2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义专题02 二次函数(解析版)

2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）专题02 二次函数知识梳理一、二次函数的解析式的三种形式1． 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠2． 顶点式：()()()20f x a x h k a =-+≠，其中()()k f h ,h,k =为抛物线的顶点坐标.3． 交点式（零点式）：()()()()120f x a x x x x a =--≠，)0,()0,(21x x 和 为抛物线与x 轴的交点坐标.二、二次函数的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，. 当0>a 时，函数在上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数；当0<a 时，函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是减函数. 三、根与系数关系设()()02≠++=a c bx ax x f 的两根为21,x x ，则有ax x x x x x a c x x a b x x ∆=-+=-=-=+212212121214)(,, 四、一元二次方程根的分布:设()()04022≥-=∆≠++=ac b a c bx ax x f ，的两根为.,21x x ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b1．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥∆⇔>>0000,021a c a b x x 2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆⇔<<0000,021ac a bx x3. 0)0(00,021<⇔<⇔><f acx x 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆⇔<<0)(2021m f m a b m x x 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆⇔<<0)(2021m f m a b x x m6.0)(21<⇔<<m f x m x7.⎩⎨⎧<<⇔<<<0)(0)(21n f m f x n m x8.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆⇔<<<0)(0)(2021n f m f n ab m n x x m 9.⎩⎨⎧><⇔<<<0)(0)(21n f m f n x m x 10.⎩⎨⎧<>⇔<<<0)(0)(21n f m f x n x m11. ()02=++=c bx ax x f 在),(n m 内恰有一解0f (m )f (n )⇔⋅<或0f (m )=（检验另一根在),(n m 内）或0f (n )=（检验另一根在),(n m 内）12.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>⇔<<<<<0)(0)(0)(0)(21q f p f n f m f q x p n x m讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置五、一元二次函数在给定区间上的值域设()()20f x ax bx c a =++>，],[n m x ∈()m n <1．当abn 2-<时，()f x 的值域为[]f (n ),f (m)； 2. 当n a b m ≤-≤2时,2min b f f ()a=- ，{}max f max f (m),f (n )=；（如果再细分的话，是什么情况呢，让同学思考）3. 当m ab<-2时，()f x 的值域为[]f (m),f (n ). 讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向 六、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系设()()20f x ax bx c a =++>①0∆<⇔函数y f (x )=的图像与x 轴无交点⇔方程0f (x )=无实根⇔不等式0f (x )>的解集为R ⇔不等式的解集为∅；②0∆=⇔函数y f (x )=的图像与x 轴相切⇔方程0f (x )=有两个相等的实根⇔不等式0)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2；③0∆>⇔函数)x (f y =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程0)x (f =有两个不等的实根：）设，βαβα<(⇔不等式0f (x )>的解集为(,)(,)-∞+∞αβ⇔不等式0)x (f <的解集为(,)αβ. 例题解析一、二次函数的概念【例1】若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．【难度】★ 【答案】2【解析】由题意可知212b +=，解得0b =，∴012c+=，解得2c =. 【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则0f (x )≤122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 【难度】★【答案】244ac b a-【例3】若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数 【难度】★ 【答案】D【解析】函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ⇒ 210m -= ⇒ 1m =±，当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()221f x x =-+，在区间(],0-∞上()f x 是增函数，故选D ．【例4】已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．【难度】★【答案】4k ≤或8k ≥【解析】函数()2f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2k x =， ∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线2kx =的左侧或右侧， 即有22k ≤或42k≥，解得4k ≤或8k ≥． 【巩固训练】1.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．【难度】★【答案】1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即13a =且0b =，∴点(),a b 的坐标是1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是( )A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【难度】★ 【答案】A【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =，又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增，故57()(1)()22f f f <<，故答案为A.3．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-，且函数在[5,5]-上是单调函数，则a 的取值范围是____________. 【难度】★【答案】5-≤a 或5≥a二、和二次函数相关的函数的值域和最值问题【例5】如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[,1]t t +上，求f x ()的最小值. 【难度】★★【答案】⎪⎩⎪⎨<+≤≤=0110,1)(2mint t t x f 【解析】函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上. 如图1所示，若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值f x f t t ()()()min ==-+112.如图2所示，若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t .