2019年河南省中考数学二模试卷(解析版)

2019年河南省天一大联考中考数学二模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a＞0B．b＜0C．b＜c D．|a|＞|c|

2．（3分）2018年11月19日，我国成功发射了第四十二、四十三颗北斗导航卫星，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为用户提供定位、导航、授时服务，定位精度10米，测速精度0.2米/秒，授时精度0.00000001秒，数据0.00000001用科学记数法表示为（）

A．0.1×10﹣7B．1×10﹣8C．1×10﹣9D．10x10﹣9

3．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体切去一部分得到的，其主视图是（）

A．B．C．D．

4．（3分）某校机器人社团所有学生年龄的分布情况如图所示，下列说法正确的是（）

A．中位数为14，众数为15B．中位数、众数均为14

C．中位数、众数均为15D．以上均不对

5．（3分）不等式组的非负整数解的个数为（）

A．5B．4C．3D．无数

6．（3分）现有四张分别标有数﹣3，﹣1，2，6的卡片，它们除数字外其他完全相同．把卡

片背面朝上洗匀，从中随机抽出两张卡片，将两张卡片所标数字分别记为a，b．则点（a，b）在函数y＝的图象上的概率P为（）

A．B．C．D．

7．（3分）某校计划组织七年级学生开展一次研学旅行活动，活动需将学生分成若干组，每组一名指导教师，若每13名学生一组，则有10名学生无指导教师；若每14名学生一组，则有一位指导教师只分到了4名学生．设指导教师x名，七年级学生y名，根据题意，可列方程组为（）

A．B．

C．D．

8．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*（2x﹣1）＝3的根的情况是（）

A．没有实数根B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

9．（3分）如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，连接AC，BC点P从点B 出发，沿折线B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△P AB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则线段AC的长为（）

A．1cm B．cm C．cm D．2cm

10．（3分）如图，等边三角形OAD的顶点A（2，0），延长OD至点C，使CD＝AD，以AD，CD为邻边作菱形ABCD；延长CB交x轴于点A1，延长DC至点C1，使CC1＝CA1，以A1C，CC1为邻边作菱形A1B1C1C；以此类推，依次得到菱形A2B2C2C1，菱形A3B3C3C2…

菱形A n B n?n C n﹣1．则菱形A n B n?n C n﹣1的面积为（）

A．22n﹣1×B．22n×C．22n+1×D．22n+2×

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：（）﹣1﹣＝．

12．（3分）如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板按如图所示放置，若∠1＝78°，则∠2＝．

13．（3分）已知一次函数y＝k1x+2的图象经过点A（m，3），B（m+2，﹣1），反比例函数y＝的图象位于一、三象限，则k1k2．（填＞，＜或＝）

14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠B＝120°，将平行四边形ABCD 绕点A逆时针旋转至平行四边形AB′C′D′的位置，边AB′恰好经过边CD的中点E，点C，D的运动路径分别为C→C′，D→D′，则图中阴影部分的面积为．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝6，点E，F分别是边CD，AB上的动点，∠AFE为钝角．将四边形AFED沿EF折叠，当点A，D的对应点A′，D′与点C在同一条直线上，且点D′为A'C的三等分点时，AF的长为．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：（x﹣2﹣），其中x ＝．

17．（9分）为解决义务教育阶段小学生下午放学早而引发的种种问题，全国各地不断尝试推行课后延时服务工作.2019年1月26日，记者在郑州市教育工作会议中获悉，郑州将正式启动实施小学课后延时服务，为了解某校学生家长对课后延时服务的关注情况，某数学兴趣小组调查了部分家长，对调查结果制作了如下不完整的统计图表：

关注情况调查结果统计表：

关注情况（单选）频数频率

A、高度关注

m0.2

B、一般关注240.4

C、不关注18n

D、不知道60.1

请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）此次接受调查的家长共

人

（2）表中m＝，n＝；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该校共有1500名学生家长，请估计对课后延时服务高度关注的人数．

18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F．

（1）求证：∠DBF＝2∠CAD；

（2）连接OC，CD．填空：

①当∠CAB＝°时，四边形COBD为菱形；

②当∠CAB＝°时，四边形DOBF为正方形．

19．（9分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B，其中点A的横坐标为3，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．

