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圆锥曲线大题题型归纳

基本方法：

1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；

a b c e p

2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1、已知F

1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？

2

100

x2

64

y

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1-1 已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上的一点，且

12,F F 223575x y -=P =120，求的面积。

12F PF ∠?12F PF ?

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

例3、（2014秋?市中区校级月考）已知椭圆C ：

（a ＞b ＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且22

1x y a b +=

焦点与短轴两端点构成等边三角形．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，

判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明

变式3-1 （2012秋?沙坪坝区校级月考）已知椭圆 (a ＞b ＞0)的离心率为

焦距为2．

22

221x y a b

+=（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，C ，D 为椭圆上位于直线PQ 异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出此定值．

例4、过抛物线（>0）的焦点F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果（O 为原点）

24y ax =a AOB ?的面积是S ，求证：为定值。

2

S AB

的焦点重合，F

1，F

2

分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=且过椭圆右焦点F

2

的直线l与椭圆C交于M、N两

1

2

点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

题型三 “是否存在”问题

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

变式7-1 （2006秋?宁波期末）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点Q（0，-1）且以为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

小结

解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：

一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K 是否存在）?OA OB ⊥?121K K ?=-?

0OA OB ?=

?12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”

?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；

??1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；

?120K K +=12K K = ④“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；

?⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”

?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；

?七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.