分数巧算之裂项法
分数裂项[001]
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分数裂项什么是分数裂项在数学中，分数裂项是指将一个分数拆分成两个或多个分数之和的技巧。
通常，我们会遇到一些复杂的分数，例如2/3、3/4等等。
利用分数裂项的方法，我们可以将复杂的分数拆分成更简单的分数，从而更方便地进行计算和运算。
如何进行分数裂项以下是分数裂项的一些常见方法：方法1：利用分子分母进行分数裂项当一个分数的分子和分母都是整数时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数2/3，我们可以将其拆分成1/3 + 1/3。
这样，我们就将原本较大的分母3拆分成了两个分母都为3的分数，从而简化了计算。
同样地，对于分数3/4，我们可以将其拆分成1/4 + 1/4 + 1/4，将分母4拆分成了三个分母都为4的分数。
方法2：利用分数的倒数进行分数裂项当一个分数的倒数是一个整数时，我们可以通过将分数的倒数进行分数裂项，进而拆分原分数。
例如，对于分数4/9，其倒数是9/4，而9/4可以拆分成2 + 1/4。
因此，我们可以将分数4/9拆分为2 + 1/4。
同样地，对于分数7/8，其倒数是8/7，而8/7可以拆分成1 + 1/7。
因此，我们可以将分数7/8拆分为1 + 1/7。
方法3：利用倍数进行分数裂项当一个分数的分子比分母大1倍时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数5/4，我们可以将其拆分成1 + 1/4。
在这种情况下，我们可以看到，分子5刚好比分母4多1倍，因此，我们可以将分数5/4拆分为1 + 1/4。
同样地，对于分数11/10，我们可以将其拆分成1 + 1/10。
在这种情况下，分子11比分母10多1倍，因此，我们可以将分数11/10拆分为1 + 1/10。
分数裂项的应用分数裂项在数学中的应用非常广泛。
它可以简化复杂的分数计算，使得计算更加简单和直观。
在代数运算中，分数裂项可以用于分数的加减运算、乘除运算以及方程的求解等。
例如，在分数的加减运算中，我们可以利用分数裂项将加法或减法运算转化为分数的加法或减法运算，从而简化求解过程。
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
分数裂项法则
分数裂项法则分数裂项法则是数学中的一种运算法则，用于将一个分数拆分成若干个分数之和。
这个法则在分数的运算中起到了重要的作用，可以简化运算过程，方便计算。
下面我们来详细介绍一下分数裂项法则的原理和应用。
一、分数裂项法则的原理分数裂项法则是基于分数的加法和分数的乘法运算的基本性质推导出来的。
它的基本思想是将一个分数拆分成若干个部分，然后分别进行运算，最后再将结果相加。
具体来说，分数裂项法则可以分为以下几个步骤：1. 将分数的分子进行裂项，即将一个分数的分子拆分成两个部分。
2. 将分数的分母进行裂项，即将一个分数的分母拆分成两个部分。
3. 将裂项后的分子和分母进行分别相乘，得到两个新的分数。
4. 将两个新的分数相加，得到最终的结果。
分数裂项法则可以应用于各种分数的运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们以加法和乘法为例进行说明。
1. 加法运算：假设有一个分数 a/b，我们可以将其裂项为 (a+c)/b + (a-c)/b，其中 c 是一个任意的数。
然后将两个新的分数相加，得到结果为 2a/b。
这个过程中，我们通过裂项将一个分数拆分成了两个部分，然后再将两个部分相加，得到了原分数的两倍。
2. 乘法运算：假设有两个分数a/b 和c/d，我们可以将其裂项为(a+c)/(b+d)。
然后将新的分数相乘，得到结果为ac/(bd)。
这个过程中，我们通过裂项将两个分数的分子和分母分别相加，然后再将两个新的分数相乘，得到了原分数的乘积。
三、分数裂项法则的优点分数裂项法则的优点在于它可以简化分数的运算过程，使得计算更加方便快捷。
通过裂项，我们可以将一个复杂的分数拆分成若干个简单的分数之和或乘积，从而减少运算的复杂性。
同时，裂项还可以使得运算过程更加灵活，可以根据具体情况选择不同的裂项方式，以便于得到所需的结果。
四、分数裂项法则的应用举例下面我们通过几个具体的例子来展示分数裂项法则的应用。
1. 例题一：计算分数 3/4 + 5/6。
(word完整版)六年级分数巧算裂项拆分(2021年整理)
(word完整版)六年级分数巧算裂项拆分(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)六年级分数巧算裂项拆分(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析:因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数) 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。
111111()()......()101111125960111060112=-+-++-=-= （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和:分析：1()n n k +型。