当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11.如图3所示，若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时，有t +<11，即t <0.当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112.综上讨论，⎪⎩⎪⎨<+≤≤=0110,1)(2mint t t x f 【例6】已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值. 【难度】★★【答案】38a =或3a =- 【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意；（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+，由814a +=，得38a =； （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-，由14a -=，得3a =-；综上知38a =或3a =- 【例7】已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m ，最大值是3n ，求m ，n 的值. 【难度】★★【答案】4,0m n =-=【解析】由211()(1)22f x x =--+，知113,,26n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞， 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min ()()3()()3f x f n nf x f m m==⎧⎨==⎩，解得4,0m n =-=.【例8】函数2111x x x y -+-++=的值域是【难度】★★【答案】[]3,2【解析】设x x t -++=11，则22122x t -+=，则22122-=-t x ，12202≤-≤t ，422≤≤∴t ，故22≤≤t ，又因为1212222-+=-+=t t t t y ，所以原函数的值域为[]3,2【例9】已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值是 【难度】★★【答案】22 【解析】由题意得⎩⎨⎧≥+≥-0301x x ，解得13≤≤-x ，()()()4124312422++-+=+-+=x x x y ，所以当1-=x 时，y 的最大值22=M ，当3-=x 或1时，y 的最小值2=m ，22=∴M m 【巩固训练】1．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________. 【难度】★ 【答案】[]02,2．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式. 【难度】★★【答案】()[]()2227,,1()8,1,244,2,t t t g t t t t t ⎧--∈-∞⎪=-∈⎨⎪--∈+∞⎩3．函数22214x x y -+=的值域是【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21【解析】令221x t -=，则2122t x -=，由02≥x 和非负性得到10≤≤t ，则2142142122++-=+-=t t t t y ，可得原函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,214．函数x x y -+-=53的值域为【难度】★★ 【答案】[]2,2【解析】由题意得⎩⎨⎧≥-≥-0503x x ，解得53≤≤x ，()()()1422532222+--+=--+=x x x y ，所以可得422≤≤y ，由y 的非负性知原函数的值域为[]2,25．已知二次函数2211f (x )ax (a )x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值. 【难度】★★★【答案】12a =或23a =- 【解析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a >与0a <两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪.若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了. 具体解法为： （1）令21()32a f a --=，得12a =- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为2x =-，且32[,2]2-∉-，故12-不合题意； （2）令(2)3f =，得12a =此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故12a =符合题意； （3）若3()32f -=，得23a =-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故23a =-符合题意. 综上，12a =或23a =-. 三、一元二次方程根的分布【例10】求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ． （1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小． （2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （3）至少有一个正根． 【难度】★★【答案】（1）1-<m ;（2）4557-<<-m ;（3）1-≤m 【解析】62)1(2)(2++-+==m x m x x f y ．(1)依题意有0)2(<f ，即062)1(44<++-+m m ，得1-<m ． (2)依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=>+=01410)4(054)1(062)0(m f m f m f 解得：4557-<<-m ． (3)方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆02)1(20)0(0m f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<->≥-≤1351m m m m 或13-≤<-∴m ． ②有一个正根，一个负根，此时可得0)0(<f ，得3-<m ．③有一个正根，另一根为０，此时可得⎩⎨⎧<-=+0)1(2026m m 3-=∴m ．综上所述，得1-≤m ．【例11】已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围． 【难度】★★【答案】32a -≤或1a ≥ 【解析】函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，即方程2()2230f x ax x a =+--=在[1,1]-上有解，0a =时，不符合题意，所以0a ≠,方程()0f x =在[1,1]-上有解⇔(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或32a -≤或5a ≥⇔32a --≤或1a ≥. 所以实数a的取值范围是32a -≤或1a ≥. 【例12】对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3.（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1).【例13】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<. （1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：102x x <. 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)由题意可知12()()()f x x a x x x x -=--121210,()()0x x x a x x x x a<<<<∴-->,∴当∴ 当1(0,)x x ∈时，()f x x >. 又112112()()()()(1)f x x a x x x x x x x x ax ax -=--+-=--+,10x x -<且22110ax ax ax -+>->，1()f x x ∴<，综上可知，所给问题获证.