1-4 无穷小与无穷大
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1-4无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x) > 0， lim f ( x) = A， 且
x→+∞
问 能 保 有A > 0的结 ？ 举 说 ： 否 证 明. 论 试 例 明
思考题解答
不能保证. 不能保证
1 例 f ( x) = x
∀x > 0,
1 有 f ( x) = > 0 x
1 lim f ( x) = lim = A = 0. x→+∞ x x→+∞
1 1 1 = ∞. 0 当 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M. ∴lim x→1 x − 1 M x −1
1 y= x −1
x y 定义: 如果 lim f ( x) = ∞,则直线 = x0是函数 = f ( x)
x→x0
. 的图形的铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
1 ∵lim = 0, x→∞ x 1 . ∴函数 是当x → ∞时的无穷小 x
(− (−1)n (−1)n ∵lim = 0, ∴数列 (− }是当 → ∞时的无穷小 { n . n→∞ n n
注意 （1）无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; ）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 ）零是可以作为无穷小的唯一的数.
式 f ( x) ≈ A, 误差为α( x).
3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β是当 → ∞时的两个无穷小 x ,
高数一 1-4 无穷小与无穷大
lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
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所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
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❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
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例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大 记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
1-4 无穷小与无穷大
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二、 无穷大
无穷大的定义 如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
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作 业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线 水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解 因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x
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二、 无穷大
无穷大的定义 如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
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作 业
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线 水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解 因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x
1-3'' 无穷大量与无穷小量
恒成立，则称变量 是无穷小量， 恒成立，则称变量y是无穷小量，或称变量 y趋于无穷小， 趋于无穷小， 趋于无穷小
定义3.7 若 lim f ( x) = 0, 则称函数 f(x) 在 定义
x→x0
x → x0
时为无穷小量，简称无穷小. 时为无穷小量，简称无穷小 无穷小量 无穷小
无穷小定义中的x → x0 , 可以换成x → x0+ , x → x0− , x →∞, x →−∞, x →+∞等.函数f ( x)可以换成数列xn , 此时x → x0换成n →∞.
y >E
恒成立，则称变量 是无穷大量， 恒成立，则称变量y是无穷大量，或称变量 y趋于无穷大，简称无穷大，记作 趋于无穷大，简称无穷大， 趋于无穷大
lim y = ∞
最简单的例子为： 最简单的例子为：
1 lim = ∞, x→0 x
lim 1 = 0, 2 x→∞ 1 + x
1 lim = 0, x→+∞ 2x →+∞
)时 使得x ∈ U 0 ( x0 ,δ )时 | α ( x) |=| f ( x) − A |< ε , 因此
x → x0
lim f ( x) = A
定理对x → ∞也成立
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 将一般极限问题转化为特殊极限问题
y = ln x
注意：1.要指明自变量的变化过程 如x→x0)； 注意： 要指明自变量的变化过程(如 ； 要指明自变量的变化过程 2.在这个过程中，函数 f(x) 以0为极限 在这个过程中， 为极限. 在这个过程中 为极限
1 例 ， 数 f (x) = 是 →∞时 无 小 但 数 如 函 的 穷 ， 函 x x 1 x 时 是 穷 . f (x) = 在 →1 不 无 小 x
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
无穷小和无穷大
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
如果
lim k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
那么
f
1 (x
)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大.
性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
仍为该过程中的无穷小？
例
x2, x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
4 无穷大与无穷小
关于无穷大的讨论 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于 无穷小的讨论. 无穷小的讨论
18
无穷小与无穷大
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正 负)无穷大 两个正 负 无穷大之和仍为正(负 无穷大; 无穷大之和仍为正 无穷大 ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大 有非零极限的变量(或无穷大 或无穷大)与无穷大之 ∗ 有非零极限的变量 或无穷大 与无穷大之
皆非无 穷小.
( −1) n 当n → ∞时, 数列{ }是无穷小 . n 无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势 函数变化的趋势.
3
无穷小与无穷大
定义1 定义1 ∀ε > 0(不论它多么小 ), ∃δ > 0 (或 > 0), X
使得当 0 <| x − x0 |< δ (或| x |> X), 恒有
o
使得当 0 < | x − x0 | < δ 1时, 恒有 | u | ≤ M .
又设α是当x → x0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0,使得当0 < | x − x0 |< δ 2时, ε 恒有 | α | < . 取δ = m δ1,δ2 }, 则当 in{ M 0 <| x − x0 | < δ 时, 恒有 | u ⋅ α | = | u | ⋅ | α |
20
无穷小与无穷大
思考题
1993年考研数学三 3分 年考研数学三, 分 年考研数学三
1 1 当x → 0时, 2 sin 是( D ). x x
A. 无穷小量 C. 有界量非无穷小量 B.无穷大量 无穷大量 D.无界但非无穷大量 无界但非无穷大量
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。
无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。
首先，我们来定义无穷大和无穷小。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。
1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。
而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。
无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。
这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。
当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。
这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。
通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。
在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。
第五节无穷小与无穷大
分析：M 0, x0 , yx0 M .
