2014高考真题+模拟新题 文科数学分类汇编：14份 纯word版解析可编辑

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数学
A单元集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}
C．{1，2} D．{3}
1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．
1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()
A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}
C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}
1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.
16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．
(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．
(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．
则100a＋10b＋c＝100³2＋10³0＋1＝201.
1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()
A．{0，2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{3，5}
1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．
1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.
2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．
11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．
11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．
1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．
2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()
A．(－3，0) B．(－3，－1)
C．(－3，－1] D．(－3，3)
2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，
∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．
1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．
1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()
A．2 B．3
C．5 D．7
1．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()
A．∅B．{2}
C．{0} D．{－2}
1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．
1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝()
A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－2，3)
1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．
2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()
A．(0，2] B．(1，2)
C．[1，2) D．(1，4)
2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.
1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()
A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)
1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．
1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}
1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B ＝{－1，0，1，2}．故选D.
20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.
20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2²2＋x3²22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得
s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1
＝（q－1）（1－q n－1）
1－q
－q n－1
＝－1<0，
所以s<t.
1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()
A．(－∞，5] B．[2，＋∞)
C．(2，5) D．[2，5]
1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件
5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．
7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.
∵sin≤A sin B，∴2R sin A≤2R sin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.
6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”
D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．
对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．
对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ²b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
3．C [解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．
4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.
8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋1
2＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆
命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
8．A [解析] 由a n ＋a n ＋1
2<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命
题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．
15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；
④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1
(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．
取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1
(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使
得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x
x 2＋1
(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝1
2，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确
2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.
6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧綈q
B ．綈p ∧q
C ．綈p ∧綈q
D ．p ∧q
6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．
A3 基本逻辑联结词及量词 2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0
2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0
5．C [解析] “∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x 0
∈[0，＋∞)，x 3
0＋x 0<0”，故选C.
3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∈/R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x
C ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0
D ．∃x 0∈R ，x 2
0＝x 0
3．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2
≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.
1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )
A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0
B ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1≤0
C ．∃x 0∈R ，x 2
0＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0
1．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B. ∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C. ∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1
3．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．
A4 单元综合
4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，d }，N ＝{a ，c ，e }，则N ∩(∁U M )＝( )
A ．{c ，e }
B ．{a ，c }
C ．{d ，e }
D ．{a ，e }
4．A [解析] 因为∁U M ＝{b ，c ，e }，所以N ∩(∁U M )＝{a ，c ，e }∩{b ，c ，e }＝{c ，e }． 7．[2014·宁德质检] 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
7．B [解析] ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 8．[2014·蚌埠质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )
A ．{x |x ≥1}
B ．{x |－1<x <1}
C ．{x |－1<x ≤1}
8．B [解析] ∵集合A ＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，
∴∁U A ＝{x |－1<x <1}．又集合B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－1<x <1}． 4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．B [解析] 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.
7．[2014·济南模拟] 已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1
a
≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0
＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．p ∧(綈q )是真命题
D ．(綈p )∧q 是真命题
7．C [解析] 依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，故选C.
12．[2014·长沙联考] 若命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．
12．2≤m ≤6 [解析] 由题意可知，命题“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，
故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.
数 学
B 单元 函数与导数
B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－3
16＋sin π6＝5
16
. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝e －
x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |
2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．
(1)求p (100)；
(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；
(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．
21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以
恰好取到0的概率为p (100)＝11
192
.
(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，
2n －9，10≤n ≤99，
3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.
(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；
当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧0，1≤n ≤9，
k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.
1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，
k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *
，b ∈N ，
n －80，89≤n ≤98，
20，n ＝99，100.
由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.
当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝1
19
.
当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k
20k ＋9
关于k
单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8
169
.
又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119
. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1
log 2x －1
的定义域为( )
A ．(0，2)
B ．(0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.
B2 反函数
5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3
x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )
5．D [解析] 因为y ＝ln(3
x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3
x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．
B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝e －
x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |
2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f (x )＝1
x
2 B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－
x
4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．
19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －
x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．
(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －
x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 3
0＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －
1的大小，并证明你的结论．
19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －
x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．
(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －
x －1在(0，＋∞)上恒成立．
令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1
t 2－t ＋1
＝
－
1
t －1＋1
t －1
＋ 1
对任意 t >1成立．
因为t －1＋1
t －1
＋ 1≥2
（t －1）·1t － 1
＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1
＋ 1
≥－1
3，
当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，－1
3. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1
e
x ＋3a (x 2－1)．
当 x ≥1时，e x －1
e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调
递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －
1－2a .
由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，
当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1
－2a <0, 即 a >e ＋e －
12
.
令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1
x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.
当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；
当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．
注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.
所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭
⎫e ＋e
－1
2，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，
即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －
1<a e －
1；
②当a ＝e 时，e a －1＝a e －
1；
③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －
1.
综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －1
2，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －
1；当a ∈(e ，＋∞)
时，e a －
1>a e －
1.
15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；
④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1
(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．
取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值
域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1
(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使
得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x
x 2＋1
(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝1
2，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确
21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.
21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．
当a ≤1
2
时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当a ≥e
2
时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，
因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e
2
时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .
综上所述，当a ≤1
2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当12＜a ＜e
2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e
2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .
(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.
同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a ≤1
2
时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；
当a ≥e
2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以12＜a ＜e 2
.
此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.
所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.
