20.1 平行四边形的判定

第20章.平行四边形的判定＆.单元要点分析：本章的主要内容是学习平行四边形的判定、特殊平行四边形和等腰梯形的判定方法.通过逆命题的猜想、操作验证、逻辑推理证明等过程，让学生理解并掌握几种图形的判定方法，进一步体验合情推理和逻辑推理的融合，提高数学思维能力.本章教材的处理力求体现合情推理和演绎推理的融合，使学生体验数学结论的猜测、验证和证明的过程，培养学生思维的能力，主要有以下特点：1.判定方法的得到都是通过逆命题猜测、操作验证、逻辑推理证明这样的过程，较好地体现了合情推理与演绎推理的结合，有利于学生的理解与学习.2.适度降低逻辑推理的要求与难度.3.继续设置“试一试”、“思考”等栏目以及适当的旁白，给学生提供一定的探索和交流的空间.＆.教学重点、难点：重点：掌握平行四边形及特殊平行四边形、等腰梯形的判定方法并能灵活地应用.难点：演绎推理与合情推理的结合.＆.教学目标：1.通过逆命题猜想、操作验证、逻辑推理证明的过程，体验数学研究和发现过程，学会数学思考的方法.2.在对平行四边形性质认识的基础上，探索并掌握平行四边形的判定方法，学会一些简单的应用.3.探索并掌握菱形、矩形与正方形的判定方法，学会一些简单的应用.4.探索并掌握等腰梯形的判定方法，进一步学会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些简单问题.5.发展学生的合情推理能力，进一步培养学生的逻辑推理能力，规范推理的书写格式.＆.课时划分：§20.1 平行四边形的判定……………………………………………………………4课时§20.2 矩形的判定……………………………………………………………………2课时§20.3 菱形的判定……………………………………………………………………2课时§20.4 正方形的判定…………………………………………………………………2课时§20.5 等腰梯形的判定………………………………………………………………2课时小结与复习……………………………………………………………………………2课时§.20.1.平行四边形的判定第一课时.平行四边形的判定（一）＆.教学目标：1.通过操作，明确两组对边分别相等的四边形是平行四边形.2.会应用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来识别平行四边形.＆.教学重点、难点：重点：平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 难点：对该判定定理的理解与灵活运用.＆.教学过程： 一、情景导入1.平行四边形的两组对边有什么性质？（注意利用数形结合加以讲解）2.回顾：怎样判定一个四边形是平行四边形？（概念）3.将“平行四边形的两组对边分别相等”中的条件和结论交换位置后，你会得到一个怎样的命题？4.思考：你能证明上述问题吗？二、探究新知§.探究平行四边形的判定方法： 问题：做一个两组对边分别相等的四边形.教学方法：先让学生观察教材100P 图1.1.20，体验作图过程，然后教师讲解作图过程，让学生探索所画四边形的形状.分析：做一个两组对边分别相等的四边形的方法：①在平面上取两点，任取其中一点，以两种不同长度为半径用圆规画弧，再在另一点，分别用前面相同的长度为半径画弧，即可得出图形；②也可先用直尺画出相邻的两边，确定四边形的三个顶点，再用圆规画弧确定第四个顶点.思考：把你做的四边形和其它他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形. 猜想：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.验证：已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC AD =，DC AB =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.解析：要证明四边形ABCD 是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证BC AD //，DC AB //，因此需要连结对角线构造内错角.图 2A G DE P FB H CA D EF 图 3图 4图 5证明：连结AC∵BC AD =，DC AB =，AC AC = ∴CDA ABC ∆≅∆（SSS ） ∴21∠=∠，43∠=∠（全等三角形的对应角相等） ∴BC AD //，DC AB //（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） §.平行四边形的判定定理（一）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言表达：∵BC AD =，DC AB =∴四边形ABCD 是□三、讲解例题，巩固新知§.例1.如图2，在四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，点P 为对角线AC 上任意一点，过点P 分别作AB 、BC 的平行线，交四边形ABCD 的四边于E 、F 、G 、H .（1）图中的平行四边形的个数共有多少个？（2）猜想四边形EBHP 与DGPF 的面积之间的关系，并说明理由.