M 0, 取x0 M 1 , yx0 M 1 cosM 1 M 1 M
若函数 y x cos x当 x 时为无穷大，
由定义，对 M 0, X 0,当 x X时，均有 yx M .
但是，对M 0，X 0, 若取x0
yx0
故：
x1 x 2 1
(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）
例5 求 lim x 2 x 2 x1 x 2 1
解
lim
x2
x
2
(x lim
1)( x
2)
lim
x
2
3
.
x1 x 2 1
x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
21
附：多项式除法
消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法
x
x
无穷小的倒数是无穷大
19
有理分式的极限：
有理分式: P x Q x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
a0 , b0 0
1.当x
x
时有理分式的极限：
0
(1)分母的极限不为零:
例3
Px Qx
a0 xn b0 x m
X 0, 使得当x X时,恒有 f x 成立, 则称f x当
当x 是的无穷小量.记为:lim f x 0. x
1
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x 时的无穷小.
如: lim x3 27 0, x3 27当x 3时为无穷小.
x3
lim
x
1 x
M
所以，u是当 x x0时的无穷小。
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x a
提示: f(x)=A+[f(x)A], =f(x)A.
3 1 1 0 1 x3 1 lim 例如 因为 3 而 3 3 3 3 3 x x 2x 2x 2 2x 3 1 x 1 1 而 lim 3 0 所以 lim 3 x 2x x 2x 2
c, h k hk lim lim c | x a | 0, h k x a x a , h k 无穷小阶的比较 设 及 为同一极限过程中的无穷小.
如果 lim
15
c 0 就说 与 是同阶无穷小 如果 lim 0 就说是比高阶的无穷小 记为o() 如果 lim 就说 是比 低阶的无穷小
x
•讨论 设 R(x) 为有理函数, 问 lim R( x) ? x 3 2 3x 4x 2 例 3 例 5 求 lim 3 2 x 7 x 5x 3 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
4 2 3 3 4x 2 2 3 3 x 3 x x lim 3 lim 2 x 7 x 5x 3 x 7 7 5 3 x x3
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大
三、无穷小的比较
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一、无穷小
无穷小的定义
如果 lim f ( x ) 0, 那么称f (x )为当 x a 时的无穷小.
x a
如果 lim f (n) 0, 那么称f (n)为当 n 时的无穷小.
n
例1 因为 lim 1 0 所以函数 1 为当 x时的无穷小 x x x x 11 lim lim 11 00 因为 因为 所以数列 所以数列 {{ }} 为当 为当nn 时的无穷小 时的无穷小 n n nn 11 nn 11
就说 是关于 的 k 阶无穷小.
13
lim k c 0, k 0 阶数越大, 趋于零的 “速度”越快.
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2 9 x 例 6 例 37 因为 lim x3 x 3 所以当 x3 时 x29 是关于 x3 的一阶无穷小 x1 例 例 48 因为 lim 1 cos x 0 x2 2 所以当 x0 时 1cos x 是关于 x 的二阶无穷小
nm nm nm
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1 12 例5 计算 lim （ 3 ） x 2 x 2 x 8 2 1 12 ( x 2 x 4) 12 解 lim （ 3 ） lim x2 x 2 x 8 x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
3x2 2x 1
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•讨论 设 P(x) 为多项式, 问lim P( x) ? x •提示 a0 xn a1xn1 an x n (a0 a1 an ) n x x f ( x) kf ( x) , 其中 k 为非零常数.
x
x x0
注: 条件中的极限可改为单侧极限. y ln x • 曲线 y ln x 有铅直渐近线 x 0: yarctan x lim ln x 2 x 1 O x0 • 曲线 y arctan x 有水平渐近线 2 y : lim arctan x x 2 2
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等价无穷小 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
lim 1 就说 与 等价, 记为 ~ .
