50常考常新 — 焦半径
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1、元素与集合的关系2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.3 、二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式：(2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）(3) 零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）（4）切线式：。
（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式）4、真值表：同真且真，同假或假5 、常见结论的否定形式;6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；（2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；(3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。
7、函数单调性:增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立，则就叫在上是增函数。
D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有成立，则就叫f（x）在上是减函数。
D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：等价关系：(1)设，那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .偶函数定义：在前提条件下，若有f（—x)=f(x)，则f（x）就是偶函数。
听课手册 第50讲抛物线
听课手册第50讲抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线,点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)图形(续表)标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)性质范围,y∈R ,y∈R准线方程x=-p2x=p2焦点F(p2,0)F(-p2,0)对称性关于对称顶点离心率e=焦半径|MF|=p2+x0|MF|=p2-x0(续表)标准方程x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质范围y≥0,x∈R y≤0,x∈R 准线方程y=-p2y=p2焦点F(0,p2)F(0,-p2)对称性关于对称顶点 离心率 e=焦半径|MF|=|MF|=常用结论1.焦半径:抛物线上的点P (x 0,y 0)与焦点F 之间的线段叫作抛物线的焦半径,记作r=|PF|. (1)y 2=2px (p>0),r=x 0+p 2;(2)y 2=-2px (p>0),r=-x 0+p 2;(3)x 2=2py (p>0),r=y 0+p 2;(4)x 2=-2py (p>0),r=-y 0+p 2.2.焦点弦的常用结论以抛物线y 2=2px (p>0)为例,设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F 是抛物线的焦点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),A ,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则有以下结论: (1)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2;(2)若直线AB 的倾斜角为θ,则|AF|=p1-cosθ,|BF|=p1+cosθ;(3)|AB|=x 1+x 2+p=2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角),抛物线的通径长为2p ,通径是最短的焦点弦;(4)S △AOB =p 22sinθ(其中θ为直线AB 的倾斜角);(5)1|AF|+1|BF|=2p(定值);(6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切; (7)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切; (8)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切,切点为F ,∠A 1FB 1=90°;(9)A ,O ,B 1三点共线,B ,O ,A 1三点也共线. 3.y 2=ax (a ≠0)的焦点坐标为(a 4,0),准线方程为x=-a 4.题组一 常识题1.[教材改编] 抛物线8x 2+y=0的焦点坐标为 ,准线方程为 . 2.[教材改编] 抛物线y=ax 2(a ≠0)的准线方程是y=2,则a 的值为 .3.[教材改编] 若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P 的轨迹方程为.4.[教材改编]抛物线y2=8x的焦点为F,P在抛物线上,若|PF|=4,则P点坐标为.5.[教材改编]过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=4,则|PQ|等于.题组二常错题◆索引:忽视抛物线的类型;不注意抛物线方程的标准形式;在方程中没有限制条件p>0的情况下,p可以为负值.6.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.7.抛物线x2+2py=0的焦点到准线的距离为4,则p= .8.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,那么抛物线y=-12ax2(a≠0)的通径长为.探究点一抛物线的标准方程例1(1)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为双曲线x 29-y27=1的右焦点,则此抛物线的方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.[总结反思]求抛物线方程的基本方法是定义法和待定系数法:(1)定义法就是根据抛物线的定义得到其焦参数、焦点位置,然后根据抛物线方程的形式写出其方程.(2)待定系数法就是根据已知得到焦参数的方程,求出焦参数,求解的关键是求出焦参数p和确定抛物线的焦点位置,焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以用x 2=λy (λ≠0)表示.变式题 (1)直线l 过抛物线y 2=-2px (p>0)的焦点,且与该抛物线交于A ,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是 ( )A. y 2=-12xB. y 2=-8xC. y 2=-6xD. y 2=-4x(2)已知抛物线C 与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程是( )A. y 2=±2√2xB. y 2=±2xC. y 2=±4x D. y 2=±4√2x探究点二 抛物线的定义有关问题 微点1 动弦中点到坐标轴距离最短问题例2 (1)已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为 ( )A. 34B. 32 C. 1 D. 2(2)已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|AB|=8,则x 1+x 2的最小值是 ( )A. 4B. 6C. 8D. 10[总结反思] 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式,这是解决此类问题的一般方法.微点2 距离之和最小问题例3 (1)若点B 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=6x 的焦点,点P 在抛物线上移动时,使|PF|+|PB|取得最小值的P 的坐标为 ( ) A. (0,0) B. (23,2)C. (1,√2)D. (2,2)(2)已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.[总结反思]利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离之间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.涉及距离和最小值的两个常见转化策略:①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.微点3焦点弦中距离之和最小问题例4(1)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.