信号与系统9.第九章精品PPT课件
合集下载
信号与系统 系统框图ppt课件
3.消除输入输出以外的中间变量。（注：尽可能地将中间变量用输出量表示）
Y(S ) H1 X1(S)G2G3=Y(S) 得 H1X1(S)= G2G3
4.令X(S)=1，按信息流向从左向右写出输出与输入之间的函数关系式。
10
H2Y(S)
_
1 + ×+ ×
G1
+
×
X1（s）
G2
G3
Y(S)
_+
H1X1（s）
通过设系统输入函数X(S)=1，求输出的单位脉冲响应的 拉普拉斯变换而确定系统函数的方法，称为脉冲响应法。
9
1 + ×+ ×
_+
H2Y(S)
_
H2
G1
+
×
X1（s）
G2
×
×
G3
Y(S)
×
H1
H1X1（s）
Y(S)
1.将反馈环节于信号引出点处切断，并且在引出点处用某变量标明。 2.将反馈环挪开，但在比较器(加法器)的输入端保留反馈信号，并且将各反馈信号 用引出点处信号与反馈通道传递函数之乘积表示。
d 2 y(t) 3 dy(t) 2 y(t) x(t)
dt 2
dt
4
（b）并联型
H(s)可重写成 H (s) 1 1 s 1 s 2
5
（c）级联型 将H(s)作部分分式展开可得：
H(s) 1 _ 1 s 1 s 2
6
二、根据程序框图写出系统函数
法1：Mason公式 *法2：利用单位脉冲法
7
Mason公式
Mason公式为
M
H (s)
Y (s)
Pk (s)k (s)
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
信号与系统 Chapter9 SS-L3
y(t)u(t)LT Y (s),
s2Y (s) s 3sY (s) 3 2Y (s) / s
Y (s) (s 3)
,
(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
Yzi (s)
Yzc (s)
zero-input response
zero-condition response
x(t)u(t) e2tu(t) LT X (s) X (s) 1 , Re{s}: (2, ) s2
x'(t)u(t) LT sX (s) x(0 ) s 1 s2 2
s 2 , Re{s}: (2, ) 2(s 2)
[x(t)u(t)]'LT sX (s) s , Re{s}: (2, ) s2
9 The Laplace Transform
9.9 The Unilateral LT
THE tool to analyze causal CT systems described by LCCDE’s with initial conditions
Definition: X (s) x(t)est dt 0
X 2 (s) X (s)
a
X (s) 1 s
aX (s)
1 X (s) s
9 The Laplace Transform
Example 9.28
H(s)
1
Y(s)
s 3 X (s)
We can describe the system as
d y(t) 3y(t) x(t) sY (s) 3Y (s) X (s) dt
(s 1) (s 2)
s
Y (s)
X (s)
1
E1(s) 1 Y2 (s) 1
s2Y (s) s 3sY (s) 3 2Y (s) / s
Y (s) (s 3)
,
(s 1)(s 2) s(s 1)(s 2)
Yzi (s)
Yzc (s)
zero-input response
zero-condition response
x(t)u(t) e2tu(t) LT X (s) X (s) 1 , Re{s}: (2, ) s2
x'(t)u(t) LT sX (s) x(0 ) s 1 s2 2
s 2 , Re{s}: (2, ) 2(s 2)
[x(t)u(t)]'LT sX (s) s , Re{s}: (2, ) s2
9 The Laplace Transform
9.9 The Unilateral LT
THE tool to analyze causal CT systems described by LCCDE’s with initial conditions
Definition: X (s) x(t)est dt 0
X 2 (s) X (s)
a
X (s) 1 s
aX (s)
1 X (s) s
9 The Laplace Transform
Example 9.28
H(s)
1
Y(s)
s 3 X (s)
We can describe the system as
d y(t) 3y(t) x(t) sY (s) 3Y (s) X (s) dt
(s 1) (s 2)
s
Y (s)
X (s)
1
E1(s) 1 Y2 (s) 1
信号与系统第9次课(卷积和)
若n个函数t构成一个函数集当这些函数在区间t内满足则称此函数集为在区间tt之外不存在任何函数t0满足则称此函数集为完备正交函数集
3.3 卷积和
• 一、卷积和 • 二、卷积和的图示 • 三、卷积和的性质
复习:卷积和的定义
• 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和
与(k) 卷积和:
x(n) x(n) x(n)
h 1 (n) h 2 (n)
x1 (n) x2 (n) h 1 (n) * h 2 (n)
h 2 (n) h 1 (n)
y(n) y(n) y(n)
• 三个LTI系统响应相同
例子
• 例：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：
x(n)
(1)
1
求和公式：S n
a0 an * q 1 q
再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得
y (k ) x(k )
i k
y (i ) x(k i ) 1 (3) ( k i ) (k i )
i
i
(3)
系统输出为
y(n) x(n) * (n) x(n)
恒等系统
本章小结
1、LTI离散系统的响应 2、单位序列和单位序列响应 3、卷积和
• • • •
作业 3.11 （1） 3.18 熟悉并掌握例题3.3-3；3.3-4
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章提要 信号分解为正交函数 傅里叶级数和傅里叶级数的形式 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 抽样定理 序列的傅里叶分析
3.3 卷积和
• 一、卷积和 • 二、卷积和的图示 • 三、卷积和的性质
复习:卷积和的定义
• 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和
与(k) 卷积和:
x(n) x(n) x(n)
h 1 (n) h 2 (n)
x1 (n) x2 (n) h 1 (n) * h 2 (n)
h 2 (n) h 1 (n)
y(n) y(n) y(n)
• 三个LTI系统响应相同
例子
• 例：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：
x(n)
(1)
1
求和公式：S n
a0 an * q 1 q
再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得
y (k ) x(k )
i k
y (i ) x(k i ) 1 (3) ( k i ) (k i )
i
i
(3)
系统输出为
y(n) x(n) * (n) x(n)
恒等系统
本章小结
1、LTI离散系统的响应 2、单位序列和单位序列响应 3、卷积和
• • • •
作业 3.11 （1） 3.18 熟悉并掌握例题3.3-3；3.3-4
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
本章提要 信号分解为正交函数 傅里叶级数和傅里叶级数的形式 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 抽样定理 序列的傅里叶分析
信号与系统(全套课件557P)
时不变的离散时间系统表示为