（1）求正比例函数的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在x轴上有一点P，若S△POA＝S△ABC，求点P的坐标．

20．（9分）台灯是人们学习工作中常用的一种电器，图2是放置在水平桌面上的台灯（图1）的平面示意图（底座高度忽略不计）已知灯臂BC＝42cm，BA＝39cm，它们的夹角∠ABC ＝90°，灯臂BC与水平桌面的夹角∠BCD＝72°，由光源A射出的光线沿灯罩形成的光线AE，AF与水平桌面所形成的夹角∠AEF，∠AFE分别为72°和45°，求该台灯照亮桌面EF的长度．（结果精确到0.1cm参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

21．（10分）近年来，共享汽车的出现给人们的出行带来了便利一辆A型共享汽车的先期成本为8万元，如图是其运营收入w1（元）与运营支出w2（元）关于运营时间x（月）的

函数图象．一辆B型共享汽车的盈利y B（元）关于运营时间x（月）的函数解析式为y B ＝2750x﹣95000（一辆共享汽车的盈利＝运营收入一运营支出一先期成本）

（1）根据以上信息填空：w1与x的函数关系式为

当0≤x≤10时，w2与x的函数关系式为；

当x＞10时，w1与x的函数关系式为；

（2）考虑安全因素，共享汽车运营a月（60≤a≤120）后，就不能再运营．某运营公司有A型，B型两种共享汽车，请分析一辆A型和一辆B型汽车哪个盈利高；

（3）该运营公司计划新投放A型，B型共享汽车共15辆，若要实现这15辆汽车5年盈利不低于110万的目标，至少要投放多少辆A型汽车？

22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边AC，AB 上，∠DEA＝90°，连接BD，点F是BD的中点，连接CF，EF．

（1）观察猜想，

图1中，线段CF与EF的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明

把△DEA绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（提示：先延长EF至点G，使FG＝EF，再连接BG，CE，CG）

（3）拓展延伸

把△DEA绕点A在平面内自由旋转，若AC＝，AD＝2，请直接写出当点B，D，E 在一条直线上时CE的长．

23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y ＝x﹣5经过点B，C

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC

①当△PBC的面积最大时，y轴上是否存在点M，使四边形PMAB的周长最小？若存在，

请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

②连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．

2019年河南省天一大联考中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．【分析】根据数轴确定a的范围以及b、c的值，根据绝对值的性质，有理数的运算法则计算，判断即可．

【解答】解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，b＝1，c＝3，

∴a＜0，A错误；

b＞0，B错误；

b＜c，C正确；

|a|＜|c|，D错误；

故选：C．

2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00000001＝1×10﹣8．

故选：B．

3．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意看不到的棱需要画成虚线．【解答】解：该几何体的主视图是正方形，内部含一条线段：

故选：D．

4．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可．

【解答】解：根据统计图可知，机器人社团共有学生6+9+12+5＝32（人），

因此中位数为第16，17个的平均数，落在15岁，中位数为15，

15岁共有12人，人数最多，所以众数为15，

故选：C．

5．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定不等式组的解集，进而求出非负整数解个数即可．

【解答】解：

由①得：x≤

由②得：x＞﹣2

∴不等式组的解集为﹣2＜x≤

∴非负整数解为x＝0，1，2，3，共4个

故选：B．

6．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用ab＝6的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，所以从中随机抽取两张，两张所标数字的积为﹣6的4种，所以则点（a，b）在函数y＝的图象上的概率P＝＝．