例9 当 x0 时,
sin x lim 1, x 0 x
sin x ~ x
tan x tan x ~ x lim 1, x 0 x 1 cos x 1 1 2 lim , 1 cos x ~ x 2 x 0 x 2 2
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•讨论 设 P(x) 为多项式, 问lim P( x) ? x •提示 a0 xn a1xn1 an x n (a0 a1 an ) n x x f ( x) kf ( x) , 其中 k 为非零常数.
lim P( x) ( P( x) C )
x
x x2 x x x 2 x x 2 1 x 1
x 1 x 1
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x
1 lim x 2 1 x 1 1
11
1
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三、无穷小的比较
在 x0 的过程中 x3 比 x2 趋于零的“速度”快些 x4 比 x3 趋于零的“速度”快些, …… • 自变量的变化过程 xx0(x0,,),n统称极限过程. 设 为某一极限过程中的无穷小 对于任一正数 k, 显然 k 是同一极限过程中的无穷小 当 h > k 时, h 比 k 趋于零的“速度”快些. 无穷小的阶 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
lim f ( x) M0d 0当0|xx0|d 时有f(x)<M
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x x0
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时 |f(x)|M
无穷大的等价定义
1 如果 lim 0, 那么称 f ( x)为当x a 时的无穷大. x a f ( x) 1 1 提示: | f ( x) | M | | . f ( x) M
x
•讨论 设 R(x) 为有理函数, 问 lim R( x) ?
x
2 x3 x 2 5 例 4 lim 2 ? 例 6 求 lim 3 2 x 3 x 2 x 1 x 2x x 5 3 2 1 2 2x 1 2 x3 3 x 0 x x 解: lim lim 0 3 2 1 5 x 2x x 5 x 2 3 2 x x
x
x x0
y
1 x 1
1
水平渐近线
6
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
的铅直渐近线 水平渐近线 如果 lim f (x) A 则直线 y A 称为函数 y f (x)的图形的 水平渐近线
例2 因为 lim( x 1) 0,
x 1
y
1 所以 lim . x 1 x 1
1 x 1
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
的铅直渐近线 水平渐近线 如果 lim f (x) A 则直线 y A 称为函数 y f (x)的图形的 水平渐近线
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例如, 当 x时 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x 注: lim f ( x) A lim[ f ( x) A] 0
3
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二、 无穷大
无穷大的定义 如果当 xx0 时 | f(x)| 无限增大 那么称函数 f(x) 为 当 xx0 时的无穷大 记为
x x0
lim f ( x ) . (形式记法,实际上极限不存在)
无穷大的精确定义 lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
x x0
•正无穷大与负无穷大
x x0
x x0
4
lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有f(x)M
无穷小的阶 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
就说 是关于 的 k 阶无穷小.
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lim k c 0, k 0 阶数越大, 趋于零的 “速度”越快.
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当 xa 时 |x a|k (k>0)是关于|x a|的 k 阶无穷小, c|x a|h (c 0, h>0)是关于|x a|的 h 阶无穷小.
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等价无穷小代换定理
设~ ~ 且 lim 存在 则 lim lim 证明 lim lim lim lim lim lim 定理的意义: 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化
1 x4 ( x 2)( x 4) lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 4 x2 ( x 2)( x 2 x 4) 2 a3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
例6 计算 lim ( x 2 x x)
x
解 lim ( x 2 x x) lim
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若~ ~ 且 lim 存在 则 lim lim
例 10 例 求 lim tan 2x x 0 sin 5x 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 tan2 2x x 2x x 2 lim lim tan lim lim 2 2 xx 00sin 005 5 x x 5 5 sin5 5 x x xx
提示: f(x)=A+[f(x)A], =f(x)A.
3 1 1 0 1 x3 1 lim 例如 因为 3 而 3 3 3 3 3 x x 2x 2x 2 2x 3 1 x 1 1 而 lim 3 0 所以 lim 3 x 2x x 2x 2
c, h k hk lim lim c | x a | 0, h k x a x a , h k 无穷小阶的比较 设 及 为同一极限过程中的无穷小.
如果 lim
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c 0 就说 与 是同阶无穷小 如果 lim 0 就说是比高阶的无穷小 记为o() 如果 lim 就说 是比 低阶的无穷小
x
•讨论 设 R(x) 为有理函数, 问 lim R( x) ? x 3 2 3x 4x 2 例 3 例 5 求 lim 3 2 x 7 x 5x 3 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
4 2 3 3 4x 2 2 3 3 x 3 x x lim 3 lim 2 x 7 x 5x 3 x 7 7 5 3 x x3
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大
三、无穷小的比较
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一、无穷小
无穷小的定义
如果 lim f ( x ) 0, 那么称f (x )为当 x a 时的无穷小.
x a
如果 lim f (n) 0, 那么称f (n)为当 n 时的无穷小.
n
例1 因为 lim 1 0 所以函数 1 为当 x时的无穷小 x x x x 11 lim lim 11 00 因为 因为 所以数列 所以数列 {{ }} 为当 为当nn 时的无穷小 时的无穷小 n n nn 11 nn 11
就说 是关于 的 k 阶无穷小.
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lim k c 0, k 0 阶数越大, 趋于零的 “速度”越快.
