信号与系统(第二章)ppt课件
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统 第二章ppt剖析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
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(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
《信号与系统 》课件第2章
ε(at)=ε(t)
(2.1-21)
由单位阶跃函数的定义即可理解式(2.1-21)是成立的。因
a＞0，当t＞0时ε(at)＝1，当t＜0 时ε(at)＝0，当t＝0时
ε(at)＝1/2，这样所画出的ε(at)之图形正是ε(t)。
可以证明：若a为不等于零的实常数，则有
(2.1-22) 单位冲激函数定义的特殊性，决定了冲激函数相乘运算无 定义，即是说δ(t)×δ(t)无定义。
(2.1-13) 这样的猜想尽管欠严密，但可以理解。下面就此性质作如下 推导：考虑积分
式中，f(t)在t=0处连续。将上式中的－t换为τ，t换为－τ，dt 换为－dτ，使积分的上、下限亦随之作相应的变化，这样就 有
(2.1-14)
比较式(2.1-11)与式(2.1-14)，得 从而有
3. 单位冲激函数的导数 单位冲激函数的一阶导dδ(t)/dt常用δ′(t)表示，称它为单 位冲激偶，简称冲激偶，其定义为
式(2.1-10)表明，一个连续有界函数f(t)与位于t=0处单位冲激 函数δ(t)相乘，其乘积结果函数为位于t=0、强度为f(0)的冲激 函数。可这样理解式(2.1-10)：由于δ(t)在除t=0之外处处 为零，而f(t)处处有界，所以乘积为0；当t=0时f(t)的函数值为 f(0)，所以f(t)与δ(t)相乘得到式(2.1-10)所表述的结果。上述分 析过程可用图2.1-7作直观简明表示。
(2.1-17)
证明：先设a＞0。对式(2.1-17)左端积分，有
再设a＜0。对式(2.1-17)左端积分，有
(2.1-18)
(2.1-19)
对式(2.1-17)右端积分，有 (2.1-20)
比较式(2.1-18)、式(2.1-19)、式(2.1-20)，可知式(2.1-17)成立。
信号与系统 第二章ppt_part2
1
0 t 1
[1 e(t 1) ]
演示
[1 e(t 1) ]u(t 1) f1 (t ) f2 (t )
f1 (t )* f2 (t )
1
0
1
t
解法二：f 2 ( ) 不变，反褶 f1 ( ), f 2 ( ) f1 ( )
1 1 1
f1 (t ) f2 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f
( 1) 2
t e d u ( ) e t u (t ) (1 e t )u (t ) (t ) e u ( )d 0
t
f1(t)*f2(t)=(1-e-t) u(t)- [(1-e-(t-2)] u(t-2)
n
即
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
n
当 t 0 时，t d , kt ,
t 0
t 0
lim
t k 0 0
s(t )
1 e
T
(t T )
e ]u(t T )
t
t
(t T )
]u(t T )
1
0
t
T
演示
例2-13 已知信号x(t)与h(t)如下图所示，求 h(t) x(t) 1 1
y(t ) x(t ) h(t )
-1/2 0 解：
1
t
0
2
t
y (t ) x( )h(t )d
h(t )
1
0 t 1
[1 e(t 1) ]
演示
[1 e(t 1) ]u(t 1) f1 (t ) f2 (t )
f1 (t )* f2 (t )
1
0
1
t
解法二：f 2 ( ) 不变，反褶 f1 ( ), f 2 ( ) f1 ( )
1 1 1
f1 (t ) f2 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f
( 1) 2
t e d u ( ) e t u (t ) (1 e t )u (t ) (t ) e u ( )d 0
t
f1(t)*f2(t)=(1-e-t) u(t)- [(1-e-(t-2)] u(t-2)
n
即
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
y zs (t ) lim x(kt )h(t kt )t
t 0 k 0
n
当 t 0 时，t d , kt ,
t 0
t 0
lim
t k 0 0
s(t )
1 e
T
(t T )
e ]u(t T )
t
t
(t T )
]u(t T )
1
0
t
T
演示
例2-13 已知信号x(t)与h(t)如下图所示，求 h(t) x(t) 1 1
y(t ) x(t ) h(t )
-1/2 0 解：
1
t
0
2
t
y (t ) x( )h(t )d
h(t )
1
信号与系统课件 L02_CH2 更多课件可进我文库查看
:初始相位
周期信号
t
0
0
T0
2π
0
A
4
2.1 连续时间信号的时域描述
——典型普通信号
3. 指数类信号 — 实指数信号
f (t ) Aet
f (t ) Ae
t
0
0
A
0
t
5
2.1 连续时间信号的时域描述
——典型普通信号
3. 指数类信号 — 虚指数信号
周期性：
f (t ) ' (t t0 )dt f ' (t0 )
(取样特性) (展缩特性)
' (t )
1
