抛物型方程的差分方法
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
求解抛物型方程的一种有限差分并行格式
Ｋｅ ｒ ｓ：ｐ ｒｌ ｌｃ ｍｐ ｔｔ ｎ ｉｅｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ；Ｊ Ｓ ｉ ｒｔ ｅｍｅｈ ｄ ；ｓ ｂｌｙ；ｔ ｎ ａｉｎｅｒｒ ｙ ｗｏ ｄ ａａｌ ｏ ｕａｉ ；ｄｆ ｒｎｉ ｑ ａｉ ｅ ｏ ｆ ａ ｏ Ｇ ｔ ａｉ ｔｏ ｓ ｔ ｉ ｔ ｒ ｃ ｔ ｒｏ ｅ ｖ ａ ｉ ｕ ｏ
点 （， 的值 ． ｉ ）
对于给定的正整数 Ｐ 使其能整除 Ｎ一１ ， Ｌ＝（ （ ）令 Ｎ一１ ／．将 整个区间分成 Ｐ个子区问 （ Ｐ ）ｐ 或
收稿 日期 ： ０ ０ ９２ ． ２ １－ －６ Ｏ
作者简 介：刘
播（ ９ １ １５ 一）， ， 族 ， 男 汉 博士 ，教授 ，从事偏 微分方 程并行算 法的研 究，Ｅ－ａｌ ｉｂ ｍ＠ｊ ．ｄ ． ａ ｍ ｉ ｕｏ ：ｌ ｌ ｅｕ ｃ ．通讯作 者 ｕ
李昕卓（ ９７ ） １ ８一 ，女 ， 汉族 ，从事偏微分方程并行算 法的研究 ，Ｅ ｍ ｉ： ｉ ２２ ＠１３ ｃｎ． ． ａ ｌ ｚ１３ ６ ．ｏ ｌ ｘ 基金项 目：国家 自然科学基金 （ 批准号 ： ０ ３ １ １ Ｊ００ ０ ） Ｊ７０ ０ ； １３ １ １ ．
２
吉 林 大 学 学 报 （ 学 版） 理
有 限差分 法是求 解偏 微分方 程 的一种 有效 方法 ，目前 已有许 多 研究 结果 ．文 献 ［ －］ 论 了抛 ２３ 讨
物型 方程 的本性 并行 差分 格 式 ；文献 ［ ． ］ 别 给 出 了抛 物 型 方 程 的 Ａ Ｅ方 法 及其 稳 定 性 和误 差 分 ４５ 分 Ｇ
抛物型方程的有限差分法
令
L(h3
)
u
k j
uk1 j
u
k j
a
[
uk1 j1
2
2u
k j
1
h2
uk 1 j 1
uk j1
2u
k j
h2
uk j 1
]
将截断误差
R
k j
(u)
L(h3)u( x j , tk
)
[Lu]kj
于(
x
j
,
t
k
1
2
)(tk 1 2
(k
1 )
2
)展 开 ， 则 得
R
k j
(u)
0(
2
h2
).
(1.9)
j
k1
k1
k1
k
k
k
j1
j
j1
j1
j
j1
2
h2
h2
j
u0 ( x ), uk uk 0 ,
j
j
j
0
N
( 1.8 ) 2
( 1.8 ) 1
将(1.8)1改 写 为
r 2
uk1 j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk 1 j 1
r 2
uk j1
(1
r
)u
k j
1
r 2
uk j 1
fj
(1.8)1
u(
t x,0)
a x2
(x),
f (x), 0 x
0 l
t
T (1.3)1
u(0,
t)
u(l, t)
0,
解高维抛物型方程的一个高精度显式差分格式
Ｖ０ １ ． ３ １ Ｎ ｏ ． ２
Ｍａ ｒ ． ２ Ｏ１ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ３ ） Ｄ ２— ０ ２ ７ ５一 ｏ ４
解 高维 抛 物 型 方 程 的 一个 高精 度 显 式 差分 格式①
沈高峰 ， 谷淑敏
（ １ ． 郑州轻工业学院计算 机与通 信工程学院 ． 河南 郑州 ４ ５ ０ ０ ０ ２； ２ ． 中原工学院信 息商务学院基础部 。 河南 郑州 ４ ５ ０ ０ ０ ７ ）
摘 要： 构造和研 究了五雏抛物型方程的高精度显式差分格式． 首先给 出了含参 变量的差分方 程， 并用待定 系数法适 当地选取 了这些参数的表 示式， 以使差分方程的截 断误差阶尽可能高地达 到了ｏ （ ｚ ￣ ｔ ＋△ ）； 其 次 用稳定 性分 析 的 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 方 法给 出了所得 格 式 的稳 定 性 条件 ； 接 着确 定 了高精度 显 式差分 格 式的稳 定性 条件 为 ｒ＜２ ／ ５； 最后 给 出了数 值例 子 ， 数值 结果 表 明 了本文格
件 ｒ＜１ ／ ６ 或 ｒ＜１ ／ ４ ． 本 文对 五 维热 导方 程构造 了
一
△ ［ ‰ ＋（ 叩 ＋叩 ： （ １ ◇）＋７ ７ ３口
＋７ ７ 田