f [k ] y f [k ]
f [k n] y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
4．因果系统与非因果系统
•因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产 生系统输出响应的系统。 •非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因 果系统。
离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
系统的概念
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
系统分析的主要内容
建立与求解系统的数学模型 系统的描述
系统响应的求解
输入输出描述法：N阶微分方程 系统的描述
连续系统
系 统 分 析
y[k]=f1[k]+f2[k]
f[ k]
D
y[k]=f[k-1]
f [ k]
a
y[k]=af[k]
二、系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
•连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为连续时间信号 •离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为离散时间信号 •连续时间系统的数学模型是微分方程式。 •离散时间系统的数学模型是差分方程式。
f (t) 连续系统 y(t) f[ k] 离散系统 y[ k]
2．线性系统与非线性系统
• 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。
(1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
f [k ] y f [k ]
f [k n] y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
4．因果系统与非因果系统
•因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产 生系统输出响应的系统。 •非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因 果系统。
离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
系统的概念
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
系统分析的主要内容
建立与求解系统的数学模型 系统的描述
系统响应的求解
输入输出描述法：N阶微分方程 系统的描述
连续系统
系 统 分 析
y[k]=f1[k]+f2[k]
f[ k]
D
y[k]=f[k-1]
f [ k]
a
y[k]=af[k]
二、系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
•连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为连续时间信号 •离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为离散时间信号 •连续时间系统的数学模型是微分方程式。 •离散时间系统的数学模型是差分方程式。
f (t) 连续系统 y(t) f[ k] 离散系统 y[ k]
2．线性系统与非线性系统
• 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。
(1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
信号与系统-第9章拉普拉斯变换
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
6
例1. x(t) eatu(t)
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
22
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
1 X (s)ds
2 j
23
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
信号与系统PPT全套课件
T T
T
f (t ) dt
f (t ) dt
2
2
（1.1-1）
1 P lim T 2T
T
T
（ 1.1-2 ）
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < , 此时P = 0，则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。 若信号f ( t )的功率0 < P < , 此时E = ，则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号（power signal）。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念 什么是系统（ system ）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
2．连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号（ continuous signal）是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号（discrete signal）是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = －2, －1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Re[s] 包a括了 （即 轴 0 ）。 j
❖比较 X (s)和 X ( j)显然
有
X (s) s j X ( j )
❖当a 时0 ， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 , Re[s] a
X (s) etest dt e2test dt
0
0
etu(t) 1 , Re[s] 1
j
s 1
1
e2tu(t) 1 ,
Re[s] 2
j
s2
2
s 1 s 2 s 3s 2
X (s)
1
1
2
2s 3
, Re[s] 1
可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
ROC总是以平行于 轴j的直线作为边界的，ROC
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的 推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
e 复指数信号 是s一t 切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t，) 则系统对
es产t 生的响应是
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
由于
X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适
的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条
件的信号在引入 e后t满足该条件。即有些信号
的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和 信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j轴，则有。
X ( j) X (s) s j
二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3.