答案：（1）图中共有9个平行四边形；（2）四边形EBHP 与DGPF 的面积相等. 同步练习：如图3，将线段AD 平移到EF 后再平移到BC ，那么图中有多少个平行四边形？§.例2.已知：如图4，在四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，E 、F 是对角线AC上的两点，且CF AE =.求证：DF BE =.解析：先由平行四边形的判定定理证明四边形ABCD 是平行四边形，再由SAS 公理证明CDF ABE ∆≅∆，从而得出DF BE =.教学方法：教师引导学生分析，先由学生书写，教师然后点评. 变试例题：（1）将上面例题中“E 、F 是对角线AC 上的两点，且CF AE =”改为AC BE ⊥，AC DF ⊥，其余条件不边（如图5），试问DF BE =是否成立？若成立，请给予证明. （2）如图4，在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，CF AE =.请你以F 为一个图 1A D 1324B C端点，和图中某已标明字母的点连结成一条新线段，使这条线段与图中某条原有的线段相等，并证明你的结论的正确性.四、巩固练习教材103P 练习1五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.理解平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.2.灵活地利用平行四边形的判定定理解决一些简单问题.六、课外作业1.教材107P 习题1.20 12.选用课时作业.§.20.1.平行四边形的判定第二课时.平行四边形的判定（二）＆.教学目标：1.学生通过经历、观察、欣赏、操作，体会一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.经历探究具有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的形状的过程，进一步丰富对图形的认识，发展学生的形象思维和逻辑思维能力.3.通过学生证明具有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，培养他们解决问题的一般策略，进一步发展学生的实践能力.4.通过探究平行四边形的判定方法，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，进一步培养学生克服困难的能力.＆.教学重点、难点：重点：平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 难点：灵活应用平行四边形的判定方法进行证明和计算.＆.教学过程： 一、情景导入1.目前你掌握几种平行四边形的判定方法？（注意利用数形结合加以讲解）2.回顾：平行四边形的对边有什么性质？反过来，一组对边平行且相等的四边形是不是平行四边形？3.你能把命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”写成题目的形式吗？题设是什么？结论是什么？4.思考：你能证明上述问题吗？二、探究新知§.探究平行四边形的判定方法：问题：做一个有一组对边平行且相等的四边形.教学方法：先让学生观察教材101P 图4.1.20，体验作图过程，然后教师讲解作图过程，让学生探索所画四边形的形状.解析：先画两条平行线，再画一条端点在两平行线上的线段，最后用圆规分别在两条平行线上截取相等的线段.思考：把你做的四边形和其它他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形. 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.验证：已知：如图1，在四边形ABCD 中，CD AB //，CD AB .求证：四边形ABCD 是平行四边形.解析：要证明四边形ABCD 是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法.证明：连结AC ∵CD AB //∴21∠=∠（两直线平行，内错角相等） 又∵CD AB //，AC AC = ∴CDA ABC ∆≅∆（SAS ） ∴AD BC =（全等三角形的性质）∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 思考：证明四边形ABCD 是平行四边形是否存在另外的方法？（定义） §.平行四边形的判定定理（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 注意：（1）几何语言表达：∵CD AB //，CD AB = ∴四边形ABCD 是□（2）“平行且相等”常用符号“//”来表示.例如：CD AB //，CD AB =可以记作“CD AB //”，读作AB 平行且等于CD .三、讲解例题，巩固新知 §.例1.如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是对边BC 和AD 上的两点，且CE AF =，求证：（1）四边形AECF 为平行四边形；（2）CF AE =.