故选：A．

7．【分析】根据“若每13名学生一组，则有10名学生无指导教师；若每14名学生一组，则有一位指导教师只分到了4名学生”，分别得出等式求出答案．

【解答】解：设指导教师x名，七年级学生y名，根据题意，可列方程组为：

．

故选：D．

8．【分析】先根据定义运算，将原方程化为一元二次方程，然后利用根的判别式进行判断即可．

【解答】解：根据定义运算，方程（x+1）*（2x﹣1）＝3化为

（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）＝3，

整理，得x2﹣x+1＝0，

∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，

∴方程没有实数根．

故选：A．

9．【分析】从图2看，当t＝a时，y取得最大值，此时BC＝a，而y＝a，利用y＝×AC ×BC＝AC×a＝a，即可求解．

【解答】解：从图2看，当t＝a时，y取得最大值，

此时BC＝a，而y＝a，

即：y＝×AC×BC＝AC×a＝a，

解得：AC＝2，

故选：D．

10．【分析】根据等边三角形的性质得到∠DOA＝∠DAO＝60°，OD＝AD，根据菱形的性质得到CB＝CD＝AD＝AB，AD∥CA1，CD∥AB，推出△OCA1和△ABA1是等边三角形，求得菱形ABCD的面积＝2，同理，菱形A1B1C1C的面积＝16＝24，菱形A2B2C2C1的面积＝64＝26，菱形A3B3C3C2…的面积＝28，…，于是得到结论．

【解答】解：∵△OAD是等边三角形，

∴∠DOA＝∠DAO＝60°，OD＝AD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CB＝CD＝AD＝AB，AD∥CA1，CD∥AB，

∴∠CA1O＝∠DAO＝60°，

∴△OCA1和△ABA1是等边三角形，

∴AB＝AD＝A1B，

∴菱形ABCD的面积＝S，

∵A（2，0），

∴OA＝2，

∴OA1＝4，

∴菱形ABCD的面积＝2，

同理，菱形A1B1C1C的面积＝8＝23，

菱形A2B2C2C1的面积＝32＝25，

菱形A3B3C3C2…的面积＝27，…，

∴菱形A n B n?n C n﹣1的面积＝22n+1×，

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣（﹣2）＝5．

故答案为：5．

12．【分析】根据∠2＝∠B+∠4，求出∠4即可解决问题．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠3＝∠1＝78°，

∵∠2＝∠B+∠4，∠3＝∠4＝78°，∠B＝45°，

∴∠2＝45°+78°＝123°，

故答案为123°．

13．【分析】根据一次函数y＝k1x+2的图象经过点A（m，3），B（m+2，﹣1），可以求得k1的值，根据反比例函数y＝的图象位于一、三象限，可以判断k2的正负，从而可以解答本题．

【解答】解：∵一次函数y＝k1x+2的图象经过点A（m，3），B（m+2，﹣1），

∴，得，

∵反比例函数y＝的图象位于一、三象限，

∴k2＞0，

∴k1＜k2，

故答案为：＜．

14．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝2，∠DAB＝60°，根据等腰三角形的性质得

到∠DAE＝∠DEA，由平行线的性质得到∠DEA＝∠BAE，求得∠DAE＝∠BAE＝30°，连接AC，AC′，由旋转的性质得到∠D′AD＝∠C′AC＝∠B′AB＝30°，AD＝AD′，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，根据扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵AB＝2AD＝4，∠B＝120°，

∴AD＝2，∠DAB＝60°，

∵边AB′恰好经过边CD的中点E，

∴AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∵CD∥AB，

∴∠DEA＝∠BAE，

∴∠DAE＝∠BAE＝30°，

连接AC，AC′，

∵将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转至平行四边形AB′C′D′的位置，

∴∠D′AD＝∠C′AC＝∠B′AB＝30°，AD＝AD′，

过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，

则∠CBF＝60°，

∵BC＝AD＝2，

∴CF＝，BF＝1，

∴AC＝＝2，

∴图中阴影部分的面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADD′＝﹣＝2π，

故答案为：2π．

15．【分析】由折叠的性质可得AF＝A'F，AD＝A'D'＝2，DE＝D'E，∠ED'C＝∠ED'A'＝∠D ＝90°，∠A＝∠A'＝90°，由勾股定理可求D'E，EC的长度，由锐角三角函数可求HB，AF的长．

【解答】解：如图，设A'C与AB交于点H，

∵将四边形AFED沿EF折叠，

∴AF＝A'F，AD＝A'D'＝2，DE＝D'E，∠ED'C＝∠ED'A'＝∠D＝90°，∠A＝∠A'＝90°∵点D′为A'C的三等分点时，

∴CD'＝2A'D'＝4，或CD'＝A'D'＝1

当CD'＝2A'D'＝4，

∵EC2＝D'C2+D'E2，

∴（6﹣ED'）2＝16+D'E2，

∴D'E＝

∴CE＝

∵CD∥AB

∴∠DCA'＝∠CHB＝∠FHA'