x(t) etu(t) e2tu(t)
当 s 时j，就是傅里叶变换(系统的频率响应)。
一. 定义：
X (s) x(t)estdt
称为 x(t的) 双边拉氏变换 。其中 s j
若 ，0 s 则j
X ( j) x(t)e jtdt 就是 x(的t) 傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 0
或是在 j轴上的特例。
轴的直线的右边。（说明如下）
若 x(是t)右边信号, 在R0OC内，
则有 x(t)e绝对0t 可积，即：
x(t)e0t dt T
若1 ，则0
x(t )e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
1（任取的一个在右0 边的值） 也在收敛域内
拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
例1. x(t) eatu(t)
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
Re[s] a 时收敛
❖当a 0时， x的(t傅) 里叶变换存在
X ( j) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 时0 ，使拉氏变换收敛的区域
M。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
§9.2 拉氏变换的收敛域 ROC of LAPLACE TRANSFORM
▪ 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j
面内平行于 轴j的 带形区域。
例1. x(t) eat 0
0<t<T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 eS平面。
X (s) 似乎有极点 s a
傅里叶变换是以复指数函数中的一个特例，即
e jt 和 e j为n 基底分解信号的。对于更一般的复指数函数 和 es，t 也理zn应能够以此为基底对信号进行分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换不 仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能 适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的 许多方面。
5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 j
轴的直线的左边。
若 是x(t左) 边信号, 定义于
内， 则1 0
,(在,TROC 0
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
1 也在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常有 用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都可 以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是 一切 LTI 系统的特征函数。
sa
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉 氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），拉氏变换的 ROC 是非常重要的 概念。
的边界总是与 的X分(s)母的根对应的。
若 X (s是) 有理函数
X (s) N (s) M
(s i)
i
D(s) (s i )
i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称
为极点。
将 X的(s全) 部零点和极点表示在 S 平面上，
就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表
示一个 X (s，) 最多与真实的 相X (差s)一个因子
❖比较 X (s)和 X ( j)显然
有
X (s) s j X ( j )
❖当a 时0 ， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 , Re[s] a
X (s) etest dt e2test dt
0
0
etu(t) 1 , Re[s] 1
j
s 1
1
e2tu(t) 1 ,
Re[s] 2
j
s2
2
s 1 s 2 s 3s 2
X (s)
1
1
2
2s 3
, Re[s] 1
可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
ROC总是以平行于 轴j的直线作为边界的，ROC
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的 推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
e 复指数信号 是s一t 切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t，) 则系统对
es产t 生的响应是
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
由于
X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适
的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条
件的信号在引入 e后t满足该条件。即有些信号
的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和 信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j轴，则有。
X ( j) X (s) s j
二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3.
x(t) etu(t) e2tu(t)
当 s 时j，就是傅里叶变换(系统的频率响应)。
一. 定义：
X (s) x(t)estdt
称为 x(t的) 双边拉氏变换 。其中 s j
若 ，0 s 则j
X ( j) x(t)e jtdt 就是 x(的t) 傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 0
或是在 j轴上的特例。
轴的直线的右边。（说明如下）
若 x(是t)右边信号, 在R0OC内，
则有 x(t)e绝对0t 可积，即：
x(t)e0t dt T
若1 ，则0
x(t )e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
1（任取的一个在右0 边的值） 也在收敛域内
拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
例1. x(t) eatu(t)
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
Re[s] a 时收敛
❖当a 0时， x的(t傅) 里叶变换存在
X ( j) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 时0 ，使拉氏变换收敛的区域
M。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
§9.2 拉氏变换的收敛域 ROC of LAPLACE TRANSFORM
▪ 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j
面内平行于 轴j的 带形区域。
例1. x(t) eat 0
0<t<T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 eS平面。
X (s) 似乎有极点 s a
傅里叶变换是以复指数函数中的一个特例，即
e jt 和 e j为n 基底分解信号的。对于更一般的复指数函数 和 es，t 也理zn应能够以此为基底对信号进行分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换不 仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能 适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的 许多方面。
5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 j
轴的直线的左边。
若 是x(t左) 边信号, 定义于
内， 则1 0
,(在,TROC 0
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
1 也在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常有 用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都可 以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是 一切 LTI 系统的特征函数。
sa
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉 氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），拉氏变换的 ROC 是非常重要的 概念。
的边界总是与 的X分(s)母的根对应的。
若 X (s是) 有理函数
X (s) N (s) M
(s i)
i
D(s) (s i )
i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称
为极点。
将 X的(s全) 部零点和极点表示在 S 平面上，
就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表
示一个 X (s，) 最多与真实的 相X (差s)一个因子