解析：我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件有CE AF =，若运用现在得到的判定方法，只须证明CE AF //．证明∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD //（平行四边形的对边平行） 即CE AF // 又∵CE AF =∴四边形AECF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．∴CF AE =（平行四边形的对边相等）思 考：可以用其他方法证明吗？哪种方法较为简捷？注意：当所证的命题可以使用多种判定方法证明时，应根据题目的条件选择简捷的证法. 变式题：（1）对于上题，若将条件“CE AF =”改为“AE DF =”，其余条件不变，那么应怎样证明？（2）对于上题，若将条件“CE AF =”改为“F 、E 分别是AD 、BC 的中点”，其余条件不变，那么应怎样证明？§.例2.如图3，在四边形ABCD 中，CD AB //，cm AB 4=，cm CD 8=，E 为CD 的中图 12A D 1B C图 2A F D图 3A B A DB E C图 4图 6A E DOB F CA D图 7点，求证：BC AE =.同步练习：如图4，四边形ABCD 中，BC AD //，3=AD ，8=BC ，在BC 上取一点E ，当EC 等于多少时，四边形ABED 是平行四边形.§.例3.已知：如图5，在ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上的一点，AB EF //，BE DF //.（1）试猜想DF 与AE 的关系； （2）试证明你的猜想的正确性.解析：连结DE 、AF ，易证四边形ADEF 是平行四边形，由平行四边形的性质可得. 猜想：（1）DF 与AE 互相平分. 证明：连结DE 、AF ∵AB EF //，BE DF // ∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴BD EF //又∵D 是AB 的中点 ∴BD AD = ∴AD EF //∴四边形ADEF 是平行四边形 ∴DF 与AE 互相平分方法小结：此题有一定的难度，灵活运用平行四边形的性质和判定方法是关键.证明四边形中的线段的位置关系或等量关系时，可将其转化到全等三角形或平行四边形中进行.同步练习：（1）已知：如图6，在□ABCD 中，E 、F 分别在边AD 、BC 上，且CF AE =，BD 与EF 相交于点O .求证：OF OE =.（2）（2007.乌鲁木齐）如图7，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，DE AB =，DEF B ∠=∠，CF BE =.求证：（1）DEF ABC ∆≅∆；（2）四边形ABED 是平行四边形. 四、巩固练习图 5ADFE图 8M A D PB QC NAF D E BC9教材103P 练习 2五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.理解平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.2.灵活地利用平行四边形的判定定理解决一些简单问题.六、课外作业1.教材107P 习题1.20 12.补充题：（1）如图8，□ABCD 中，对角线AC 的平行线MN 分别交DA 、DC 的延长线于点M 、N ，交AB 、BC 于点P 、Q .证明：NP MQ =.（2）如图9，已知AD BE ⊥，AD CF ⊥，且CF BE =.请你判断AD 是ABC ∆的中线还是角平分线？请说明你判断的理由.§.20.1.平行四边形的判定第三课时.平行四边形的判定（三）＆.教学目标：1.学生通过经历、观察、欣赏、操作，掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”.2.经历探究具有对角线互相平分的四边形是平行四边形的形状的过程，进一步丰富对图形的认识，发展学生的形象思维和逻辑思维能力.3.通过学生证明对角线互相平分的四边形是平行四边形，培养他们解决问题的一般策略，进一步发展学生的实践能力.4.通过学生间的合作探究，培养学生的动手能力和合作精神.＆.教学重点、难点：重点：平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 难点：综合运用平行四边形的判定方法证明或计算.＆.教学过程： 一、情景导入1.目前你掌握几种平行四边形的判定方法？（注意利用数形结合加以讲解）2.回顾：中心对称有那些特征？平行四边形的对角线具有什么样的性质？3.你能写出命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题吗？该命题是真命题吗？4.思考：你能证明上述问题吗？二、探究新知§.探究活动1：操作展示：将两根细木条AC 、BD 的中点重叠，用小钉绞合在一起，再用橡皮筋连接木条的四个顶点，做成一个四边形ABCD （如图1），然后转动两根木条.思考：四边形ABCD 总是平行四边形吗？ 讨论：（1）转动前后的四边形的对角线有什么特点？ （2）转动前、后的四边形的形状有什么共同的地方？ （3）通过目测或简单的测量验证各自的发现与猜想？