直线的一般式方程(教案)

教学目标：

1、知识与能力：

⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）

⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；

2、过程与方法：

⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；

3、情感、态度与价值观：

体验数学发现和探索的历程，发展创新意识

教学重点：

直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解

教学难点：

⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解

⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。

教学方法：

引导探究法、讨论法

教学过程：

创设情境，引入新课：

1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：

名

称

几何条件方程局限性

点

斜式点P(x0,y0)和斜率k

y-y0=k(x-x0)

斜率存在的直线

斜

截

式

斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两

点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)

不垂直于x、y轴

的直线

截

距式在x轴上的截距a,在y

轴上的截距b

不垂直于x、y轴

的直线，不过原点

的直线

过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，

过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。

2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？

提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）

猜 测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

新课探究：

问题：

（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),

（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,

（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,

思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？

答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0

在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们

又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）

【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

思考2：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）能否表示一条直线？

证明：（1）当B ≠0时,方程可变形为B C x B A y --=它表示过点 （0，-B C ）斜率为-B

A 的直线

（2）当B=0时因为A，B不同时为0所以A≠0 则有C这表示的是与x轴垂直的直线

Ax=-C即x=-

A

【结论：】每个一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）都表示一条直线。

由上面讨论可知,

(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,

(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

1.直线的一般式方程

我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式

注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：

（1）、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列

（2）、x项的系数为正；

（3）、x，y的系数和常数项一般不出现分数；

（4）、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。深入探究：

二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B和常数项C对直线的位置的影响:

①平行与x轴 A=0 , B≠0 ,C≠0;

②平行与y轴 B=0 , A≠0 , C≠0;

③与x轴重合 A=0 , B≠0 ,C=0;

④与y 轴重合 B=0 , A ≠0, C=0;

⑤过原点 C=0，A 、B 不同时为0;

例题分析：

例1、已知直线经过点A （6，-4）斜率为-34，求直线的点斜式方程，一般式方程和截距式方程。

解：经过点A （6，-4）斜率为-34的直线的点斜式方程为y+4=-34(x-6)化为一般式为4x+3y-12=0截距式方程为143=+y x 说明：在讨论直线问题时，常常将直线方程的形式相互转化。 例2 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：

1.经过点P(3,-2),Q(5,-4);

解：直线的两点式方程为

353)2(4)2(--=-----x y 化为一般式方程为x+y-1=0

2.在x 轴,y 轴上的截距分别是2，3

解：直线的截距式方程为

132=+y x 化为一般式 方程为

3x+2y-6=0

说明：在遇到问题时，根据条件写出适当形式的方程，然后再化为一般式。

课堂小结：

1、关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式。

2、二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B 和常数项C 对直线的位置的影响: