均匀设计和均匀设计软件讲解
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2.3 均匀设计表的使用表的产生方法
每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于 进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的 原因是：从均匀设计表Un(nm)中选出 s列, 则可能 的选择有(ms)种， 但不同列组合起来所代表的点 集的均匀性是不同的，所设计试验的效果也是不 同的，因而如何选用均匀设计表中的列必须引入 一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的 准则很多,其中偏差(discrepancy)是使用历史最 久、最为广泛接受的方法，均匀设计也同样采用 偏差来衡量其设计表的均匀性，偏差越小，则设 计表的均匀性越好。
2.2 均匀设计表的构造方法（续2）
这时 n一定可以表示为不同数的方幂积，即： n=p1l1p2l2…psls,这里p1,…,ps 为不同的素数， l1,…,ls为正整数，这时E(n)=n(1-1/p1)…(11/ps),例如n=12可表为n=22×3,于是E(12)=12(11/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三 种情形中以 n为素数时最好，最多可以有n-1列， 非素数时表的结构中永远不可能有 n-1列，比如 E(6)=2，则最多只能安排两个试验因素，为此, 王元和方开泰建议，用 Un+1 表划去最后一行构造 形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。
S
列号
2 15
3 145
4 1345
5 12345
6 123456
D 0.1632 0.2649 0.3528 0.4286 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表 的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表s一栏的数 字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行 试验时该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表不同因素 数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均 匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。
1.2 均匀设计的特点
均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及 本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表 性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡 分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设 计 (Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代 表点的，它在挑选代表点时有两个特点: 均匀分 散，整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布 在试验范围内，让每个试验点有充分的代表 性,“整齐可比” 使试验结果的分析十分方便， 易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而 可分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但 是，为了
3.1 试验设计的共性问题（续1）
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法(续2)
均匀设计表U13*(134)和它的使用表及3因素时各次试验的因素水平组合方式
1 2 34
1
2 3 1 5 9 11 4 2 10 4 8 5 3 1 13 5 64 6 82 7 5 11 3 13 8 6 2 12 10 97 7 77 1 8 12 2 4 0 9 3 11 1 1 10 8 6 12 1 11 13 1 9
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、回归正交试验 设计、旋转设计、D-最优设计等）过程必然离不 开试验基础内容的构思（试验的评价指标；试验 的因素、水平的选择和试验次数的拟定）、试验 结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素 和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键， 下列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
1.2 均匀设计的特点（续2）
的最大不同之处。采用均匀设计，每个因素的每 个水平仅做一次试验，当水平数增加时，试验数 随水平数增加而增加，若采用正交设计，试验数 则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需 做961次5因素31水平的试验，采用均匀设计只需 做31次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不 再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果 的处理要采用回归分析方法—线性回归或多项式 回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归 显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定 该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系
均匀设计和均匀设计软件
Uniform Design and it’s Software
王玉方 2003年6月16日
报告的主要内容
均匀设计的概念、特点、原理 均匀设计的具体应用方法 均匀设计软件
关键词
均匀设计 Uniform Design
试验法
Experimentation
均匀设计软件 Uniform Design Software
因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
2.4 混合水平均匀设计表的产生方法
上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下 的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要 采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平 的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用 的拟水平法。一个试验次数为 n的设计表，试验 因素中某个或几个因素的水平数不足n,为m(n 必 须为 m的整数倍),则将设计表中代表该因素的水 平合并，具体的合并方法是：设 i为该试验因素 的第 i水平(i=1,2,…,n)，将 i从小到大分成 m 组，每组有n/m个i,用 i所在的组的数值 m代替 设计表中的 i,这样就形成了混合水平设计表混 合水平的设计表的例子如下：
2.2 均匀设计表的构造方法（续1）
用上述方法生成的表记作Un(nm),例如n=11时， 可以形成象前面介绍的U11(116)表。向量h称为该 表的生成向量，可以将Un(nm)记成Un(h)。给定n, 相应的 h可以用上面的方法求得，从而 m也就确 定了，所以 m是 n的一个函数，称为欧拉函数， 记为E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可 能有多少列。根据数论结果可知：(1)当n为素数 时,E(n-1)=n-1;(2)当n为素数幂时,即n可表示成 n=pl,这里p为素数,l为正整数，E(n)=n(1-1/p)， 如n=9,可表为n=32,于是 E(9)=9(1-1/3)=6,即U9 最多可以有6列;(3)若 n不属于上述两种情况，
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116)
U11(116)的使用表
123456
1 1 2 3 5 7 10 2 2 4 6 10 3 9 3 3 6 9 4 10 8 4 481967 5 5 10 4 3 2 6 6 617895 7 7 3 10 2 5 4 8 852713 9 975182 10 10 9 8 6 4 1 11 11 11 11 11 11 11
1.2 均匀设计的特点（续1）
照顾“整齐可比”,它的试验点并没有能做到充 分 “均匀分散”;为了达到“整齐可比”，试验 点的数目就必须比较多(例如用正交表安排每因 素为q个水平数的多因素试验,试验的次数为rq2,r 为自然数)。均匀设计只考虑试验点在试验范围 内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”,因 此它的试验布点的均匀性会比正交设计试验点的 均匀性更好，使试验点具有更好的代表性。由于 这种方法不再考虑正交设计中为“整齐可比”而 设置的实验点，因而大大减少了试验次数，这是 它与正交试验设计法
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法（续1）
由于这个报告的目的是向大家介绍这种试验 方法，而且关于偏差计算的内容也很多，因而关 于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方 法在此不做介绍（有特别需要者可以参见参考文 献[1] ）使用者只需要按每个均匀设计表所附的使 用表进行试验安排即可。比如，欲进行一个３因 素、每因素13水平的试验，可以选用均匀设计表 U13*(134)，使用表中推荐的列为1,3,4,则所有13 次试验时各因素的水平组合为：
359
1 359 2 6 10 7 3 945 4 193 5 431 6 7 8 10 7 10 2 8 8 276 9 514 10 8 6 2
123
1 335 2 654 3 923 4 152 5 421 6 745 7 10 1 4 8 243 9 512 10 8 3 1
3 均匀设计的应用方法
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精 心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用 Un(qs)或 Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均匀设计,ｎ代 表要做的试验次数,ｑ代表每个因素有ｑ个水平， ｓ代表该表有ｓ列，有＊和无＊代表的是用两种 不同类型的均匀设计表,＊类型表是由Un+1类型的 表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以 下用均匀设计表U11(116)、U9*(94)和它们各自的 使用表介绍一下表的各部分代表的意义(表中未 用列已经删除)：
2.4 混合水平均匀设计表的产生方法(续1)
用U10*(108)产生3因素的U10(10×52)的过程
用U11构造U10→计算出U10中的3列→形成拟水平均匀设计表U10(10×52)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 4 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 5 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 7 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 8 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 9 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
1.2 均匀设计的特点（续3）
时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验 指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才 能完成。
2 均匀设计的原理
均匀设计表和使用表各部分的含义 均匀设计表的构造方法 均匀设计表的使用表的产生方法 混合水平均匀设计表的产生方法
2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义
1 什么是均匀设计
均匀设计的概念 均匀设计的特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计 方法(Experimental Design Method),称为均匀 设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。所有的试 验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选 代表性点的方法，均匀设计也不例外，它是只考 虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计 方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年共 同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的 一个应用。
1 12 4 10 6 2 13 9 5 3 1 3
S
2
1
3
1
4
1