验证：根据上面的操作，我们表达成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明. 已知：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，CO AO =，DO BO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：要证明四边形ABCD 是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明.§.平行四边形的判定定理（三）：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言表达：∵CO AO =，DO BO =图 1A DOB C图 4A D EHF G A FD O BE C图 5 O ∴四边形ABCD 是□（对角线互相平分的四边形是平行四边形）§.探究活动2：思考：我们知道，通过四边形的边或者是对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.验证：如图2，四边形ABCD 中，C A ∠=∠，D B ∠=∠.求证：四边形ABCD 是平行四边形.教学方法：利用四边形的内角和等于︒360进行证明，由学生自己完成，教师指导点评. 证明：在四边形ABCD 中，︒=∠+∠+∠+∠360D C B A 又∵C A ∠=∠，D B ∠=∠ ∴︒=∠+∠=∠+∠180D A B A ∴BC AD //，CD AB // ∴四边形ABCD 是平行四边形.§.平行四边形的判定定理（四）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言表达：∵C A ∠=∠，D B ∠=∠∴四边形ABCD 是□（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）三、讲解例题，巩固新知§.例1.如图3，在□ABCD 中，点E 、F 分别是对角线AC 上的两点，且CF AE =.求证：（1）四边形BFDE 是平行四边形；（2）DF BE =.解析：连结BD ，交AC 于点O ，由于OD OB =，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形BFDE 是平行四边形最恰当，根据题意只需证明OF OE =.证明：连结BD ，交AC 于点O ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OD OB =，OC OA = ∵CF AE = ∴OF OE =∴四边形BFDE 是平行四边形 ∴DF BE =变式题:对于上题，若将“点E 、F 分别是对角线AC 上的两点，且CF AE =”改为“点E 、F 分别是AO 、CO 的中点”，其余条件不变，请问应怎样证明？ 同步练习：如图4，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.图 2A DB C图 3A DEO FB C§.例2.如图5，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 的延长线及反向延长线上，且DF BE =.求证：CF AE =.解析：连结AC ，交BD 于点O ，可得OD OB =，OC OA =，而DF BE =，故要证CF AE =，连结EC 、AF ，可证四边形AECF 是平行四边形.证明：连结AC ，交BD 于点O ，再连结EC 、AF ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OD OB =，OC OA = 又∵DF BE = ∴OF OE =∴四边形AECF 是平行四边形 ∴CF AE =同步练习：如图6，BC AD //，直线EF 过O 分别交AD 、BC 于E 、F ，且OF OE =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.四、巩固练习教材105P 练习2~1五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.理解平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”及“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”.2.应根据不同题目的不同特点，灵活选择平行四边形的识别方法，并能解决一些简单的问题.六、课外作业1.教材107P 习题1.20 22.选用课时作业.E图 6D COA BF图 1图 2§.20.1.平行四边形的判定第四课时.平行四边形的判定（四）＆.教学目标：1.学生通过对例题的分析与解答，使学生能综合运用平行四边形的性质和判定.2.学生能系统地、全面地运用所学的几何知识.3.通过对例题的解答，培养学生思维的全面性和解题的严谨性，并提高学生的动手能力和空间想象能力.＆.教学重点、难点：重点：对教材例题的分析与解答.难点：对平行四边形的性质与判定的综合运用.＆.教学过程： 一、知识回顾1.平行四边形具有哪些性质？（注意利用数形结合加以讲解）2.平行四边形具有哪些判定？3.平行四边形的性质与判定有什么区别与联系？二、探究新知§.例1.如图1，在□ABCD 中，CH AF =，BG DE =.求证：EG 和HF 互相平分.解析：因为EG 和HF 是四边形EFGH 的对角线，所以要证EG 和HF 互相平分，可以转化为证明四边形EFGH 是平行四边形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC AD =，C AB ∠=∠（平行四边形的对边相等，对角相等） ∵BG DE =∴GB BC DE AD -=-，即CG AE = ∵CH AF =∴CGH AEF ∆≅∆（SAS ） ∴GH EF = 同理可得：HE FG =∴四边形EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∴EG 和HF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）思考：本题除了得到“EG 和HF 互相平分”外，你还能得到些什么结论？图 3D ECF图 4变式题：本题若将“BG DE =”这个条件省略，则题目变形为：如图2，在□ABCD 中，CH AF =，连结AH 、BH 、CF 、DF .求证：EG 和HF 互相平分.同步练习：如图3，在□ABCD 中，延长AD 到F ，使AD DF =，连结BF 交于E ，求证：BF 、CD 互相平分.§.例2.如图4，线段BC 和线段BC 外一点A .求作：以A 为一顶点，以线段BC 为一边的平行四边形.解析：如果连结AB ，那么平行四边形的两边已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点.作法： 1.连结AB ；2.分别以A 、C 为圆心，以BC 、AB 为半径作弧，两弧相交于点D ；3.连结AD 、CD .那么四边形ABCD 就是所求作的平行四边形.如果连结AC ，同理可得四边形AEBC ，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解. 变式题：若将此题变为：经过不在同一直线上的三点A 、B 、C 可以作多少个平行四边形？三、讲解例题，巩固新知 §.例3.如图5，在□ABCD 中，E 是AD 上一定点，F 是线段BC 内一动点，AF 交BE于G ，DF 交CE 于H ，猜想F 在何处时，四边形EGFH 是平行四边形，并证明.解析：由已知四边形ABCD 是平行四边形，观察点F 移动，若EC AF //，类似FD BE //，可得四边形EGFH 是平行四边形.因为BF DE //，只要BF DE =可得.解：（1）猜想：当BF DE =时，四边形EGFH 是平行四边形. （2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BF DE //且BF DE = ∴四边形BEDF 是平行四边形 ∴FD BE //，即FH GE // 同理可得：EH GF // 故四边形EGFH 是平行四边形§.例4.如图6，把一个等腰直角ABD ∆沿斜边上的中线剪开，将分成的两个直角三角形拼成如图6（1）的平行四边形BCD A '.（1）判断四边形BCD A '是平行四边形的依据是 . （2）按上述裁剪的方法，请你借助图6（2）画出一个与图6（1）不同的平行四边形.图 5A E D GHB F C图 6（1）A ′A DAC BD图 6（2）图 7AF EDD C A BEF图 8A DEB C图 9 图10（1）BC PSRBCR图10（2）四、巩固练习教材165P 练习 2~1五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.理解掌握平行四边形的判定方法及平行四边形的性质.2.应根据不同题目的不同特点，灵活选择平行四边形的识别方法，并能解决一些简单的问题.六、课外作业1.教材107P 习题1.20 4~32.补充题：（1）如图7，六边形ABCDEF 每个内角都为︒120，cm AB 1=，cm BC 7=，cm CD 2=，cm DE 4=，试求AF 与EF 的长.（2）（2005年.南京）已知：如图8，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，CE AF =，BE DF =，BE DF //.求证：①CEB AFD ∆≅∆；②四边形ABCD 是平行四边形.（3）（206年.宜宾）如图9，四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F 在直线AC 上，连结BE 、FD ，且FDC EBA ∠=∠.求证：DF BE //.（4）（2007年.安徽）如图10，在四边形ABCD 中，已知CD BC AB ==，BAD ∠和CDA∠均为锐角，点P 是对角线BD 上一点，BA PQ //交AD 于点Q ，BC PS //交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形.①当点P 与点B 重合时，图10（1）变为图10（2），若︒=∠90ABD ，求证：CRD ABR ∆≅∆；②对于图10（1），若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？。