＋ ｏ） ］＝（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）
（ ７ ７ ６ ＋７ ７ ７ ｎ 胁 － １ ）＋［ （ １ ２ ◇ ＋３ （ 口
第３ １ 卷 第 ２期
２ ０ １ ３ 年 Ｏ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
关键词 : 抛物型方程 ;截断误差 ; 稳定性 中图分类号 :O241. 82 文献标志码 :A 文 章编 号 :167423326 (2008) 042 00012 02
A High Accuracy D iffer encin g Scheme f or Sol vin g t he Para bol ic Par t ia l D iff er en t ial Equat ion
新乡学 院学 报 (自然科学版) Jour nal of Xinxia ng Univer sity( Na tural Science Edi 2008
高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
蒋菊霞1 , 王 波2
3
(1. 新乡学院 数学系 ,河南 新乡 453003 ;2. 三门峡职业技术学院 机电工程系 ,河南 三门 峡 472000 )
J IANG J u2xia 1 , WANG Bo2
( 1. Depa rtment of Mathema tics , Xinxiang Univer sit y , Xinxia ng ,453003 , China ; 2. Mec hanical and Elect rical e nginee ring Depar tme nt of Sa nmenxia Polytechinc , Sanmenxia 472000 , China) Abstract : This paper pr esents a high accur ac y three2level diff erence scheme fo r solving parabolic equa tio ns. The sta2 bility condition a nd local tr uncation e rror for the sc heme are η < 0 , r ≤[ - 10 ( m - 6 η ) 2 + 360 (η- 1) 2 + 17 m 360 ]/ [ 180( 1 - 2η ) 4 m ] , re spectively. Key wor ds : para bolic diff erential equa tion ;truncation e rror ;stability
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t ∂=∂ (1-1)其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
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(2.19.1) (2.19.2) (2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
3 3 4 7 5 n x x x um 2 4 3u n 3 3 4 7 5 n h 3 ( 3 ) m x x x um x 2 4 1 37 n ( x x ) 3 ( x x ) 5 ( x x ) 7 u m 2 120
T u u
n m
1 2 x
n 1 m 2
,
n Tx um u n
1 2
m
1 2
n x 为 x 方向平均算子， xum 1 (u n 1 u n 1 )
2
m
2
m
2Hale Waihona Puke x 方向的差分算子:其中:
n n n xum um1 um
un
m
1 2
h u ( xm , tn ) 2
(2.20.1) (2.20.2) (2.20.3)
4 17 6 n 5 x 2 x 6 x um 4u n 4 17 6 n 4 5 h ( 4 ) m x 2 x x um x 6 7 8 n 4 1 6 x x x um 6 240
(2.14)
(2.15)
x T Tx
1
则
x exp( hDx ) exp( hDx ) 2 1 2 双曲正弦 x 2 sinh( hDx ) 2 1 1 3 32 hDx 2ar sinh( x ) x 2 x 4 x5 2 2 3! 2 5!
因为 故
同理 因为
x Tx I ,
Tx x I
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 x 1 2
1 2
(x)为给定的初始函数。
( x, t )
0 x 1 (2.3) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础 为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域 用二组平行于 t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k ，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h, k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
(2.18.1) (2.18.2) (2.18.3)
返回
又由
2 h 2 Dx ln( I x )
2 2 x
h D ln( I x )
2 2 x
2
2
2
1 h D 2ar sinh( x ) 2
可得二阶偏导数的差分表达式
2 11 n x 3x 4x um 12 2 11 3 2 n 2 u n 3 h ( 2 ) m x x x u m x 12 n 2 1 4 1 6 x x x um 12 90
(2) 初边值问题(或称混合问题) 在区域上 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T 求函数u( x, t ) ，使满足 边值条件
方程(2.1) u ( x ,0 ) ( x ) u (0, t ) (t ), u (1, t ) (t )
u 2 L( x, t , Dx , Dx )u t
2 D Dx , Dx的线性算子， x x L 是关于
(2.22)
返回
。包括二个相 邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开 式推出
k k 2 2 k 3 3 u ( x, t k ) (1 )u ( x, t ) 2 3 1! t 2! t 3! t
(2.21.1) (2.21.2) (2.21.3)
从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以 得到偏导数的各种精度的近似表达式。 在 h( u ) 的前差表达式中取第一项，则有 x
n m
u n n n n h( ) m xum um1 um x
且
h(
u n 1 1 n n n n ) m (um1 um ) 2xum 3xum x 2 3
t n nk T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,
xm mh
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T ，则网格是
前差算子: x , 后差算子: x ,
(2.9) (2. 10) (2.11)
2
n n n xum um um1
n n n 中心差算子: x , xum um 1 um 1 2
建立差分算子和导数算子之间的关系，由 Talyor 展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n n n um1 um ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
(2.24)
35 38 2 1 D 将式(2.17)， x h ar sinh(2 x ) ,代入算子L中，即在L 中用中心差分算子 x 代替了微分算子Dx ，于是有
2 1 2 1 n n um1 exp( kL(mk , ar sinh( x ), ( ar sinh( x )) 2 ))um h 2 h 2
1
(2.16) 46 (2.17)
32
式(2.14)，(2.15)，(2.17)分别给出了偏导数算 子关于前差、后差、中心差的级数表达式
利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式
1 1 n x 2x 3x um 2 3 u 1 1 n h( ) n x 2 3 um m x x x 2 3 1 3 n 3 5 x x 6 ( x x ) 40 ( x x ) um
通常考虑的定解问题有： (1) 初值问题(或称Cauchy问题) 在区域 ( x, t ) | x ,0 t T 上求函 数，使满足 初值条件
方程(2.1) u ( x,0) ( x) ( x, t ) x
(2.2)
由Taylor展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x h u n h 2 2u n h 3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
(2.25)
返回
目前通常用于解方程(2.1)的各种差分方程， 都是方程(2.25)的近似表达式。下面各节，我们将 以式(2.25)为基础，对简单的抛物型方程，推导一 些常用差分格式。
exp( k )u ( x, t ) t
n x mh, t nk, um1 u (mh, (n 1)k )，于是 设 n n 1 um exp( k )um t
(2.23)
如果算子L不依赖于t，即 L L( x, Dx , Dx2 ) ，则
n n um1 exp( kL)um
第2章抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础 2.2 显式差分格式 2.3 隐式差分格式 2.4 解三对角形方程的追赶法 2.5 差分格式的稳定性和收敛性 2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 2.7 二维抛物型方程的差分格式 2.8 交替方向的隐式差分格式( ADI 格式)
本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法， 主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题 以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程 的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的 差分解法也进行了研究。 众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
则u 在( xm , tn )处对 x 的一阶偏导数有三个可能的近似:
n n u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , tn ) um1 um ( )m x h h
向前差商
(2.5) (2.6)
n n u n u ( xm , t n ) u ( xm1 , t n ) um um1 ( )m x h h
h n h2 2 I Dx Dx um 2! 1!
n exp( hDx )um
I为恒等算子
由 得
n n um 1 Tx um
Tx exp( hDx )
(2.12) (2.13)
hDx ln Tx1
或者 同理有
hDx ln Tx
Tx1 exp( hDx )
t n nk
xm mh
T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,, M ; Mh 1
在 t 0, x 0, x 1上的结点称为边界结点，属于 内的结点称为内部结点。 差分方程就是在网格点上求出微分方程解 的近似值的一种方法，因此又称为网格法。 构造逼近微分方程的差分方程的方法。 研究导数的差商近似表达式。为此对二元函 n u u ( x, t ) um u ( xm , t n )，且假定 u u ( x, t ) 具有我 数 定义 们需要的有界偏导数。
又由二阶导数的前差表达式(2.19.1)，得