（2）由题意 2()(1)f x x ax b x c -=+-+，它的对称轴方程为12b x a-=-， 由方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<, 可得 121102b x x a a -<<<<-且121122b b x x a a---=---, ∴ 121111222b b b x x a a a a ---∴-=-<----， 即 1b x a -<，而02bx a =-，故 102x x <.【巩固训练】1．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围． 【难度】★ 【答案】11m ≥2．已知抛物线22y x mx m =-+与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 取值范围． 【难度】★★ 【答案】(,0)(0,32-∞-3．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围. 【难度】★★【答案】)21,65(--;]21,21(--4．二次函数2()f x px qx r =++中实数,,p q r 满足021p q rm m m++=++， 其中0m >，求证(1) ()01mpf m <+； (2) 方程()0f x =在(0,1)内恒有解. 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m pm pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m mp , 由于()f x 是二次函数，故0p ≠, 又0m >, 所以，()01mpf m <+． (2)由题意，得(0),(1)f r f p q r ==++，①当0p >时，由(1）知()01mf m <+， 若0r >,则(0)0f >,又()01m f m <+,所以()0f x =在(0,)1m m +内有解； 若0r ≤,则(1)(1)()022p r p rf p q r p m r m m m m=++=++--+=->++, 又()01m f m <+，所以()0f x =在(,1)1mm +内有解. ②当0p <时同理可证.故方程()0f x =在(0,1)内恒有解．四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系【例14】是否存在实数a b c 、、，使关于的不等式2+0ax bx c +>的解为1132x -<<？若存在，请解不等式2+0cx bx a --<；若不存在，请说明理由．【难度】★【答案】存在，0a <且1166b a,c a =-=-时满足条件；不等式解集为()()23,,-∞-+∞【例15】已知不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合是{}2-，求实数k 的取值范围．【答案】32k -≤<【例16】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使不等式()()2112x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？ 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】假设存在常数a b c 、、满足题意，∵()f x 的图象过点 (1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+=①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++=② 由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-， 由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立， ∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，∴14a =， ∴14c =，∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立． 【巩固训练】1．不等式20x ax b --<的解集为()23，，则不等式210bx ax -->的解集为__________.【答案】1123,⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．已知关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好有一个解，则a 的值为____________.【难度】★★ 【答案】2± 3．不等式0122>--x x的解集为A ，集合}{0))(52(<++=a x x x B .设Z 为整数集，若{}2,1--=Z B A ，则实数a 的取值范围是________.【难度】★★ 【答案】[2,1)-五、二次函数的实际应用问题【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =；当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ .（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=；当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==．所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将EMN ∆的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （2）求EMN ∆的面积S （平方米）的最大值．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】（1）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动， 即01x <≤时，EMN ∆的面积122S x x =⨯⨯=； ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即11x <<时，如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF CD ⊥，且FG =又∵ //MN CD ，∴ MNGDCG ∆∆．∴ GF GH DC MN =，即MN =故EMN ∆的面积2(1S x x =+；综合可得：()(201111x x S x x x ⎧⎪=⎛⎨+++ ⎪ ⎝⎭⎩，＜≤．＜＜ （2）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤<S ；②当MN在三角形区域滑动时，2(1S x x =+.因而，当x =（米）时，S得到最大值，最大值123S =+（平方米）.∵13321>+，∴ S 有最大值，最大值为3321+平方米. 【巩固训练】1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生的注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟和讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更为集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）244)12(1002422+--=++-t t t则)(t f 最大值为240，即开课开始后10分钟，学生的注意力最为集中，能持续10分钟. （2）195)5(=f ，205)25(=f ，)5()25(f f >，所以开课后25分钟学生的注意力更为集中. （3）180)(≥t f当100≤≤t 时，180100242≥++-t t ，104≤≤t ； 当2010≤<t 时，180240≥恒成立； 当4020≤<t 时，1803807≥+-t ，7200≤t 则]7200,4[∈t 时，学生注意力至少达到180，2447200>-，则从第4分钟开始讲课，老师可以在学生达到所需状态下讲授完这道题目.2．某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[∈m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】（1）由年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A 、B 两产品的年利润12,y y 分别为：()()1102010200200y x mx m x x =⨯-+=--≤≤且x N ∈()222184080.050.051040y x x x x x =⨯-+-=-+-()220.05100460,0120,.y x x x N ∴=--+≤≤∈（2）86≤≤m ，，010>-∴m ，20)10(1--=∴x m y 为增函数，0200,200x x N x ≤≤∈∴=又时，生产A 产品有最大利润为()10200201980200m m-⨯-=-（万美元），又()220.05100460,0120,.y x x x N =--+≤≤∈100x ∴=时，生产B 产品有最大利润为460（万美元） .