度数为（ ）

A 、34

B 、56

C 、60

D 、68

21、如图，

AB 是O 的直径，点C D ，是圆上两点，100AOC ∠=，则D ∠=_______. 22、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？

23、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）

A 、45°

B 、60°

C 、75°

D 、90°

25题图

24.、如图，ABC △内接于O AD ，是O 的直径，30ABC ∠=，则CAD ∠=______.

25、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，求圆心O 到弦AD 的距离．

26.如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径

的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为

A. 95

B. 245

C. 185

D. 52

27.如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与

O 相切与点D ，则下列结论

中不一定正确的是【】

（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF （C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠

B

A

24题图 B

A

C

O D

B