(完整版)三角函数恒等变换高一.doc
三角函数恒等变换sin sin cos cos sin
cos cos cos m
sin
sin
令
令
sin 22sin cos
cos 2cos2sin 2
2cos 2 1 12sin 2
tan
tan tan 2
＝
1+cos2
m
tan
cos 2
1 tan
sin 2 ＝ 1 cos2
2 tan 2
2 tan 1 tan 2
说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部
分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。题型一，和差角公式的直接应用
分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的
和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1 计算：
（1） cos80 cos20 sin 80 sin 20 = ；
（2） cos80 cos35
cos10 cos55 =
； （3） cos cos
3
sin
5 sin
3
＝
；
5 10 10 （4）－ sin
π π π π
cos +sin
cos
=__________ ；
3 6 6 3 π π
π π
（5） sin cos － cos
sin
= _________ ；
2 6
2 6 π π π π
（6） cos
cos +sin
6 sin
3 =____________；
3 6 π π π π （7） cos
cos － sin
sin =_____________ ；
4
2
2
4
1
2，已知 sin
4 , ,
cos
5
, 是第三象限角，求 cos
的值。
，
5
2
13
3，已知 sin = 3
，cos
= 12 求 cos(
) 的值。
5
13
4，化简：
（1）， cos(2 x －
π
π
)cos χ +sin(2 x － )sin x =_______ ；
4
4
π
π
π
π
（2），－ sin( x － )sin(3 x +
)－ cos(3 x +
)cos( x －
)=______ ；
3
6 6 3 （3）， cos( x － π
x － π
π
π )sin(2 )－sin( x －
)cos(2 x －
)=_____ ；
12
6 12
6
（4）， cos(2 x －
π
π
π x +
π )cos( x +
) －sin(2 x －
)sin( )=_________ ；
3 6 3
6
（5）， -sin(2 x +
π
π π π )cos( x -
)+cos(2 x +
)sin( x -
)=___________ ； _
8 8
8
8
π π x =-_______ 。
（6）， sin( x +
)cos2 x -cos( x +
)sin2
4
4
2
5，已知sin，求sin。
4 3
6，已知sin 1 ，求 cos 。
12 3
2
7，已知tan x 2 ，求
12
（1）tan x ；（ 2) tan x ；（ 3）sin x 。
3 6 6
题型二，二倍角公式
先找出未知角之间有无倍数关系，确定公式的应用。倍数关系高于其他所有公式。二倍角公式的主要作用在于升降次和连乘问题。
1，计算：
（1） sin22 30’cos2230’=（2）
8 sin cos cos cos
48482412 ；；
（3）(sin 5
cos
5
)(sin
5
cos
5
) ；
12 12 12 12
（4）
8 sin cos cos
24 cos ；
48 48 12 （5）cos4 sin 4 。
2 2
2，若5
≤ α≤
7
，则 1 sin 1 sin等于() 2 2
A. 2cos
B.2cos
2 2
C. 2sin
D.2sin
2 2
3， 2 sin22 cos4 的值等于( )
Ａ， sin2 Ｂ，－ cos2 Ｃ， 3 cos2Ｄ，－3cos2
5 1
）的值等于。
4，已知 sin ｘ＝，则 sin2 （ｘ－
2 4
5，已知sin( ) 5
(0 ), 。
4 13 4
6，求证： 1 sin 4 cos4 1 sin 4 cos4 。
2 tan 1 tan2
7， sin6 ° cos24 ° sin78 ° cos48°的值为。
8，cos cos 2
cos
3
cos
4
的值等于。
9 9 9 9
题型三，三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首
先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
常用配角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角
与其和差角的变换. 如( ) ( ) ， 2( ) ( ) ，
2( ) ( ) ， 2 ，
2 2 等），
2 2
1、已知tan( ) 2
)
1
) 的值是_____ ， tan( ，那么 tan(
5 4 4 4
2、已知0 ，且 cos( ) 1
， sin(
2
) 9
)，求cos(
2 2 2 3
3、已知, 为锐角， sinx,cos y ，cos() 3
，则 y 与x的函数关系为_____ 5
4、.已知,为锐角，sin
8 ,cos()21 , 求cos的值.
1729
5，
已知 cos
1
,sin
2
2
,且
2
,0 , 求 cos .
2 9
3 2 2
考点四，三角函数名互化( 切割化弦 ) ，1、求值sin 50o(1 3 tan10o)
2、已知sin
cos 1,tan( )
2
，求 tan( 2 ) 的值1 cos2 3
考点五、公式变形使用（ tan tan tan1mtan tan。
1、已知 A、 B 为锐角，且满足tan A tan B tan A tan B 1，则cos( A B) ＝_____
2、设ABC 中，tan A tan B 3 3 tan Atan B ， sin Acos A
3
，则此三角形是4
____三角形
例 3、tan tan tan tan ;
12612 6
针对性练习
tan111 tan114 tan111tan114
例 4、 tan18
tan 42 3 tan18 tan 42
针对性练习
tan(
x) tan( x) 3 tan(
x) tan(
x)
6
6
6
6
考点六、“ 1”的变换 （ 1 sin 2 x cos 2 x ， 例 1、已知 tan
2 ，求 sin 2
sin cos3cos 2
例 2、化简下列各式
(1) 1 sin ;(2) 1 cos
化简： 1 sin 2 cos2
1 sin
2 cos2 2.
