信号与系统第9章

显然，在 a > 0 时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] > −a ，包括了 σ = 0 （即 jω 轴）。
9
比较 X (s) 和 X ( jω)，显然有
X (s) s= jω = X ( jω )
当 a = 0 时， x(t) = e−atu(t) = u(t)
可知 u ( t ) ↔ 1 s
表明 σ 1 也在收敛域内。
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6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 jω 轴的带形区域。
例2. x (t ) = e − b t
jω
解： x(t) = e−btu(t) + ebtu(−t)
e −btu (t ) ↔ 1 , Re[s] > −b
−b
bσ
s+b
ebtu(−t) ↔ − 1 , Re[s] < +b s−b
8
例1. x(t) = e−atu(t)
解： 当 a > 0 时， x(t) 的傅里叶变换存在
∫ X ( jω ) = ∞ e−ate− jωt dt = 1
0
a + jω
(a > 0)
∫ ∫ X (s) = ∞ e−ate−st dt = ∞ e−(s+a)t dt = 1
0
0
s+a
在 Re[s] > −a 时，积分收敛。
N (s) − p2 )L(s
−
pn )
1、X (s) 有单阶实数极点
p1, p2 , p3 L pn 为 D(s) = 0 不同实数根，则
X (s)
=
s
k1 − p1
+
s
k2 − p2
+L+
s
kn − pn
系数
ki
=
(s
−
pi
)
⎛ ⎜ ⎝
s
k1 − p1
+
s
k2 − p2
+L+
s
kn − pn
⎞ ⎟ ⎠
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 e st 是一切LTI系统的特征函数。 则LTI系统对 e st 产生的响应是:
4
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 e st 是一切LTI系统的特征函数。 则LTI系统对 e st 产生的响应是:
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9. 3 拉普拉斯反变换
The Inverse Laplace Transform
∫ 一. 定义： 由 X (s) = ∞ x(t)e−st dt −∞ 若 s =σ + jω 在ROC内，则有:
∫ X (σ + jω) = ∞ x(t)e−σte− jωtdt = F[x(t)e−σt ] −∞
=
N (s) D(s)
=
M
∏(s − βi)
i
∏(s −αi)
i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称
为极点。
将 X(s) 的全部零点和极点表示在S平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 表示一个X(s) ，最多与真实的 X (s)相差一个常 数因子M 。
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9.2 拉氏变换的收敛域
第9章 拉普拉斯变换
本章基本内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图与傅里叶变换几何求值； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数与LTI系统的拉氏变换分析与表征； 6. 单边拉普拉斯变换。
1
9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成周期复指数信号的线性组合，而复 指数信号是一切 LTI 系统的特征函数。
−∞
−∞
= F[x(t)e−σt ]
所以 x(t)的拉氏变换就是 x(t)e−σ t的傅里叶变换。
只要有合适的 σ 存在，就可以使某些本来不满足 狄里赫利条件的信号在引入 e−σ t后满足该条件。
即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存
在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适
用性。
7
例1. x(t) = e−atu(t)
分式展开法。 部分分式展开法： 1. 将X(s)展开为部分分式。 2. 根据 X (s) 的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
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部分分式展开式法（当 X (s) 是有理函数）
X (s)
=
N (s) D(s)
=
(s
−
p1 )( s
e−2tu(t) ↔ 1 , Re[s] > −2 s+2
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二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t) = e−tu(t) + e−2tu(t)
∫ ∫ X (s) = ∞ e−te−stdt + ∞ e−2te−stdt
0
0
−1
Q
e−tu(t) ↔
1, s +1
Re[s] > −1
e−2tu(t) ↔ 1 , Re[s] > −2 −2 s+2
∫ ∴ x (t ) = 1 σ + j∞ X ( s )e st ds
2π j σ − j∞
X (s)的反变换 拉氏反变换表明:
x(t )可以被分解成复振幅为 1 X (s)ds
2π j
的复指数信号e st 的线性组wenku.baidu.com。
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二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X (s)求反变换一般采用部分
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5. 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于jω
轴的直线的左边。
若 x(t) 是左边信号，定义于 (−∞,T ] , σ0在
ROC 内，σ1 < σ 0，则
∫ ∫ T x(t)e−σ1t dt = T x(t)e−σ 0t e−(σ1−σ 0 )t dt
−∞
−∞
∫ ≤ e − (σ1 −σ 0 )T T x (t )e −σ 0t dt < ∞ −∞
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念。
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3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
<
∞
，仅与σ
相关。
−∞
2. 在ROC内无任何极点。
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3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
例1. x (t ) = { e − a t 0
0<t<T
其它 t
∫ ∫ X (s) = T e−ate−st dt = T e−(s+a)t dt = 1 [1− e−(s+a)T ]
0
0
s+a
形式上X (s)有极点 s = −a
则有 x(t)e−σ0t 绝对可积，即：
∫ ∞ x(t)e−σ0t dt < ∞ T
∫ 若σ1 > σ 0，则
