高中数学人教版必修4全套教案

1.1．1 角的概念的推广-任意角 教学目标

知识与技能目标

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． 情感与态度目标

提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

二、新课：

1．角的有关概念： ①角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：

③角的分类：

④注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边

顶点

A O

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍；

⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．

例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：

③象限角；

④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：

①阅读教材P2-P5； ②教材P5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题

思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α

各是第几象限角？

正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

解：α 角属于第三象限，

∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)

因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)

故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．

又k ·180°+90°＜2α

＜k ·180°+135°(k ∈Z) ．

当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α

＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α

属于第二象限角

当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α

＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α

属于第四象限角 因此2α

属于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制（一） 教学目标

知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． 过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点

“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?

规定把周角的3601

作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

二、新课： 1．引 入：

由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：

（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为;

ππ=r

r

②整圆所对的圆心角为.

22ππ=r r

③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．

⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

π2360=︒； π=︒180；

rad

01745.0180

1≈=

︒π

；

rad n n 180π=

︒．

②将弧度化为角度：

2

360；180；

180

1()

57.305718

rad

；

180(

)

n

n ．

5．常规写法：

① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．

7．弧长公式

l l

r

r

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．