(2)[2018·江西上饶三模]已知抛物线y2=2x,焦点为F,过F点的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为.[总结反思]过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用“通径最短”求最值.应用演练1.【微点1】定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P 到y 轴的距离的最小值为 ( )A .6B .5C .3D .22.【微点3】[2018·重庆巴蜀中学月考] 直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点F 且交抛物线C 于A ,B 两点,则|AF|+2|BF|的最小值为( )A. 3+2√2B. 2+3√2C. 6D. 43.【微点3】[2019·唐山海港高级中学模拟] 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,则|AF|+|BF|的最小值是 ( ) A. 2 B. √2 C. 4 D. 2√24.【微点2】设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,F 为其焦点,若B (3,4),则|PB|+|PF|的最小值为 .5.【微点2】已知M 是抛物线x 2=8y 上一点,F 为其焦点,点A 在圆C :(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 .探究点三 抛物线的几何性质例5 (1)[2018·东北三省三校一模] 抛物线y=4x 2的焦点到准线的距离为 ( ) A. 2 B. 1C. 12D. 18(2)[2018·厦门二模] 已知拋物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,|AB|=6,则AB 的中点到y 轴的距离是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[总结反思] 抛物线的几何性质主要表现为两点:一是抛物线上的点与焦点和准线的关系;二是抛物线的焦点弦,利用抛物线的定义以及一些常用结论公式即可解决问题.变式题 (1)过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作斜率大于0的直线交抛物线于A ,B 两点(A 在B 的上方),且与准线交于点C ,若CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AF||BF|= ( ) A. 53B. 52C. 3D. 2(2)[2018·银川4月质检] 已知F 1,F 2分别为双曲线3x 2-y 2=3a 2(a>0)的左、右焦点,P 是抛物线y 2=8ax 与双曲线的一个交点,若|PF 1|+|PF 2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-1探究点四 直线与抛物线的位置关系例6 已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点且与此抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,|AB|<8,直线l 与抛物线y=x 2-4交于M ,N 两点,且M ,N 两点在y 轴的两侧.(1)证明:y 1y 2为定值;(2)求直线l 的斜率的取值范围;(3)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-48(O 为坐标原点),求直线l 的方程.[总结反思]直线与抛物线相交问题处理规律:(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算,特别是有关弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则使用弦长公式|AB|=√[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2);(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图形结合几何性质作出解答,并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.变式题[2019·四川华蓥一中调研]已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;,且△OCD的面积是(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为√22△OAB的面积的√3倍(O为坐标原点),求l1和l2的方程.完成课时作业(五十)。
巧借焦半径 妙解椭圆题
、想/i法^^2020年第12期中学数学教学参考（下旬)巧借焦半径妙解椭圆题王加义（浙江省杭州学军中学）摘要：椭囲的焦半径有效链接着椭圆上的点与焦点之间的长度问题，在解题中有广泛的应用，通过恰当 运用，可简捷地解决问题，取得事半功倍的效果。
关键词：椭圆；焦半径；离心率文章编号=1002-2171 (2020) 12-0035-02椭圆上任一点到一焦点的连线叫作椭圆的焦半径。
楠圆的焦半径公式如下：已知P U。
，)为椭圆C:$+多=l(a>6>0)上的任意一点，F, ,F2分别为椭圆C的左、右焦点，则 有丨尸^卜《+^…，|户匕丨=^-^。
（其中6为椭圆的离心率）。
利用椭圆的焦半径公式，我们可以简捷解决一些 相关问题。
I求椭圆的方程例 1在椭圆 C:^+#=1U>6>0)中，F,,F2a*" b为椭圆C的左、右焦点，焦距为2 w，0为坐标原点，点P为楠圆C上一点，|OP |=f a，且| P F,丨，|成等比数列，则椭圆C的标准方程为________。
分析：根据条件可知P O为线段F,F2的中线，又 由丨尸厂丨，|厂1&丨，|/^2|成等比数列，可得|/^1卜 |P F2|=|F,F2|2=12。
对于丨P F, |与 |P F2|的长度 问题，可以先利用椭圆的几何性质，结合焦半径公式进 行转化，再结合题目条件建立关系式，进而巧妙求解。
解：如图1所示，过点P作丄:r轴，垂足为H，设 P(x。
，>)。
在 A P H O 中，丨P/f p+ 丨OH丨2= |O P|2,即W+：y§=+a2(①)。
由题意知 c=W，I h h |2=4c2=12,又丨P F, |，丨^2丨，丨P F2 |成等比数列，可得丨丨P F2 | =丨厂巧丨2=12。
根据焦半径公式I丨=a+a。
，|P F2 |=a—d。
，可得(a+a。
）（a—^:。
）=12，即a2—=12，所以^2—4i=12(②）。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径——角度式一 椭圆的焦半径设P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF a c θ=- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=-u u u u r u u u u r u u u r两边平方得：2222PF FF FF FP FP '''=-⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++得：2cos b PF a c θ=-1 过椭圆22143x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=AF BF λ，则λ的值为2 （2002全国理）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11PF QF+为定值，并求这个定值结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112a AF BF b+=3（2007重庆理）在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明122232111PF P F P F ++为定值，并求此定值结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，L ，n P ，则212111n naPF P F P F b +++=L 4 F 是椭圆2212x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =u u u r ，2FB r =u u u r ， 3FC r =u u u r，4FD r =u u u r，则下列结论一定成立的是（ ）A 1234r r r r +++=1234r r r r +++=C12341111r r r r +++=12341111r r r r +++=5 F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则ABFM的值为6（2010辽宁理）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB=u