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2 9 x 例 6 例 37 因为 lim x3 x 3 所以当 x3 时 x29 是关于 x3 的一阶无穷小 x1 例 例 48 因为 lim 1 cos x 0 x2 2 所以当 x0 时 1cos x 是关于 x 的二阶无穷小
nm nm nm
10
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1 12 例5 计算 lim （ 3 ） x 2 x 2 x 8 2 1 12 ( x 2 x 4) 12 解 lim （ 3 ） lim x2 x 2 x 8 x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
3x2 2x 1
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•讨论 设 P(x) 为多项式, 问lim P( x) ? x •提示 a0 xn a1xn1 an x n (a0 a1 an ) n x x f ( x) kf ( x) , 其中 k 为非零常数.
x
x x0
注: 条件中的极限可改为单侧极限. y ln x • 曲线 y ln x 有铅直渐近线 x 0: yarctan x lim ln x 2 x 1 O x0 • 曲线 y arctan x 有水平渐近线 2 y : lim arctan x x 2 2
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等价无穷小 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
lim 1 就说 与 等价, 记为 ~ .
例9 当 x0 时,
sin x lim 1, x 0 x
sin x ~ x
tan x tan x ~ x lim 1, x 0 x 1 cos x 1 1 2 lim , 1 cos x ~ x 2 x 0 x 2 2
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•讨论 设 P(x) 为多项式, 问lim P( x) ? x •提示 a0 xn a1xn1 an x n (a0 a1 an ) n x x f ( x) kf ( x) , 其中 k 为非零常数.
lim P( x) ( P( x) C )
x
x x2 x x x 2 x x 2 1 x 1
x 1 x 1
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x
1 lim x 2 1 x 1 1
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1
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三、无穷小的比较
在 x0 的过程中 x3 比 x2 趋于零的“速度”快些 x4 比 x3 趋于零的“速度”快些, …… • 自变量的变化过程 xx0(x0,,),n统称极限过程. 设 为某一极限过程中的无穷小 对于任一正数 k, 显然 k 是同一极限过程中的无穷小 当 h > k 时, h 比 k 趋于零的“速度”快些. 无穷小的阶 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
lim f ( x) M0d 0当0|xx0|d 时有f(x)<M
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x x0
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时 |f(x)|M
无穷大的等价定义
1 如果 lim 0, 那么称 f ( x)为当x a 时的无穷大. x a f ( x) 1 1 提示: | f ( x) | M | | . f ( x) M
x
•讨论 设 R(x) 为有理函数, 问 lim R( x) ?
x
2 x3 x 2 5 例 4 lim 2 ? 例 6 求 lim 3 2 x 3 x 2 x 1 x 2x x 5 3 2 1 2 2x 1 2 x3 3 x 0 x x 解: lim lim 0 3 2 1 5 x 2x x 5 x 2 3 2 x x
x
x x0
y
1 x 1
1
水平渐近线
6
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
的铅直渐近线 水平渐近线 如果 lim f (x) A 则直线 y A 称为函数 y f (x)的图形的 水平渐近线
例2 因为 lim( x 1) 0,
x 1
y
1 所以 lim . x 1 x 1
1 x 1
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
的铅直渐近线 水平渐近线 如果 lim f (x) A 则直线 y A 称为函数 y f (x)的图形的 水平渐近线
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例如, 当 x时 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x 注: lim f ( x) A lim[ f ( x) A] 0
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二、 无穷大
无穷大的定义 如果当 xx0 时 | f(x)| 无限增大 那么称函数 f(x) 为 当 xx0 时的无穷大 记为
x x0
lim f ( x ) . (形式记法,实际上极限不存在)
无穷大的精确定义 lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
x x0
•正无穷大与负无穷大
x x0
x x0
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lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有f(x)M
无穷小的阶 设 及 为同一极限过程中的无穷小 如果
就说 是关于 的 k 阶无穷小.
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lim k c 0, k 0 阶数越大, 趋于零的 “速度”越快.
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当 xa 时 |x a|k (k>0)是关于|x a|的 k 阶无穷小, c|x a|h (c 0, h>0)是关于|x a|的 h 阶无穷小.
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等价无穷小代换定理
设~ ~ 且 lim 存在 则 lim lim 证明 lim lim lim lim lim lim 定理的意义: 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等 价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得 适当 则可使计算简化
1 x4 ( x 2)( x 4) lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 4 x2 ( x 2)( x 2 x 4) 2 a3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
例6 计算 lim ( x 2 x x)
x
解 lim ( x 2 x x) lim
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若~ ~ 且 lim 存在 则 lim lim
例 10 例 求 lim tan 2x x 0 sin 5x 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 tan2 2x x 2x x 2 lim lim tan lim lim 2 2 xx 00sin 005 5 x x 5 5 sin5 5 x x xx