(1)
sin 2 cos2
;(2)
sin 2
cos2
1 1 针对性练习
1 1. 已知 sin x cos x
,0 x ,求 sin 2x 和 cos2x.
3
考点七，整体代换：两式相加减，平方相加减
例1.已知 sin
sin
3
,cos
cos 4
, 求 cos(
).
5
5
针对性练习 1、 已知 cos
sin
1
,sin
cos
1
,求 sin(
).
2、已知sin sin sin0,cos cos cos0, 求 cos()
1 3
tan 的值 .
例 2.已知 cos(),cos( ), 求 tan
5 5
针对性练习
1 1 tan
1、已知 sin(),sin( ), 求的值 .
2 3 tan
考点八、三角函数次数的降升( 降幂公式：cos2 1 cos2 ， sin 2 1 cos2 与升
2cos 2 2sin 2 2 2
幂公式： 1 cos2 ， 1 cos 2 ) 。
例 1、若
3
) ，化简
1 1 1 1
为 _____ ( ,
2 2 2
cos2
2 2
例 2、函数f ( x ) 5 sin xcos x 5 3 cos2x 5 3( x R ) 的单调递增区间为
2
练习
A 组
一、选择题：
1、tan150 cot 150 （） A.2 B. 2 3 C.4 D.2 3
2．已知是第三象限的角，若sin4 cos4 5
，则 sin2 等于（）9
A. 2 2
B.
2 2
C.
4 2
3 3 3
D.
3
3．3
sin 700 =（） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 2 cos2 100 2 2 2
4．函数y cosx cos(x
3
) 的最小正周期是（）
（ A）2 （ B）（ C）
2 （ D）
4
5．若3
2 ，则 1 1 1
1
cos2 等于（）2 2 2 2 2
（ A）sin （ B）cos
2 （ C）cos （ D）cos
2
2 2
6．若f ( sinx ) ＝ 2－cos2x，则f ( cosx) ＝（）
A.2－ sin 2x
B.2＋ sin 2x
C.2－cos2x
D.2＋ cos2x
7．已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍，则顶角A 的正切值是（）
Ａ．
3
Ｂ． 3
15
Ｄ．
15 2
Ｃ．
7
8
二. 填空题 :
8．已知, 均为锐角，且 cos( ) sin( ), 则 tan .
9 已知sin cos 1 ，且
4
，则 cos sin 的值为。
8 2
10 已知sin cos 1 ，且≤≤3
，则 cos2 的值是________ ．
5 2 4
11．已知函数 f ( x) sin( x ) 3cos( x ) 为偶函数，的值是。
三、解答题：
15 sin(
)
12．已知α为第二象限角，
且
sin α = ,求
4 的值 .
4
sin 2
cos2
1
13．已知 cos
3 , 2
3 求 cos 2
的值
4
5 2
4
14．已知 tan()
1 1 ，
,(
,0) ，求 2
的值。
， tan
7
2
B 组
一、选择题
1．已知 x (
,0) ， cos x 4
）
，则 tan2x （
2
5
A ．
7 B ．
7
C 24 ．
24
24 24 ．
D 7
7
2．函数 y 3sin x 4cos x 5 的最小正周期是（
）
A.
5 B.
2 C.
D.
2
3．在△ ABC 中， cos AcosB sin Asin B ，则△ ABC 为（
） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定
4．设 a sin14 0 cos140 ， b sin16 0
cos160 ， c
6 ，则 a, b,c 大小关系（ ）
2
A ． a b c
B ． b a c
C ． c b a
D ． a c b
5．函数 y
2 sin(2 x ) cos[2( x )] 是（
）
A. 周期为
的奇函数 B. 周期为 的偶函数
4
4
C. 周期为
的奇函数 D. 周期为
的偶函数
2
2
6．已知 cos 2
2 ，则 sin 4
cos 4
的值为（
）
3
A ．
13
B ．
11
C ．
7
D ． 1
18
18
9
二、填空题
1．求值： tan 200
tan 40 0 3 tan 200 tan 400 _____________ 。
2．若1
tan 2008,
则
1 tan
2 。
1 tan cos2
3．函数 f ( x) cos2 x 2 3sin x cos x 的最小正周期是___________。
4．已知sin cos 2 3
, 那么sin 的值为, cos2 的值为。
2 2 3
5．ABC的三个内角为 A 、 B 、 C ，当 A 为时， cos A 2cos B C
取得最大2
值，且这个最大值为。
三、解答题
1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0, 求 cos( ) 的值.
2．若sin sin 2
, 求 cos cos 的取值范围。2
3．求值： 1 cos 200 sin10 0 (tan 1 50 tan 50 ) 2sin 200
4．已知函数
x x ,.
y sin 3 cos x R
2 2
（ 1）求y取最大值时相应的x 的集合；
（ 2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y sin x(x R) 的图象.