B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x
C ．f (x )＝2x －2－x
D ．f (x )＝2x ＋2－
x
4．D [解析] A 中，f (－x )＝－x －1，f (x )为非奇非偶函数；B 中，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2
－x ，f (x )为非奇非偶函数；C 中，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－
x )＝－f (x )，f (x )为奇函数；D 中，
f (－x )＝2－
x ＋2x ＝f (x )，f (x )为偶函数．故选D.
14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－3
16＋sin π6＝5
16
. 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －1
2x B ．x 3sin x
C ．2cos x ＋1
D ．x 2＋2x
5．A [解析] 对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－
x －2x
＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．
9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1，3}
B ．{－3，－1，1，3}
C ．{2－7，1，3}
D ．{－2－7，1，3}
9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；
当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f (x )＝1
x
2 B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－
x
4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．
15．－32
[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －
3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，
∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－3
2
.
19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －
x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．
(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －
x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 3
0＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －
1的大小，并证明你的结论．
19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －
x ＋e x ＝f (x )，
所以f (x )是R 上的偶函数．
(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －
x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1
t 2－t ＋1＝
－
1
t －1＋1
t －1
＋ 1
对任意 t >1成立．
因为t －1＋1
t －1
＋ 1≥2
（t －1）·1t － 1
＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1
＋ 1
≥－1
3，
当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，－1
3. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1
e
x ＋3a (x 2－1)．
当 x ≥1时，e x －1
e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调
递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －
1－2a .
由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，
当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1
－2a <0, 即 a >e ＋e －
12
.
令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1
x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.
当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；
当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．
注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.
所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭
⎫e ＋e
－1
2，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，
即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －
1<a e －
1；
②当a ＝e 时，e a －1＝a e －
1；
③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －
1.
综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －1
2，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －
1；当a ∈(e ，＋∞)
时，e a －
1>a e －
1.
12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
12．D [解析] 因为f (x ＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x ＝0，所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x ＝2.又因为函数f (x )是奇函数，其定义域为R ，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (－
4)＝－f (4)＝－f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝0＋f (－5)＝－f (5)＝－f (－1)＝f (1)＝1.
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．
15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，又函数为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，故f (－1)＝3.
5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
5．C [解析] 因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·
g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；
|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；
f (－x )|
g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－4x 2
＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 13．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.
B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
10.⎝
⎛⎭
⎫－
22，0 [解析] 因为f (x )＝x 2
＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩
⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，
f （m ＋1）＜0，
解得⎩
⎨⎧－
22＜m ＜2
2，－3
2
＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－2
2，0.
14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．
14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为3
2
.
B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b
5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b . 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )
图1-2
A B
C D 图1-3
8．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.
选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x
，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3
，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.
3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121
3
，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 21
3
<0，
c ＝log 1213>log 121
2
＝1，所以c >a >b .
15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧e x －
1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值
范围是________．
15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －
1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，
综合可知x 的取值范围为x ≤8.
5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin y
C ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)
D.1x 2＋1>1y 2＋1
5．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( )
A ．f (x )＝x 3
B ．f (x )＝3x
C ．f (x )＝x 12
D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫
12x
为单调递减函数，所以排除选项D. 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝101
2＝10.
7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )
A ．d ＝ac
B ．a ＝cd
C ．c ＝ad
D ．d ＝a ＋c
7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.
9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )
A ．[5，2 5 ]
B ．[10，2 5 ]
C ．[10，4 5 ]
D ．[25，4 5 ]
9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，
所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，
所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.
4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12
π，c ＝π－
2，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
4．C [解析] ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1
π
2<1，
∴b <c <a .
B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．
12．(－∞，0) [解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．
11．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－3
4＋log 354＋log 345
＝________.
11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23
4－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54³45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B
C D
图1-2
8．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.
8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )
图1-2
A B
C D 图1-3
8．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.
选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x
，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3
，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.
13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3
＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．
13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，
所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25
，
所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.
3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121
3
，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 21
3
<0，
c ＝log 1213>log 121
2＝1，所以c >a >b .
6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )
图1-1
A ．a >1，x >1
B ．a >1，0<c <1
C ．0<a <1，c >1
D ．0<a <1，0<c <1
6．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.
7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c
7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.
9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3
9．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3
b
＝1，所以a ＋b ＝(a
＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ²3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.
B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B
C D
图1-2
8．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.
8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )
图1-2
A B
C D 图1-3
8．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.
选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x
，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3
，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.
15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．
图1-4
15.⎝⎛⎭⎫0，1
6 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到
的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，16.
13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝
⎪
⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值
范围是________．
13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋1
2在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的
图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.
函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭
⎫0，12.
15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧e x －1
，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值
范围是________．
15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －
1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，
综合可知x 的取值范围为x ≤8.
6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )
图1-1
A ．a >1，x >1
B ．a >1，0<c <1
C ．0<a <1，c >1
D ．0<a <1，0<c <1
6．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.
B9 函数与方程
6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6
x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是
( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，4)
D ．(4，＋∞)
6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6
x －log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据
零点的存在性定理知选C.
方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6
x 与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得
f (x )的零点所在的区间为(2，4)．
7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )
A ．c ≤3
B ．3＜c ≤6
C ．6＜c ≤9
D ．c ＞9
7．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，
－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒
⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，
b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋
c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.
10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，
x ，x ∈（0，1]，
且g (x )＝f (x )－mx －m 在
(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12
B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12
C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23
D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦
⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)。