（n ，k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111*********()()()()()25727929112111321315=-+-+-+-+- 11111111111[()()()()()]2577991111131315=-+-+-+-+- 111[]2515115=-= （三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和:分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 1111111(1)()()......()33557979911999899=-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和: 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++(n ，k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和: 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n ，k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例6】 计算:333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111()()......()1232342343451718191819201112318192011396840=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯= 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。
分数裂项巧算方法
分数裂项巧算方法宝子们，今天咱们来唠唠分数裂项这个超有趣的巧算方法哦。
分数裂项呢，就像是把一个大的分数拆成几个小分数的组合，就像把一个大蛋糕切成好几块小蛋糕一样。
常见的有裂和与裂差两种类型。
先说说裂差吧。
比如说像这样的式子：(1)/(n(n + 1))，它就可以裂成(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
你看，是不是很神奇呢？那如果是(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+(1)/(4×5)这样的式子，我们就可以把每一项都按照这个方法裂项。
变成((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+((1)/(4)-(1)/(5))。
然后你会发现中间的那些分数就像玩消消乐一样，都消掉啦，最后就只剩下(1)/(2)-(1)/(5)=(3)/(10)，是不是超级简单呢？再来说说裂和。
有一些式子像(n + 1)/(n(n + 1))，这个就可以裂成(1)/(n)+(1)/(n + 1)。
比如说计算(2)/(1×2)+(3)/(2×3)+(4)/(3×4)，把每一项按照裂和来处理，就变成(1+(1)/(2))+((1)/(2)+(1)/(3))+((1)/(3)+(1)/(4))。
这里呢，就可以把相同分母的分数加起来，最后得到1 + (3)/(2)+(1)/(4)=(9)/(4)。
宝子们，在做分数裂项的时候呀，一定要先看清楚式子的类型，是裂差还是裂和。
还有哦，裂项之后要仔细检查一下有没有漏项或者符号弄错的情况。
只要掌握了这个小技巧，好多看起来很复杂的分数计算就变得轻松愉快啦。
就像找到了一把小钥匙，打开了分数计算的趣味大门呢。
所以呀，大家要多多练习这种分数裂项的方法哦，这样在数学的小世界里就能玩得更转啦。
分数裂项讲解
分数裂项讲解
分数裂项，指的是将一个分式中的分子或分母拆分成两个或多个部分，然后再将分式进行简化的方法。
这种方法在解决某些数学题目时非常有用，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
下面以一个数学题目为例来讲解分数裂项的具体步骤。
题目：将$\frac{x+2}{x^2-x-6}$拆分成两个部分。
解法：
1. 首先，我们可以将$x^2-x-6$分解成$(x-3)(x+2)$，于是原式变成$\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}$。
2. 我们可以发现，分母部分中有一个$x+2$与分子部分相同，于是可以将原式拆分成$\frac{x+2}{x+2}×\frac{1}{x-3}$。
3. 化简得到：$\frac{1}{x-3}$。
通过分数裂项，我们成功将原式拆分成了两个部分，并进行了简化。
这种方法在许多数学题目中都是非常实用的。
分数裂项还有一些其他的应用，例如在部分分式分解中。
在部分分式分解中，我们需要把一个分式写成多个分数之和的形式，这时候分数裂项也非常有用。
通常的做法是，将分母拆分成多个部分，然后将每个部分拆分成简单的分式。
这样，就可以将原式分解成多个简单的分式相加，从而更容易进行计算。
总之，分数裂项是一种非常实用的方法，在解决数学题目时非常有用。
我们通过将分式进行拆分和简化，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
因此，在数学学习中，我们需要充分掌握分数裂项的技巧，灵活运用在解决各种问题中。
分数计算技巧之裂项法
分数计算技巧之裂项法裂项法是一种常用的分数计算技巧，可以帮助我们快速而准确地计算复杂的分数。
当分数的分子或者分母都是多项式时，我们可以使用裂项法将分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。
裂项法的核心思想是分解多项式，通过对多项式进行因式分解，将分数分解为多个部分，每个部分都是简单的分数。
这样一来，我们就可以分别计算每个简单分数，最后再将它们合并在一起得到最终的结果。
下面以一个具体的例子来说明裂项法的具体步骤和运用。
假设我们需要计算以下分数的值：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} \]首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，将它们分解为最简单的形式。
在这个例子中，我们可以将分子分解为(3x-1)(x+1)，将分母分解为(x+1)(x+2)(x+1)。
现在，我们可以将原始的分数分解为三个简单的分数：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} \]其中，A、B、C是待定系数，我们需要通过运算求得它们的值。
