均匀实验设计汇总

均匀实验设计要紧参考文献：1、方开泰. 均匀设计与均匀设计表. 北京：科学出版社，19942、林维萱. 实验设计方式.大连：大连海事大学出版社，19953、栾军. 此刻实验设计优化方式. 上海：上海交通大学出版社，19954、茆诗松等. 回归分析及其实验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981一、均匀设计的概念及特点均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。

1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的实验，希望每一个因素的水平数要多于10，而实验总数又不超过50。

显然，正交实验设计不能用。

关于一个水平数为m的正交实验，至少要做m2次实验，如m=10时，m2=100，即至少要做100次实验，这在实际中是难于实施的。

因此，正交实验设计方式只适用于因素水平数不太多的多因素实验。

正交表的特点是使实验点“均匀分散、整齐可比”。

“均匀分散”即均匀性，使实验点均匀散布在实验范围内，让每一个实验点都具有必然的代表性，能够用部份实验反映全面实验的情形，大大减少实验次数。

“整齐可比”确实是综合可比性，使实验结果的分析十分方便，易于分析各因素及其交互作用对实验指标的阻碍大小及规律性。

可是，为了保证整齐可比性（即“均衡搭配”），对任意两个因素而言，必需是全面实验，每一个因素的水平必需有重复。

如此，实验点在实验范围内就不能充分均匀分散，实验点就不能太少。

综上所述，正交实验为了保证“整齐可比”，使均匀性受到了必然限制，使实验点的代表性还不够强，实验次数不能充分地少，若是不考虑整齐可比（即综合可比）性，而完全保证均匀性，让实验点在实验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少实验点，而且仍能取得反映实验体系要紧特点的实验结果。

这种从均匀性动身的实验设计，称为均匀实验设计。

均匀实验设计的最大优势是能够节省大量的实验工作量，尤其在实验因素水平较多的情形下，其优势更为明显。

例如，一个四因素七水平实验，进行一轮全面实验要做74=2401次，用正交实验也至少要做72 = 49次，而用均匀实验那么仅需7次。

因此，关于水平数很多的多因素实验，关于实验费用昂贵或实际情形要求尽可能少做实验的场合，关于挑选因素或收缩实验范围进行慢慢寻优的场合，均匀设计都是十分有效的实验设计方式。

由于均匀设计没有整齐可比性，因此实验结果的处置不能采纳方差分析法，而必需用回归分析。

因此，实验数据处置较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。

关于发明均匀设计法的那个年代（1978年），运算机应用尚未普及，这确实是一个大难题，但关于运算机十分普及的今天，那么已不是一个难题。

再说，多分析数据比多做实验，一样来讲要更为经济。

二、均匀设计表及其利用表与正交实验设计相似，均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排实验的，这种表称为均匀设计表。

均匀设计表是依照数论方式在多重数值积分中的应用原理构造的，它分为等水平和混合水平两种。

1、等水平均匀设计表等水平均匀设计表用U n (m k)表示，其中各符号的意义如下：因素数k)n因素水平数表1为U6(64)均匀设计表，最多可安排4个因素，每一个因素6个水平，共做6次实验。

等水平均匀设计表具有如下特点：(1)每一个因素的每一个水平只做一次实验；(2)任意两个因素的实验点画在平面格子点上，每行每列恰好有一个实验点。

如表U6(64)的第1列和第3列点成图1(a)所示。

表1 U6(64) 均匀表表2 U6(64) 利用表图1 均匀表不同列组合的均匀性上述两个特点反映了实验安排的均衡性，即对各因素，每一个因素的每一个水平一视同仁。

(3) 等水平均匀表任两列之间不必然是平等的。

例如，用U6(64) 的第一、3和第一、4列别离画图，得图1（a）和图1（b）。

可见图1（a）的点散布比较均匀，而图1（b）的点那么散布不均匀。

均匀设计表的这一性质与正交表有专门大不同，因此，每一个均匀设计表必需有一个附加的利用表，以帮忙咱们在均匀设计时如何选列来安排各个因素。

表2为U 6(64) 的利用表，它告知咱们在利用U 6(64) 进行均匀设计时，假设只有2个因数时，那么应安排在第一、3列；假设有3个因数，那么应安排在第一、二、3列。

表2中最后一列D 表示刻划均匀度的误差（discrepancy ）, D 值越小，均匀度越好。

(4) 等水平均匀表的实验次数与该表的水平数相等。

当水平数增加时，实验数按水平数的增加量在增加。

如水平数m 从9增加到10时，实验数n 也从9增加到10。

但关于等水平正交实验，当水平数从9增加到10时，实验数将从81增加到100，按平方关系增加。

可见，均匀设计中增加因素水平常，仅使实验工作量稍有增加，这是均匀设计的最大优势。

(5) 水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间，具有确信的关系。

将奇数表去掉最后一行，就取得水平数比原奇数表少1的偶数表，相应地，实验次数也少，而利用表不变。

例如，将U 7(76)去掉最后一行，就取得了U 6(66), 利用表不变。

因此，许多书上只给出水平数为奇数的均匀设计表。

(6) 均匀表中各列的因素水平不能象正交表那样能够任意改变顺序，而只能依照原先的顺序进行滑腻。

确实是将原先的最后一个水平与第一个水平衔接起来，组成一个封锁圈，然后从任一处开始定为第一水平，按圈子的方向或相反方向，排出第二水平、第三水平，… …。

2、 混合水平均匀设计表混合水平均匀设计表用于安排因素的水平不相同的均匀实验，其一样形式为U (),321321kk k nm m m⨯⨯式中n 为实验次数，321m m m 、、为列的水平数，321k k k 、、别离表示水平数为321m m m 、、的列的数量。