u u r u u u r（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果154AB =，求椭圆C 的方程7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）8 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，若2BF AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B 0,2⎛ ⎝⎦C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 1,13⎛⎫⎪⎝⎭9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u ur 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u r，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11 已知过椭圆221259x y +=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程二 双曲线的焦半径设P 是椭圆22221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF c aθ=±式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F C 于A ，B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 952 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为三 抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos pAF θ=+证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos pAF θ=+1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF-=，则直线l 的倾斜角θ（02πθ<≤）等于（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =u u u r u u u r,，则弦AB 的中点到准线的距离为5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为7 抛物线1C ：22y px =和圆2C ：222()24p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1C 交于A 、D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A 24pB 23pC 22p D 2p（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
对数运算法则(函数的四则运算是什么)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！高中数学丨高中三年常考的45个数学公式50道经典试题汇总，很不错！高中生家长(gzsjz100)期末快到了，你准备好了吗？——这次颜老师整理了高中数学考试常考的45个公式及相对应的考题训练，对于考前摸底与提升很有帮助哦~ 文末附电子版领取方式，获取电子版、请拉到文末，文末，文末按要求操作1、函数的单调性2、函数的奇偶性3、函数在某处的导数的几何意义4、几种常见函数的导数5、导数的运算法则6、求函数的极值7、分数指数幂8、根式的性质9、有理数指数幂的运算性质10、对数公式11、常见的函数图像12、同角三角函数的基本关系式13、正弦、余弦的诱导公式14、和角与差角公式15、二倍角公式16、三角函数的周期17、正弦定理18、余弦定理19、面积定理20、三角形内角和定理21、a与b的数量积22、平面向量的坐标运算23、两向量的夹角公式24、平面两点间距离公式25、向量的平行与垂直26、数列通项公式与前n项和的关系27、等差数列通项公事与前n项和公式28、等差数列的性质29、等比数列的通项公式与前n项和公式30、等比数列的性质31、常用不等式32、直线的三角方程33、两条直线的垂直和平行34、点到直线的距离35、圆的两种方程36、点与圆的位置关系37、直线与圆的位置关系38、椭圆、双曲线、抛物线的性质39、双曲线方程与渐近线方程的关系40、抛物线的焦半径公式41、平方差标准差的计算42、回归直线方程43、独立性检验44、复数45、参数方程、极坐标化为直角坐标真题练习答案与解析怎样获取电子版打印？进入“高中生家长”微信点击发送消息“期末提分”-文章来源-【版权说明】*文章来源于网络，版权归原作者所有，如需【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。
比喻尽最大的力量，极度的努力，去实现自己的目标。
逆水行舟，不进则退。
人生能有几回搏，此时不搏何时搏。
——容国团 .生当作人杰，死亦为鬼雄。
【常考题】高考数学第一次模拟试题及答案
【常考题】高考数学第一次模拟试题及答案一、选择题1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对2．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．33．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i4．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±5．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]8．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．9．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''=,//'''B C y 轴,则ABC V 中AB 边上的中线的长度为( )A ．73B ．73C ．5D ．5210．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒> D ．22a b a b >⇒>11．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.15．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．17．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____． 三、解答题21．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．22．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．已知函数()3f x ax bx c =++在点2x =处取得极值16c -.(1)求,a b 的值；(2)若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值．25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．C解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以有43332013222w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C3．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4．A解析：A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.8．B解析：B 【解析】 试题分析：集合，故选B.考点：集合的交集运算.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC V 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以73AB =所以AB 73. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.10．C解析：C 【解析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12．B解析：B 【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边解析：79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.15．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z|==．