浅谈度量空间(同名22594)

谈度量空间(同名22594)度 量 空 间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令()⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及() ,,,,21n y ηηη=，令()ii ii i iy x d ηεηε-+-=∑∞=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =.(2.1)下验证()y x d ,满足距离条件),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立.(2.2)为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式.111bb aa ba b a +++≤+++事实上，考察[)∞,0上的函数()ttt f +=1由于在[)∞,0上，()()0112'>+=t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式b a b a +≤+，我们得到bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++1111.11.令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得ii ii i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.例2.3 有界函数空间()A B设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义()()()t y t x y x d At -=∈sup ,.下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x At At -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .所以()()()()()()t y t z t z t x t y t x At At At -+-≤-∈∈∈sup sup sup .即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..例2.4 可测函数空间)(X M设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于1)()(1)()(<-+-t g t f t g t f所以这是X 上的可积函数，令⎰-+-=Xdt t g t f t g t f g f d )()(1)()(),(如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用不等式.111bb aa ba b a +++≤+++及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.例2.5 []b a C ,空间令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义)()(max ),(t y t x y x d bt a -=≤≤容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6 2l记{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<==∑∞=122k k k x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义2112)(),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑∞=k k k x y y x d .则d 是2l 的距离。

距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n ，()()n n x x x ,,1 =和()()n n y y y ,,1 = 都R 中的元素，由Cauchy 不等式∑∑∑===⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n k k n k k k y x y x 121221再令右端 ∞→n ，即得∑∑∑∞=∞==⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121221k kk k n k k k y x y x 再令左端的∞→n ，即得∞<⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞=121221k kk k k k k y x y x 由此可得∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=++=+1211212)(k kk k k k k k k ky y x x y x∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+⋅+≤1221121212)(2k k k kk kk ky y x x221122112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=k k k k y x令取{}{}{}.,,k k k ζζηηξξ===以 k k k k k k y x ζηξζ-=-=,代入上式，即可得ζηξ,,的三点不等式),(),(),(ηζζξηξd d d +≤由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 n R 之外，还包括其他的空间.3 度量空间的一些简单性质定理3.1 设()p X ,是一个度量空间，则拓扑空间X 是一个离散空间当且仅当p 是一个离散的度量.证 充分性 若p 是一个离散的度量，则对于任意的∈x X ，存在实数0>x δ，使得对于任意的∈y X ,x y ≠ ,有()x y x p δ>,.于是x 的球形邻域(){}x x B x =δ,,所以，{}x 为开集.由x 的任意性以及开集的性质，故X 为离散空间.必要性 若X 为离散空间，则对于任意的∈x X ,单点集{}x 为开集，于是存在x 的球形邻域(){}x x B =ε, ,令2εδ=x ，则对于任意的X y ∈并且x y ≠,有()y x p ,x δ>.所以, p 为离散的度量.定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证 设()ρ,X 为一个度量空间，A 是X 的任意一个子集.欲证A 的导集()A d 为闭集，只需证()()()A d A d d ⊂.如果()()φ=A d d ,显然()()()A d A d d ⊂.如果()()φ≠A d d ,由于()()()A d A A d d ⊂,所以对于任意∈x ()()A d d ,有∈x A 或∈x ()A d .若∈x A ，则对于x 的任意一个球形邻域()ε,x B ,有()ε,x B (){}()φ≠-x A d .于是，对于任意的∈y ()ε,x B (){}()φ≠-x A d ,则x y ≠，取()(){}y x p y x p ,,,min -=εδ则()()εδ,,x B y B ⊂,并且(){}()φδ≠-y A y B ,又由于(){}()y A y B - δ,(){}()x A y B - δ,⊂(){}()x A x B - ε,,所以(){}()x A x B - ε,φ≠，因此∈x ()A d .综上，对于任意∈x ()()A d d ,有∈x ()A d .所以，()()()A d A d d ⊂. 定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.证 ()ρ,X 为一个度量空间，∈x X ,对于任意X y ∈,x y ≠,令()2,y x p =ε，于是0>ε,并且(){}φε=x y B ,,所以,y ∉{}x ,于是{}x ={}x ,因此，单点集{}x 为闭集.由x 的任意性，度量空间X 中的每一个单点集都是闭集.定理3.4 X 是一个度量空间，如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为只含有有限多个点的离散空间.证 假设X 是无限集.由于X 是一个度量空间，由定理3.1可知，X 中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意∈x X ，集合X -{}x 都是开集.因此，拓扑空间X 中有无穷多个不同的开集.又由已知X 有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X 中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X 只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X 是一个离散空间.定理3.5 度量空间X 中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限. 证 设()ρ,X 是一个度量空间，{}+∈z i i x 是X 中的一个收敛序列.假若序列{}+∈zi i x 至少有两个极限x 和y .由于x y ≠,则()0,>y x p .设ε=()0,>y x p ,于是对于x 的球形邻域()ε,x B ,存在1M ∈+Z ,使得当>i 1M 时，有i x ∈()ε,x B ;对于y 的球形邻域()ε,y B ,存在2M ∈+Z ,使得当>j 2M 时，有i x ∈()ε,y B .则一方面()ε,x B ()ε,y B φ=.（3.1） 另一方面，令max =M {1M ,2M },于是当>i M 时，有i x ∈()ε,x B ()ε,y B ，这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间X 只有一个极限.定理3.6 设X 是一个度量空间，A ⊂X ,x ⊂X 有一个序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且收敛于x 当且当x 是集合X 的一个凝聚点.证 必要性 设序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且敛于x .如果U 是x 的一个邻域，则存在∈M +Z 使{21,++M M x x …}U ⊂,因此{21,++M M x x ,…}⊂{}()x A U - ,从而{}()x A U - φ≠.所以x 是A 的一个凝聚点.充分性 如果x 是A 的一个凝聚点，则对于x 任意一个球形邻域()ε,x B 有()ε,x B {}()x A - φ≠,于是对于任给的正实数ε有02>iε,其中∈i +Z .并且⎪⎭⎫⎝⎛i x B 2,ε{}()x A - φ≠. 所以对于每一个∈i +Z ,任取i x ∈⎪⎭⎫⎝⎛i x B 2,ε{}()x A - φ≠,则序列{i x }+∈z i ⊂ {}x A -中并且收敛于x .4 度量空间的紧致性和完备性4.1 度量空间的紧致性定义4.1.1 设A 是度量空间()p X ,中的一个非空子集.集合A 的直径diam ()A 定义为diam ()A ={}⎩⎨⎧∞∈是有界的如果是有界的如果A A A y x y x ,),(sup ρ定义4.1.2 设()p X ,是一个度量空间，A 是X 的一个开覆盖.实数0>λ成为开覆盖A 的一个Lebesgue 数，如果对于X 中的任何一个子集A ，只要diam ()A λ<，则A 包含于开覆盖A 的某一个元素之中.Lebesgue 数不一定存在。