' (t )
( 0)
' (t ) ' (t )
' (t )dt 0
29
d (t ) ' (t ) dt
(t ) ' ( )d
t
du(t ) (t ) dt dr (t ) u(t ) dt
u (t ) ( )d
t
r (t ) u ( )d
30
t
f (t ) e
j0t
f (t ) f (t T ) e j0t e j0 (t T )
0T 2πm, m 1, 2
虚指数信号的基本周期：
Euler公式： 1 j t cos( t ) (e e jt ) 2
T 2π
0
1 jt sin(t ) (e e jt ) 2j
1 t 0 u(t ) ( )d 0 t 0
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
信号与系统-吴大正PPT课件
■ 第 17 页
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
▲
■
第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
■
第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
▲
■
第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
▲
■
第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
信号与系统第二章课件
(t 0)
18
连续系统的时域求解（例）
例.（2.4-1）系统 r (t ) r (t ) r (t ) e(t ) e(t ) 解： 2 1 0 1,2 0.5 j 0.5 3 求h (t)和g (t)。
1
在所选专用树的单树支割集、单连支回路方程中列方程
消去其它变量，得 i(t) 的微分方程
3 2 L C uc (t ) 1 H F 1 4
i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t )
2nd.确定初始值/定解条件
i (0 ), i(0 )
[前例]
m n ( i ) ( j) ai rzs (t ) b j e (t ) j0 i 0 (k ) rzs (0 ) 0
求全响应：
13
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
§2.5 系统的零状态响应 2.
n (i ) r(t )求解：先求零输入响应 a r i zi (t ) 0 即解零输入方程（即齐次方程）i 0 (k ) (k ) r ( t ) r ( t ) r ( 0 ) r 经典法得解为： zi h zi (0 ) zi
8
1st. i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t ) nd i ( 0 ) 14 5 ( A ) i ( 0 ) 2( A) 2 .求出初始条件 3rd.解： 2 7 10 0 1 2, 2 5
[求取h(t) ]
1. 作为一种特殊的零状态响应（经典法） 例1：系统 r(t ) 4r(t ) 3r (t ) e(t ) 2e(t ) 求 h(t ) 解： 即解 h(t ) 4h(t ) 3h(t ) (t ) 2 (t ) h ( 0 ) h ( 0 ) 0(无初始储能 )
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第2章 线性时不变系统
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号 用 ( t ) 表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
n 时刻的 y ( n )
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n)
（1）换元：n换为k→得x(k)，h(k)
（2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k)
（3）乘积：x(k) h(n –k)
（4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
注意：n 为参变量
.
13
.
14
例2：
为 的n 特点。
x (0 ) x (1 ) x (2 ) x (3 )
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1
1021
y (1)
h(0) 2
2042
h (1 ) 0 y (0 ) 0 0 0 0
h ( 2 ) 3 y (1) 3 0 6 3
h (3) 1 y (2 ) 1 0 2 1
y (3). y (4 ) y (5) y (6 )
k
h[n ]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[nk]
LTI
x[k]h[n k]
k
.
7
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
yf(k)[i k0aibki]u(k)bk[i k0(b a)i]u(k) bk11(b a (b a)k)1u(k),ab
.
bk(k1)u(k),a1b0
例：求 u(k)*u(k)
u(k)*u(k)u(i)*u(ki) i
k
u(k)1(k1)u(k) i0
例：求 aku(k)u(k4)
22
2. 结合律:
.