混合水平均匀设计表是从等水平的均匀设计表，利用拟水平的方式取得的。

设某实验需考察A、B、C三个因素，A、B取三个水平，C取二个水平。

那个实验能够用正交表L18(2×37)来安排，这等价于全面实验，而且不可能找到比L18(2×37)更小的正交表来安排那个实验。

那么，是不是能够用均匀设计来安排那个实验呢?？直接运用是有困难的，但可采纳拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。

咱们选均匀表U6(66)，按利用表的推荐用一、二、3前三列。

现将第一、2列的水平作如下改造：{1，2} −→ 1，{3，4} −→ 2，{5，6} −→ 3第3列的水平作如下改造：{1，2，3} −→ 1，{4，5，6} −→ 2如此，便取得了一个混合水平的均匀设计表U6(32×21)，见表3。

把因素A、B、C依次放在U6(32×21)的第一、二、3列上即可。

表3有专门好的均衡性（即正交表所具有的均衡搭配性质），如第一、3两列和第二、3两列的所有水平均显现且只显现一次，可惜的是并非是每一次作拟水平设计都能这么好。

表3 拟水平设计U6(32×21)用拟水平法构造混合水平均匀设计表时，为使生成的混合水平表有较好的均衡性，不能按利用表的指示选择列，应当通过比较确信选用哪些列去生成混合水平表，使得所生成的混合水平表既有好的均衡性，又使误差（D值）尽可能地小。

为了利用方便，书上的附录（《实验设计方式》附表9，pp.338-339）给出了经常使用的混合水平表的拟水平构造指导表，按指导表生成的混合水平均匀表的均衡性最好。

可是，假设在指导表中查不到，那只好按利用表的指示去构造了。

固然，如此取得的混合水平表，其均衡性不必然是最好的。

也有一些书上直接给出了已构造好的混合水平均匀设计表。

三、均匀实验设计的大体方式均匀实验设计的大体步骤与正交实验设计一样，也包括实验方案设计与实验结果分析两部份。

1 实验方案设计（1）确信实验指标；（2）选择实验因素；（3）确信因素水平：关于均匀设计，因素水平范围能够取宽一些，水平数可多取一些；（4）选择均匀设计表及表头设计。

依如实验因素数、实验次数和因素水平数选择均匀设计表。

均匀实验结果不能用方差分析法处置，只能用多元回归分析法处置。

假设各因素（x1，x2，…，x k）与响应值y之间的关系是线性的，那么多元线性回归方程为：m m x b x b x b b y++++= 22110ˆ (1)为求出这m 个回归系数b i （i=1,2，…，m ），就要列出m 个方程（b 0可由这m 个回归系数求出）。

为了对求得的方程进行查验，还要增加二次实验，共需m+2次实验，现在的剩余自由度1=剩f ，为使F 查验法具有足够的灵敏度，应做到2≥剩f ，故至少还应再增加一次实验，因此应选择实验次数n 大于或等于m +3的均匀设计表。

∵回归方程是线性的，∴方程个数m = 因素个数k 。

（∵321,1+≥≥--=-=∴=-=m n m n f f f m f n f ，即，回总剩回总）。

当各因素与响应值的关系为非线形时，或因素间存在交互作历时，可回归为多元高次方程。

例如，当各因素与响应值均为二次关系时，回归方程为：∑∑∑====+++=ki i ii T j i j i T ki i i x b x x b x b b y121,110ˆ(2)式中 2)1(-=k k T 式（2）中的x i x j 反映因素间的交互作用，2i x 反映因素二次项的阻碍，回归系数共计为（不计常数项b 0）:2)1(-++=k k k k m 其中k 为因素个数，最后一项为交互作用项个数。

因此，为了求得二次项和交互作用项，同时为了使2≥剩f ，现在与前面一样，必需选用实验次数大于回归方程系数总数的均匀设计表，即应做到3+≥m n 。

均匀设计表选定后，接下来进行表头设计，假设为等水平表，那么依照因素个数在利用表上查出安排因素的列号，再把各因素依其重要程度为序，依次排在表上；假设为混合水平均匀设计表，那么按水平把各因素别离安排在具有相应水平的列中。

（5）、制定实验方案表头设计好后，各因素所在列已确信，将各因素列的水平代码换成相应因素的具体水平值，即得实验设计方案。

应该指出，均匀设计表中的空列（即未安排因素的列），既不能用于考察交互作用，也不能用于估量实验误差。

2实验结果分析(1) 直观分析法从已做的实验点中挑一个指标值最好的实验点，用该点对应的因素水平组合作为较优工艺条件，该法要紧用于缺乏计算工具的场合。

(2) 回归分析法通过回归分析，可解决如下问题：i)、取得因素与指标之间的回归方程；ii)、依照标准回归系数的绝对值大小，得出各因素对实验指标阻碍的主次顺序；iii）、由回归方程的极值点，可求得最优工艺条件。

四、均匀实验设计应用实例参见《实验设计方式》(林维宣, 1995)例1二因素九水平均匀实验(p 242)选U9(96)均匀设计表，由利用表知二个因素应排在第一、3列。

进行二元一次线性回归分析。