岩石力学讲义弹性力学基础

x
y
xzy
yz
zx
66
x
y
xzy
yz
zx
本构方程
1
0
0
0
1
0
0
0
1 0
0
0
D
1
E
1
2
1 2 0
0
2
1 2
2
0
对称
1 2
2
内容回顾
课程内容
1. 多孔介质的线弹性理论 2. 厚壁圆柱筒问题
弹性问题的数学提法 平面问题的极坐标表达 圆孔周围的应力集中
s
s s
xx yx
sxy s yy
sxz s yz
xx yx
m
xy yy m
xz yz
szx szy szz zx
zy
zz m
应力偏量的不变量
J1 sxx s yy szz 0
J2
sxxs yy s yy szz szz sxx
s
2 xy
2 xy yz zx
xx
2 yz
yy
2 zx
zz
2 xy
不变：不随坐标系的改变而改变
一点应力状态——应力变换
3
2
1
3
2
1
一点应力状态——应力变换
z
z
l
y
x
x
lx
ly
lz
1 3
八面体应力
m
1 3
xx
yy
zz
oct
1 3
2 I12 3I 2
一点应力状态——应力变换
应力偏量
一点应力状态——应力平衡方程
x xy zx X 0
x y z
y xy zy Y 0
y x z
z xz yz Z 0
z x y
一点应力状态——应力变换
x xy
xy
y
y
xy
x
yx
x
y
一点应力状态——应力变换
依据应力平衡原理
x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
11 12 13
21
22
23
31 32 33
ij
i, j 1,2,3
一点应力状态——剪应力互等定理
岩石处于静平衡状态—受力平衡和力矩平衡
yy
yy y
l
xy
xy
x
l
l
xx
xx x
l
yx
yx y
l
l
o
三维空间的主应力计算
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
展开
3 I1 2 I 2 I 3 0
一点应力状态——应力变换
应力不变量
I1 xx yy zz
I 2 xx yy yy zz zz xx
2 xy
2 yz
2 zx
I3
xx yy zz
u j xi
应变——应变分析
体积应变
v x y z
主应变 应变不变量
相容（协调）方程
2 x
y 2
2 y
x 2
2 2 xy
xy
2 x 2 z 2 2 xz
z 2 x 2
xz
2 z 2 y 2 2 zy
y 2 z 2
zy
保证变形协调，防止变形导致物质重叠、开裂等
本构方程
w
应变
变形前
变形后
P L
P L’
0
0
L L'
L
应变
变形前
Q
变形后
Q
o
P
o
P
1 tg
2
应变—几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
1 2
u y
v x
xz
1 u 2 z
v x
yz
1 2
v z
w y
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
ij
1 ui 2 x j
A横截面
lim
Fi
A Ai 0
i
注意：岩石力学中以压应力为正
应力的概念
A2 正应力：
Fn
F
A2
剪应力： Fp
A2
应力的概念
z
剪应力的分解
xz
xy
平面上一点的应力
xx xy xz
y
一点应力状态——九个应力分量
一点应力状态——九个应力分量
3
1
2
Baidu Nhomakorabea
一点应力状态——应力张量
一点应力状态的张量表达
xx
xx x
l
yx
yx y
l
xy
xy
x
l
yy
yy y
l
一点应力状态——剪应力互等定理
M oz
xy
xy
x
l 2l2 l
xy
xy
x
l 2l2 l
yx
yx
y
l
2l 2
l
yx
yx
y
l
2l 2
l
由力矩平衡： M oz 0
得出： xy yx 同理： yz zy xz zx
一点应力状态——剪应力互等定理
xx yx
xy yy
xz yz
xx xy
xy yy
xz yz
zx zy zz xz yz zz
11 12 13 11 12 13
21
22
23
12
22
23
31 32 33 13 23 33
s
2 yz
s
2 zx
J3
sxxs yy szz
2sxy s yz szx
s
xx
s
2 yz
s
y
y
s
2 zx
s
zz
s
2 xy
变形
2、应 变 分 析
位移
变形前
（x,y,z）
u ux, y, z v vx, y, z w wx, y, z
变形后
（x’,y’,z’）
x' x u
y
'
y
v
z
'
z
课程回顾：
1. 岩石的组构特征及其对力学性质的 影响
2. 岩石的四个性质 3. 岩石的物理性质 4. 岩石的水理性质
课程提纲
弹性力学基础
1. 应力分析 2. 应变分析 3. 本构方程 4. 弹性问题的数学表达
1、应 力 分 析应力的概念
面力与体力
应力的概念
F
A
应力的概念
受力=Fi 面积=Ai
莫尔园（Mohr’s Circle）
2
2
1
2
2
1
一点应力状态——应力变换
z
z
l
y
x
lx cos x
l y cos y
lz cos z
y
l
2 x
l
2 y
l
2 z
1
x
应力分量：
Px
Py
xx xy
xy yy
xz yz
l l
x y
Pz xz yz zz lz
一点应力状态——应力变换
流体与悬浮颗粒体系的弹性变形
p
Biot静力特性多孔弹性力学理论
位移的定义： u s u f
体积应变： v us
流体相对于固体的体积变形
(us u f )
两相多孔介质的线性应力应变关系
x v 2G x C y v 2G y C z v 2G z C xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx Pf C v M
1 2
y
x
sin 2
xy cos2
变换夹角
tg2 2 xy x y
0
一点应力状态——应力变换
主应力
1
1 2
x
y
2 xy
1 4
x
y
2
2
1 2
x
y
2 xy
1 4
x
y
2
1
2 1
2
莫尔园（Mohr’s Circle）
2
1
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2 cos2
1 2
1
2 sin 2