∴tan∠DCA'＝tan∠CHB＝

∴

∴HB＝

∴AH＝

∵sin∠FHA'＝sin∠DCA'＝

∴

∴A'F＝

∴AF＝

当CD'＝A'D'＝1

同理可得：AF＝

故答案为：或

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．【分析】先化简分式，然后将x＝代入求值即可．

【解答】解：原式＝（）÷

＝（）÷

＝÷

＝

＝2x﹣4

当x＝时，

原式＝

17．【分析】（1）根据一般关注的频数和频率即可求出总人数；

（2）根据频数、频率以及总人数之间的关系即可求出m和n的值；

（3）根据求出的m的值，即可补全统计图；

（4）用该校的总人数乘以对课后延时服务高度关注的人数所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）此次接受调查的家长共有＝60（人）；

故答案为：60；

（2）m＝60×0.2＝12（人），

n＝＝0.3；

故答案为12，0.3；

（3）高度关注的人数是12人，补图如下：

（4）对课后延时服务高度关注的约有：1500×0.2＝300（人）．

18．【分析】（1）先判断出OD∥BF，得出∠DBF＝∠ODB，再判断出∠DBF＝∠OBD，进而得出∠OBD＝2∠DBC，即：∠DBF＝2∠DBC，即可得出结论；

（2）①先判断出OB＝BD，进而得出△BOD是等边三角形，则∠OBD＝60°，进而求出∠ABC＝30°，即可得出结论；

②先判断出△DOB为等腰直角三角形，得出∠DBA＝45°，进而求出∠ABC＝∠DBA

＝22.5°，即可得出结论．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，

∵DE为半圆O的切线，

∴∠ODF＝90°

∵BF⊥DE，

∴∠BFD＝90°，

∴∠ODF+∠BFD＝180°，

∴OD∥BF，

∴∠DBF＝∠ODB，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠DBF＝∠OBD，

∵∠DBC＝∠ABC，

∴∠OBD＝2∠DBC，

∴∠DBF＝2∠DBC，

又∵∠DBC＝∠CAD，

∴∠DBF＝2∠CAD；

（2）①如图2，连接OC，OD，CD，∵四边形COBD为菱形，

∴OB＝BD，

∵OB＝OD，

∴OB＝OD＝BD，

∴△BOD是等边三角形，

则∠OBD＝60°，

∴∠ABC＝∠OBD＝30°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝60°，

故答案为：60；

②如图3，连接OD，

∵四边形DOBF为正方形，

则∠DOB＝90°，

∵OB＝OD，

∴△DOB为等腰直角三角形，

∴∠DBA＝45°，

∴∠ABC＝∠DBA＝22.5°，

∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝67.5°，

故答案为67.5．

19．【分析】（1）先通过反比例函数求得A的坐标，然后代入y＝kx，根据待定系数法即可求得；

（2）由条件可求得B的坐标，根据S△ABC＝S△COB+S△AOC求得即可；

（3）由S△POA＝S△ABC得到△POA的面积为8，即OP?AC＝8．求得OP＝8，从而求得P的坐标．

【解答】解析（1）点A在反比例函数y＝的图象上，且横坐标为3，点A的坐标为（3，2）

点A在正比例函数y＝kx的图象上，3k＝2

∴正比例函数的解析式为y＝x；

（2）∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B．点B与点A关于原点对称，点A 的坐标为（3，2），

∴点B的坐标（﹣3，﹣2）．

∴S△ABC＝×3×2+＝6；

（3）∵S△POA＝S△ABC＝8，

∴OP?AC＝8．

∴OP＝8．

∴点P在x轴上，点P的坐标为（8.0）或（﹣8.0）．

20．【分析】过点A作AH⊥FD于点H，过点B作BD⊥FD于点D，过点A作AG⊥BD交DB的延长线于点G，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【解答】解：过点A作AH⊥FD于点H，过点B作BD⊥FD于点D，过点A作AG⊥BD 交DB的延长线于点G，

