《数学计算方法》实验报告3-线性方程组数值解法

电子科技大学《数值计算方法》

实

验

报

告

（2）回代过程

① 若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行② ② nn n n n a a x /1,+=；对1?=n i ，···，1,2计算

,11

()/n

i i n ij

j

ii

j i x a a x a

+=+=?

∑ (5)

四、实验目的：

1、熟悉求解线性方程组的有关理论和方法。

2、编制列主元消去法、LU分解法、雅克比及高斯-赛德尔迭代法的程序。

3、通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

五、实验内容：

1.列主元高斯消去法的核心程序:

（1）消元过程：

for i=1:m-1

[pivot,p]=max(abs(Ab(i:m,i)));%选主元

ip=p+i-1;%计算出主元的行下标

if ip~=i

Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);%行交换

end

pivot=Ab(i,i);%主元对应的数

for k=i+1:m

Ab(k,i:nb)=Ab(k,i:nb)-(Ab(k,i)/pivot)*Ab(i,i:nb);%消元

end

end

（2）回代过程：

x=zeros(n,1);

x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);%计算x(n)的值

for i=n-1:-1:1

x(i)=(Ab(i,nb)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/Ab(i,i);%计算x(1)到x(n-1)的值

end

2.矩阵直接三角分解法的核心程序:

(1)LU分解过程:

for k=2:m

for j=k:nb

Ab(k,j)=Ab(k,j)-Ab(k,1:k-1)*Ab(1:k-1,j);%找出第k行的u

end

for i=k+1:m

Ab(i,k)=(Ab(i,k)-Ab(i,1:k-1)*Ab(1:k-1,k))/Ab(k,k);%找出第k列的l end

end

(2)回代过程

x=zeros(n,1);

x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);%计算x（n)的值

for k=n-1:-1:1

x(k)=(Ab(k,nb)-Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n,1))/Ab(k,k);%计算x(1)到x（n-1）的值

end

for k=1:n;

fprintf('x[%d]=%f\n',k,x(k));%输出x的值

end

3.雅克比迭代法的核心程序:

(1)计算过程:

while 1

x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1))/A(1,1);%求出x(1)的值

for i=2:n-1

x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/A(i,i);%求出x(2）到x(n-1)的值end

x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))/A(n,n);%求出x(n)的值

（2）回代判断过程：

if k

for i=1:n

fprintf('x[%d]=%f\n',i,x1(i));%输出迭代次数和x的值

end

end

4.高斯—赛德尔迭代法的核心程序：

（1）计算过程：

while 1

x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1))/A(1,1);%求出x(1)的值

for i=2:n-1

x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/A(i,i);%求出x(2）到x(n-1)的值end

x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1))/A(n,n)%求出x(n)的值

（2）回代判断过程：

if k

for i=1:n

fprintf('x[%d]=%f\n',i,x1(i));%输出迭代次数和x的值

end

end

六、实验结果及讨论：

1.列主元高斯消元法的MATLAB程序输出结果

x[1]=-0.398234

x[2]=0.013795

x[3]=0.335144

计算输出结果正确。

2．矩阵直接三角分解法的MATLAB程序输出结果

x[1]=-0.398234

x[2]=0.013795

x[3]=0.335144

通过比较发现使用列主元高斯迭代法与矩阵直接三角分解法计算结果相同，但通过程序可以比较发现：列主元高斯消去法比较直接，直接利用消元得出结果，而LU分解法则需要简介求出矩阵L及U。

3.雅可比迭代法的MATLAB程序输出结果

number=20

x[1]=1.000000

x[2]=2.000000

x[3]=-1.000000

雅克比迭代法经过20次迭代可以得出计算结果。