将等式两边通分，得到：\[3x^2+2x-1=A(x+2)(x+1)+B(x+1)(x+1)+C(x+1)(x+2)\]将上式两边进行展开，我们可以得到一个带有未知系数A、B和C的多项式。
然后，我们可以通过对多项式比较同类项的系数，来求得A、B 和C的值。
比较x的平方项的系数，我们可以得到：\[3=A+B+C\]比较x的一次项的系数，我们可以得到：\[2=A+2B+C\]比较常数项的系数\[-1=2A+B+2C\]现在，我们得到了一个三元一次方程组，我们可以通过求解这个方程组来得到A、B和C的值。
解方程组后，我们假设得到A的值为1，B的值为1，C的值为1、将这些值带回到原始的分数中，我们可以得到最终的结果：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} \]通过裂项法，我们成功地将原始的分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。
分数裂项法解分数计算
分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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【举一反三】 计算：
3 3 3 3 3 (1) 6 12 20 30 42
7 7 7 7 7 (2) 42 56 72 90 110
1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 5 49 50 1 1 2 50 24 12 50 25
【举一反三】 计算：
1 1 1 通过拆分，我们将例2转化成了 n(n 1) n n 1
的形式，因此
1 1 1 1 1 原式 5 ( ) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 6 25 6
【举一反三】计算：
8 8 8 8 8 (1) 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
3 (
1 1 1 1 1 ) 20 30 42 56 72
分母写成两个 相邻的数的乘积
1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 1 3 ( ) 4 9 5 5 3 36 12
1 1 1 将每一个分数分裂成两分数的差，即 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。
1 1 1 1 ...... 6 12 20 2450
( 2)
2 2 2 2 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
例3、计算 1 1 1 1 ...... 6 12 20 2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
(1) 1 1 1 1 1 ...... 2 6 12 20 90
( 2)
1 1 1 1 1 20 30 42 56 72
例3、计算
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前
面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的 题目简单化。
例1.计算：
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
分析与解：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母
是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以
3 1 3 1 3 1 3 ; 3 ; 3 ....... 20 20 30 30 42 42
将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 20 30 42 56 72
例2、计算
5 5 5 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
分子不是1，而是5。
我们可以这样想：
5 1 5 1 5 1 5 ; 5 ; 5 ; 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 5 1 5 1 5 ; 5 45 4 5 5 6 5 6
ห้องสมุดไป่ตู้
【举一反三】 计算：
1 1 1 1 1 (1) ...... 1 2 2 3 3 4 18 19 19 20
( 2)
1 1 1 1 1 ...... 11 12 12 13 13 14 2008 2009 2009 2010
这道题目与例1相 比有什么不同？
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... 2 2 3 3 4 4 48 49 49 50
1 1 50
49 50
（去掉括号）
（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）
小结：
通过以上的介绍可以看到在分数计 算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。
第二讲
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象：
如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写
成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的
两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
如：
1 1 1 1 1 1 ; ; 1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 ; ;...... 3 4 3 4 4 5 4 5