2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷及答案

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

（第一试）

一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为ΔABC的外心。

求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

二．给定代数式–x3+100x2+x 中的字母 x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值时， x的值等于多少？并证明你的结论。

三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式 11x2+5xy+37y2的值为完全平方数；

(2) 证明存在六个非零整数a

1,b

1

,c

1

,a

2

,b

2

,c

2

, 其中a

1

:a

2

≠b

1

:b

2

,使得对于任意自然数n, 当

x=a

1n2+b

1

n+c

1

,y=a

2

n2+b

2

n+c

2

时，代数式 11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。

（第二试）

一．

⎫⎫-

++-⎝⎝

= 。 二．在长方形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 相交于O ，HC 与EF 相交于I 。已知AH:HB=AE ：ED=m:n, △COI 的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD

的面

积等于 平方厘米。

三．将三个数：

2+

>”连接起来，正确

的结果应该是： 。

四． 点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C 为直角，DE ∥AB ，且

3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长等于 。

五． 已知：x,y,z 是正整数，并且满足

34015x y x y z -=⎧⎪

⎨

++=⎪⎩

那么，x -y +z 的值等于 。 六．已知点D ，E ，F 分别在△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上，G 为BE 与CF 的交点，并且BD=DC=CA=AF ，AE=EC=BF ，那么

D G B C

的值等于 。

七．如果满足 ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个，那么实数a 的值等于 。 八．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直角，延长CA 至D ，以AD 为直径作圆，连BD 与圆O 交于点E ，连CE ，CE 的延长线交圆O 于另一点F ，那么

B D

C F

的值等于 。

九．满足下列两个条件（1）对所有的自然数，x ，x-2001x+n ≥0;（2）存在自然数x 0，使x 02

-2002 x 0+n<0.

的正整数n 的个数为

十．一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v 千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于2

25v ⎛⎫

⎪⎝⎭

千米，这这批救灾物资全部

运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。