对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．16．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：【解析】 因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，的均值为，所以答案应填：．考点：均值的性质．17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用 解析：35【解析】由题意，二项式371()x x+展开的通项372141771()()r rr r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.考点：1.二项式定理的展开式应用.18．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画解析：画画 【解析】以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：101 5【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题 910【解析】 【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++91050=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】 （1）为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （2）当时，，故 的普通方程为，到的距离所以当时，取得最小值.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程. 22．(1) ∠A =π3 (2) AC 33 【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=3314． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=，∴AC 边上的高为33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 23．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②.【解析】 【分析】（I ）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。
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高中数学：50个公式，50种快速做题方法！赶快看！！今天，为大家整理了高中数学50个快速解题的公式，一定要记住！1 . 适用条件[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注：上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2 . 函数的周期性问题(记忆三个)(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4 . 函数奇偶性(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6 . 数列的终极利器，特征根方程首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n 为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
第52讲 椭圆的几何性质(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( )A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB . 设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
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常考常新 — 焦半径
焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，
故值得我们进一步总结与研究。对于它的代数形式a±ex是大家熟知的，本文介绍它的几处
三角形式及其应用。
定理：P是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)上的一点，F1(－c，0)、F2(c，0)是左、右焦点。
1．若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF1|＝a＋ccosθ； (2)|PF2|＝a－ccosθ．
2．若PF1或PF2的倾斜角为α，则 (1)|PF1|＝； (2)|pF2|＝．
3．若∠F1PF2＝β，且设|PF1|≥|PF2|，则 (1)|PF1|＝a＋
(2)|pF2|＝a-
证明：
1．∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形
式知：|PF1|＝a＋exp＝a＋ea²cosθ＝a＋c²cosθ,|PF2|＝a－exp＝a－c²cosθ．
2．以F1为极点，F1x为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程ρ(θ)＝，这时，
|PF1|＝ρp＝ρ(α)＝
将ep＝b2/a，e＝代入上式得 |PF1|＝．
又以F2为极点，F2x为极轴建立极坐标系，则椭圆方程ρ(θ)＝，此时
|PF2|＝ρp＝ρ(α)＝＝．
3．设椭圆的离心角为θ，则点P的纵坐标可表示为yp＝bsinθ，
∴ S△PF1F2＝²2c²|yp|＝bc|sinθ|．
另一方面，由题设及焦点三角形的面积公式知：S△PF1F2＝b2²tg．
∴ bc|sinθ|＝b2²tg， ∴ |sinθ|＝²tg，
∴ cosθ＝±＝±．
由定理1及假设|PF1|≥|PF2|知 |PF1|＝a＋c²cosθ＝a＋
|PF2|＝a－c²cosθ＝a－
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灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解一类问题，请看下面几例。
例1 F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|c²|PF2|的最大值
是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)
解：设椭圆的离心角为θ，又知a＝2，c2＝3，由定理1得
|PF1|c²|PF2|＝a2－c2cos2θ＝4－3cos2θ
∵ 0≤cos2θ≤1 故知 |PF1|c²|PF2|max＝4－3²0＝4
|PF1|c²|PF2|min＝4－3²1＝1
例2 椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的右焦点为F，右准线为l，过F且垂直于x轴的直线
交椭圆于P、Q两点，若|PQ|等于点F到l的距离，则椭圆的离心率e＝_________．
(1999年全国高考题)。
解：设∠PFx＝α，则α＝90°，由对称性及定理2知：
|PQ|＝2|PF|＝＝．
又|PQ|＝－c＝，故有， ∴ e＝＝．
例3 椭圆 的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点Q在y轴上，那
么|PF1|:|PF2|＝_________．(1998年全国高考题)
解：设∠PF2x＝α， ∵ PF1的中点Q在y轴上 ∴ PF2⊥Ox ∴α＝90°
又 ∵ a＝2，b2＝3，由定理2的知：|PF2|＝＝，
由椭圆定义 |pF1|＝2a－|PF1|＝． ∴ |PF1|:|PF2|＝7 为所求。
例4 椭圆的左右焦点为F1、F2，试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点
P，使得PF1⊥PF2。
解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股
定理得
(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2 化简得cos2θ＝．
∵ 0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。
例5 过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，其中yA＞yB，且满足
|AF|:|FB|＝2，求直线AB的方程。(1986年广东省高考题)
解：设AB的倾斜角为α，由题设知点A和点B分别在x轴的上方和下方。
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又a＝2，b2＝3，c＝1由定理2(2)得
解得 cosα＝－，从而kAB＝tgα＝－．
∴ AB的方程为y＝－(x－1)．