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第二章设施选址

10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图2.13所示。为了能确保任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?

图2.13 村落座落情况和相对距离

要点：1.明确N，M，A(j)，B(i)含义；

2.A(j)分析正确后，B(i)可参照A(j)直接写出，无需再看网络图；

3.熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。

解：【集合覆盖模型】

区域中需求点集合N={1,2,3,4,5,6,7}；

ATM取款机设施候选点集合M={1,2,3,4,5,6,7}；

由网络图确定候选设施点j可覆盖的需求点集合A(j)和可覆盖需求点i的设施节点的集合B(i)，见表2.10.1。

2,3,4,6,7归村落4服务。

此时N={1,5}，M={1,2,3,5,6,7}；则更新候选点服务范围，见表2.10.2。

2.10.2 更新后的候选点服务范围

综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为1,5村落服务，4号为2,3,4,6,7村落服务。

11. —个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在经过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7 ，2)，(11，11)，(14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。1）请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。

要点：1. 补充交叉中值模型知识点

关键句：将n 点需求的选址问题转化为∑w i n i=1点需求的选址问题。 2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离；

3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C 编程/matlab 编程迭代+迭代终止条件

解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y ),给题目已知的5个点编号1~5。 由于笛卡尔距离d i =|x -x i |+|y -y i |。

则目标函数为时总运输距离H 最短。 555

∑w i =12为偶数，即x,y 均在第六个、第七个点之间。

可得x =7，y ∈[7,11]。H =81。

（2）设初始点为（x 0，y 0）有题意得，阿基米德距离为

d i (0)=√(x 0−x i )2+(y 0−y i )2,

目标函数H(运输总费用)=∑w i 5i=1d i ,

利用不动点算法，取一个初始的迭代点（x 0(0),y 0(0)）=(8,7),此时H 0=62.51

令x 0(1)=∑w i x i d i 5i=1∑x i d i 5i=1,y 0(1)=

∑w i y i d i 5i=1∑y i d i 5i=1,d i (1)=√(x 0(1)−x i )2+(y 0(1)−y i )2 H 1=∑w i 5i=1d i (1)=62.14

由EXCEL 迭代得，结果如图

费用结果保留四位小数得最优解为

x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020

（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是＜直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。

12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地区以供选择。A地的年固定成本为800000元，可变成本为14000元/台；B地的年固定成本为920000元，可变成本为13000元/台。产品最后售价为17000元/台。

（1）当产量为多少时，两地的总成本相等？

（2）当产量处于什么范围时，A地优于B地？当产量处于什么范围时，B地优于A地？

解：答：设x为之制造商的年产量

A地，总成本C(A)=800000+14000x

B地，总成本C(B)=920000+13000x

1)若两地成本相等，则C(A)=C(B)

解得：x=120

2）若A地优于B地，则C(A)

同理，当x>120时，B地优于A地。

13．利用表2.8所示的因素评分，以最大综合得分为基础，建模分析应选择地点A、B、C中的哪一个?

表2.8 因素评分表

解：权重矩阵设为W ，则W T =[0,15 0.20 0.18 0.27 0.10 0.10]

三个位置的因素评分作为3行构成因素矩阵S 。

S =[80 72 88 94 98 9670 76 90 86 90 8560 92 90 80 82 75

]

可得综合加权矩阵E=S*W=[87.02

82.6280.90

]。

可知E(A)> E(B)> E(C)。即选择A 点。

14.一个玩具制造商在全国的五个地区生产玩具，原材料将从一个新的中心仓库运出，而此仓库的地点还有待确定。运至各地的原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地的坐标位置如表2.9所示。请确定中心仓库的坐标位置。

表2.9 各地的坐标位置

解：设仓库的坐标为（x 0，y 0)，五个生产地为(x i ,y i ),仓库到各生产地的距离为d i ,因运至各地的原材料数量相同，故可设w i =1(i =1,2,…5）; 初始解：n n ()

()j j j j x x ,y y n n ====∑∑000011

11，即x 0(0)=5，y 0(0)=4。 直线距离为