23
结论：
• 两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系 统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响 应的卷积
aku(k)u(k4 ) aiu(k)u(k4i) i
k 4
u (k 4 ) a i (1 a a 2 ... a k 4 )u (k 4 ) i 0
ak4 1u(k 4)
a 1
.
11
例： x(n)nu(n) 01 h(n)u(n)
x(k)ku(k)
1
h(nk)u(nk)
1
k ...
解：
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
.
15
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞
对乘积项求和
.
16
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
.
17
例3：
.
18
① n 0 时，
② 0n4 时，
③ 4n6 时，
④ 6n10时，
⑤ n 10 时，
.
19
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x ( n ) 与 h ( n ) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x ( k )与 h(n k )的宗量之和
k
0
0
n
y(n) x(n)h(n)
x(k)h(nk) ku(k)u(nk)
k
k
n k 1n1 u(n)
k0
1
.
12
图解法
将一个信号 x ( k ) 不动，另一个信号经反转后为 h ( k ) ,
再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况下，将 x ( k ) 与
h(n k )对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) aixi(t)
i
则 y(t) aiyi(t)
i
分析方法：
xi(t)yi(t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
20
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论：
一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n]
的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
.
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
.
9
解析法
例： f (k)aku(k) h(k)bku(k) 求 y f ( k )
yf(k)f(k)*h(k)f(i)h(ki) i aiu(i)bkiu(ki) i
当 i 0 ,u ( i) 0 ;当 i k ,u ( k i) 0
于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n ]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][nk]
可加性
x[k][n k]
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号 用 ( t ) 表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
n 时刻的 y ( n )
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n)
（1）换元：n换为k→得x(k)，h(k)
（2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k)
（3）乘积：x(k) h(n –k)
（4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
注意：n 为参变量
.
13
.
14
例2：
为 的n 特点。
x (0 ) x (1 ) x (2 ) x (3 )
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1
1021
y (1)
h(0) 2
2042
h (1 ) 0 y (0 ) 0 0 0 0
h ( 2 ) 3 y (1) 3 0 6 3
h (3) 1 y (2 ) 1 0 2 1
y (3). y (4 ) y (5) y (6 )
k
h[n ]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[nk]
LTI
x[k]h[n k]
k
.
7
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
yf(k)[i k0aibki]u(k)bk[i k0(b a)i]u(k) bk11(b a (b a)k)1u(k),ab
.
bk(k1)u(k),a1b0
例：求 u(k)*u(k)
u(k)*u(k)u(i)*u(ki) i
k
u(k)1(k1)u(k) i0
例：求 aku(k)u(k4)
22
2. 结合律:
.
23
结论：
• 两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系 统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响 应的卷积
aku(k)u(k4 ) aiu(k)u(k4i) i
k 4
u (k 4 ) a i (1 a a 2 ... a k 4 )u (k 4 ) i 0
ak4 1u(k 4)
a 1
.
11
例： x(n)nu(n) 01 h(n)u(n)
x(k)ku(k)
1
h(nk)u(nk)
1
k ...
解：
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
.
15
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞
对乘积项求和
.
16
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
.
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例3：
.
18
① n 0 时，
② 0n4 时，
③ 4n6 时，
④ 6n10时，
⑤ n 10 时，
.
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列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x ( n ) 与 h ( n ) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x ( k )与 h(n k )的宗量之和
k
0
0
n
y(n) x(n)h(n)
x(k)h(nk) ku(k)u(nk)
k
k
n k 1n1 u(n)
k0
1
.
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图解法
将一个信号 x ( k ) 不动，另一个信号经反转后为 h ( k ) ,
再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况下，将 x ( k ) 与
h(n k )对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) aixi(t)
i
则 y(t) aiyi(t)
i
分析方法：
xi(t)yi(t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
20
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论：
一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n]
的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
.
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
.
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解析法
例： f (k)aku(k) h(k)bku(k) 求 y f ( k )
yf(k)f(k)*h(k)f(i)h(ki) i aiu(i)bkiu(ki) i
当 i 0 ,u ( i) 0 ;当 i k ,u ( k i) 0
于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n ]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][nk]
可加性
x[k][n k]
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应