现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：⎪⎩⎪⎨⎧≤<<==<≤>-=--=-86.7,06.7,06.76,020********)2001980()()(max2max 1m m m m m y y 所以：当6.76<≤m 时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润； 当7.6m =时，生产A 产品与生产B 产品均可获得最大年利润； 当7.68m <≤时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润． 六、二次函数的综合应用【例19】直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是__________. 【难度】★★【答案】514a <<【例20】设函数()()f x x x bx c x R =++∈给出下列4个命题① 当0,0==c b 时，0)(=x f 只有一个实数根； ② 当0=c 时，)(x f y =是偶函数； ③ 函数)(x f y =的图像关于点),0(c 对称；④ 当0,0≠≠c b 时，方程0)(=x f 有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是___________. 【难度】★★ 【答案】①③【例21】对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[]D b a ⊆,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,,那么把)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数.（1）判断函数),0(,12)(+∞∈+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （2）若2)(++=x k x f 是闭函数,求实数k 的取值范围.【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】（1）函数在定义域内不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数. （2）若2)(++=x k x f 是闭函数，∵函数2)(++=x k x f 在定义域内单调递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a ，∴,a b 为方程2++=x k x 的两个实数根. 方程)(x g =)k x (02k x )1k 2(x 22≥=-++-有两个不相等的实根.∴有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k 21k 20)k (g 0，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈2,49k ，∴实数k 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,49.【例22】设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=． （1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.20,4;2,2|2|)(22x x x x x x x x x f作函数图像，可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <-22， 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ，单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22． Oayx（3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ． 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ． 所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛89,1． 【巩固训练】1．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________． 【难度】★★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛29,42．设关于x 的不等式()()()221210x a x a a -+++->和0)(322<++-a x a a x )(R a ∈的解集分别是A 和B. （1）若AB φ=，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得R B A = ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）),2()1,(+∞+--∞=a a A ，}0))((|{2<--=a x a x x B①当10><a a 或时，a a >2，),(2a a B =，由φ=B A ，得：212a a a a -≤⎧⎨≤+⎩ 解得：21≤≤-a ，2101≤<<≤-∴a a 或②当10==a a 或时，φ=B ，φ=B A 显然成立③当10<<a 时，),(2a a B =，由φ=B A ，得：212a a a a ⎧-≤⎨≤+⎩ 解得：R a ∈， 10<<∴a综上所述，实数a 的取值范围是]2,1[-. （2）假设存在实数a ，使得R B A = ，则：①当10><a a 或时，a a >2，),(2a a B =，由R B A = ，得：212a a a a<-⎧⎨+<⎩ ∴ a 不存在②当10==a a 或时，φ=B ，R B A = 显然不成立③当10<<a 时，),(2a a B =，由，R B A = ，得：212a a a a a φ⎧<-⇒∈⎨>+⎩综上所述，不存在实数a 使得R B A = 成立.3．已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论. 【难度】★★★【答案】公共点的横坐标x 满足22323x ax a x x ++-=--. 即x 是方程(1)a x -=22233x x x ----的实数解.设22()233h x x x x =----，则直线(1)y a x =-与()y h x =有公共点时的横坐标与上述问题等价.当1x ≤-或3x ≥时，22()23326h x x x x x =----=--；解方程26(1)x a x --=-，即(2)6a x a +=-，得62a x a -=+，2a ≠-； 当13x -≤≤时，222()23322h x x x x x x =----=-+.解方程222(1)x x a x -+=-即22(2)0x a x a +--=，得2ax =-或1x =； 结论1：无论a 取何实数值，点(1,4)必为两函数图像的公共点. 结论2：（对某些具体的a 取值进行研究）. 当2a =-时，两图像有一个公共点(1,4)； 当6a =-时，公共点有2个，坐标为(1,4)、(3,0)； 当2a =时，公共点有2个，坐标为(1,4)、(1,0)-. 结论3：当22,62a a -<<-<<-时，公共点有3个，坐标为(1,4)、2(,3)24a a a -+-、2217426(,)2(2)a a a a a -+-++.结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面： 当6a =-时，公共点有2个，坐标为(1,4)、(3,0)； 当2a =时，公共点有2个，坐标为(1,4)、(1,0)-.当2,26a a or a >=-<-时，公共点有1个，坐标为(1,4). 当22,62a a -<<-<<-时，公共点有3个，坐标为(1,4)、2(,3)24a a a -+-、2217426(,)2(2)a a a a a -+-++. 反思总结二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。