∞ x (t )e −σ 1t d t
T
∫= ∞ x(t)e−σ0te−(σ1−σ0 )t dt T
∫ ≤ e−(σ1−σ0 )T ∞ x(t)e−σ0t dt < ∞ T
表明 σ1 也在收敛域内。
s= pi
= (s − pi ) X (s) s= pi
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例1. 求 X ( s ) =
1
的反变换。
( s + 1)( s + 2)
解： 将 X (s) 展开成部分分式得 X (s) = k1 + k2
s +1 s + 2
其中
k1
=
(s
+1) X
(s)
s = −1
=
s
1 +
2
s = −1
=1
k2
=
(s
+ 2) X (s)
s = −2
=
1 s +1
s = −2
=
−1
其可能的收敛域及所对应信号的属性：
jω
jω
jω
σ − 2 −1
σ − 2 −1
σ − 2 −1
右边信号
左边信号 双边信号 28
（1） X ( s ) = 1 − 1 s +1 s + 2
ROC : Re[s] > −1
1 , ROC : Re[s] > −1 ↔ e−tu(t) s +1
1 , ROC : Re[s] > −2 ↔ e−2tu(t) s+2
jω
( ) ∴ x(t) = e−t − e−2t u(t)
σ − 2 −1
右边信号
29
（2） X ( s ) = 1 − 1 s +1 s + 2
5. 如果拉氏变换的ROC包含 jω 轴，则有
X( jω) = X(s) s=jω
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二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t) = e−tu(t) + e−2tu(t)
∫ ∫ X (s) = ∞ e−te−stdt + ∞ e−2te−stdt
0
0
Q
e−tu(t) ↔
1, s +1
Re[s] > −1
y(t) = H (s)est 如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t)，则
∫ H (s) = ∞ h(t)e−st dt −∞
显然当 s = jω 时，就是连续时间傅里叶变换。
5
一.双边拉氏变换的定义：
∫ X (s) = ∞ x(t)e−st dt −∞
称为 x(t)的双边拉氏变换，其中 s =σ + jω 。
∫ 若 σ = 0 ，s = jω 则有: X ( jω ) = ∞ x(t)e− jωt dt −∞ 这就是 x(t)的傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 σ =0 或是在 jω 轴上的特例。
6
∫ ∫ 由于 X (s) = ∞ x(t)e−σte− jωtdt = ∞ [x(t)e−σt ]e− jωtdt
傅里叶变换是以复指数信号的特例 e jω t 和 e jωn
为基本分解信号的。对更一般的复指数信号 e st
和 zn ，也理应能对信号进行分解。
2
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，能 解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析 问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多 方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶 分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
Re[s] > 0
例2. x(t) = −e−atu(−t)
∫ ∫ X (s) = − 0 e−ate−stdt = − 0 e−(s+a)tdt = 1 Re[s] < −a
−∞
−∞
s+a
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
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由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。
∫ ∴ x(t)e−σt = 1 ∞ X (σ + jω )e jωtdω
2π −∞
∫ ∫ x(t) = 1 ∞ X(σ + jω)eσtejωtdω = 1 ∞ X(s)estdω
2π −∞
2π −∞
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由 s = σ + jω 得 ds = jdω
当 ω从 −∞ → +∞时, s 从 σ − j∞ →σ + j∞
jω σ
jω σ
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jω
∴
X (s)
=
1+ s +1
1 s+2
=
s2
2s + + 3s
3 +
2
,
σ
Re[s] > −1
−2 −1
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。ROC总是以平行于 jω 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 X(s)的分母的根相对应的。
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若
X(s)是有理函数
X
(s)
2. 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 的左边。
3. 双边信号的ROC可能是任意两相邻极点之 间的带形区域。
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例3.
X
(s)
=
s2
+
1 3s
+
2
= 1− 1 s+1 s+2
jω
σ
−2 −1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[s] > −1 此时x (t ) 是右边信号。 2) ROC：Re[s] < −2 此时x (t )是左边信号。 3) ROC：−2 < Re[s] < −1 此时x (t )是双边信号。
The Region of Convergence for Laplace Transforms
可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 jω 轴的带形区域。
拉氏变换为信号 x(t)e−σt的傅立叶变换。
x(t)e−σt 是否绝对可积，即是否满足
∫+∞ |
x(t) | e−σtdt
考查零点，令 e−(s+a)T =1
得 s = −a + j 2π k（k为整数）
T
显然 X (s)在 s = −a也有一阶零点，计算 X (−a) = T
因此整个S平面上无极点。
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4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 jω
轴的直线的右边。
若 x(t)是右边信号, T ≤ t < ∞, σ0在ROC内，
当 b >0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) = 1 − 1
−b < Re[s] < b
s+b s−b
当 b ≤ 0时，ROC 无公共部分，X (s)不存在。
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当 X (s) 是有理函数时，其ROC总是由 X(s) 的 极点所界定或延伸到无限远。ROC必然满足下 列规律： 1. 右边信号的ROC一定位于 X (s) 最右边极点 的右边。