∵∠ABC＝90°，∠BCD＝72°，

∴∠ABG＝72°，

∵sin72°＝，cos72°＝，

∴BD＝BC?sin72°，BG＝AB?cos72°，

∴AH＝BD+BG

＝BC?sin72°+AB?cos72°

＝42sin72°+39cos72°，

≈51.99

∵∠AEF＝72°，

∴tan72°＝，

∴HE＝≈16.88，

∵∠AFE＝45°，

∴AH＝FH，

∴EF＝FH+HE

＝51.99+16.88

≈68.9

21．【分析】（1）运用待定系数法求解即可；

（2）分别求出y A（元）与yy B（元）关于运营时间x（月）的函数解析式，再列出不等式或方程解答即可；

（3）新投放A型汽车b辆，则B型汽车（15﹣b）辆，根据题意列不等式解答即可．【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设w2与x的函数关系式为w2＝k1x，根据题意得，10k1＝10000，解得k1＝1000，故w2＝1000x；

当x＞10时，w1与x的函数关系式为w1＝4000x．

故答案为：w2＝1000x；w1＝4000x；

（2）∵60≤a≤120，∴y A（元）与yy B（元）关于运营时间x（月）的函数解析式分别是

y A＝4000x﹣（1500x﹣5000）﹣80000＝2500x﹣75000，y B＝2750x﹣95000，

若y A＞y B，则2500x﹣75000＞2750x﹣95000，解得x＜80；

若y A＝y B，则2500x﹣75000＝2750x﹣95000，解得x＝80；

若y B＞y A，则2750x﹣95000＞2500x﹣75000，解得x＞80，

∴当60≤a＜80（a＜80可以不扣分）时，一辆A型汽车盈利高；当a＝80时，一辆A 型和一辆B型车，

盈利一样高；当80＜a≤120（a＞80）时，一辆B型汽车盈利高；

（3）设新投放A型汽车b辆，则B型汽车（15﹣b）辆．根据题意得：

（2500×5×12﹣75000）×b+（2750×5×12﹣95000）×（15﹣b）≥1100000．解得b ≥10．

∴若要实现这15辆汽车5年盈利不低于110万的日标，至少要投放10辆A型车．22．【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．

（2）证明△CBG≌△CAE（SAS），再利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（3）分两种情况讨论，在Rt△AEB中，利用勾股定理得出BE的长，进而得出BD，BF 的长，然后在Rt△CFB中，利用勾股定理得出CF的长，最后由△CEF是等腰直角三角形，求出CE的长．

【解答】解：（1）结论：CF＝EF，CF⊥EF．

理由：如图1中，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∵∠DCB＝90°，DF＝FB，

∴EF＝DB，CF＝BD，

∴EF＝CF．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵∠DCB＝∠DEB＝90°，

∴∠CDE＝135°，

∵DF＝FB，

∴DF＝EF＝CF，

∴∠FDE＝∠FED，∠FCD＝∠FDC，

∴∠FED+∠FDE+∠FDC+∠FCD＝270°，

∴∠CFE＝360°﹣270°＝90°，

∴CF⊥FE．

（2）仍然成立．理由如下：

如图1，延长EF至点G，使FG＝EF，交AB于点K，连接BG，CE，CG．

∵点F为BD的中点，BF＝DF，∠GFB＝∠DFE，

∴△GFB≌△EFD（SAS），

∴BG＝ED，∠BGF＝∠DEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵∠DAE＝∠CAB，∠DAE＝45°，∠DEA＝90°，DE＝AE．

∴BG＝AE

∵∠CBG＝∠CBA+∠CBK＝45°+∠GBK，

又∵∠CAE＝∠EAK﹣∠CAB＝∠EAK﹣45°＝∠GBK+∠BGK﹣∠AEK﹣45°

＝∠GBK+∠DEK﹣∠AEK﹣45＝∠GBK+∠DEA﹣45°＝∠GBK+90°﹣45°＝∠GBK+45°，

∴∠CBG＝∠CAE，

∴△CBG≌△CAE（SAS），

CG＝CE，∠BCG＝∠ACE，