试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
列号
3
3
4
2
3
D
0.0962
0.1442
4
0.2076
因素1选用水平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
因素2选用水平 9 4 13 8 13 12 7 2 11 6 13 10 5
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表U9*(94)
U9*(94)的使用表
1234
s
列号
1 1379
2
1
2
2 2468
3
2
3
4
3 3917
4 4286
5 5555
6 6824
7 7193
8 8462
9 9731
D 0.1574 0.1980
2.2 均匀设计表的构造方法
用好格子点法(Good Lattice Point)构造均 匀设计表的方法如下： (1) 定义试验次数n,寻求比ｎ小的整数h,且使ｎ 和ｈ的最大公约数为1,符合这些条件的正整数组 成一个向量h=(h1,…,hm)； (2) 均匀设计表的第ｊ列由uij=ihj[mod n](同余 运算) 产生，若jhi超过 n,则用它减去 n的一个 适当的倍数，使差落在[1,n]之中。uij可以递推 来生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者 ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，这里i=1,…,n-1。
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法
每个均匀设计表都规定了它的使用表，用于 进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的 原因是：从均匀设计表Un(nm)中选出 s列, 则可能 的选择有(ms)种， 但不同列组合起来所代表的点 集的均匀性是不同的，所设计试验的效果也是不 同的，因而如何选用均匀设计表中的列必须引入 一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的 准则很多,其中偏差(discrepancy)是使用历史最 久、最为广泛接受的方法，均匀设计也同样采用 偏差来衡量其设计表的均匀性，偏差越小，则设 计表的均匀性越好。
2.2 均匀设计表的构造方法（续2）
这时 n一定可以表示为不同数的方幂积，即： n=p1l1p2l2…psls,这里p1,…,ps 为不同的素数， l1,…,ls为正整数，这时E(n)=n(1-1/p1)…(11/ps),例如n=12可表为n=22×3,于是E(12)=12(11/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三 种情形中以 n为素数时最好，最多可以有n-1列， 非素数时表的结构中永远不可能有 n-1列，比如 E(6)=2，则最多只能安排两个试验因素，为此, 王元和方开泰建议，用 Un+1 表划去最后一行构造 形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。
S
列号
2 15
3 145
4 1345
5 12345
6 123456
D 0.1632 0.2649 0.3528 0.4286 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平，但具体代表 的是哪个因素的水平，需按使用表确定，使用表s一栏的数 字是试验的因素数，它后面的数字指定了各种因素数进行 试验时该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表不同因素 数选择设计表的不同列时均匀设计的偏差，偏差越小，均 匀性越好，试验成功的几率和结果的可靠性越大。
1.2 均匀设计的特点
均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及 本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表 性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡 分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设 计 (Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代 表点的，它在挑选代表点时有两个特点: 均匀分 散，整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布 在试验范围内，让每个试验点有充分的代表 性,“整齐可比” 使试验结果的分析十分方便， 易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而 可分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但 是，为了
3.1 试验设计的共性问题（续1）
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法(续2)
均匀设计表U13*(134)和它的使用表及3因素时各次试验的因素水平组合方式
1 2 34
1
2 3 1 5 9 11 4 2 10 4 8 5 3 1 13 5 64 6 82 7 5 11 3 13 8 6 2 12 10 97 7 77 1 8 12 2 4 0 9 3 11 1 1 10 8 6 12 1 11 13 1 9
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、回归正交试验 设计、旋转设计、D-最优设计等）过程必然离不 开试验基础内容的构思（试验的评价指标；试验 的因素、水平的选择和试验次数的拟定）、试验 结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素 和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键， 下列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
1.2 均匀设计的特点（续2）
的最大不同之处。采用均匀设计，每个因素的每 个水平仅做一次试验，当水平数增加时，试验数 随水平数增加而增加，若采用正交设计，试验数 则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需 做961次5因素31水平的试验，采用均匀设计只需 做31次试验，其效果基本相同。由于均匀设计不 再考虑正交试验的整齐可比性，因此其试验结果 的处理要采用回归分析方法—线性回归或多项式 回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归 显著性检验，根据因素偏回归平方和的大小确定 该因素对回归的重要性；在各因素间无相关关系
均匀设计和均匀设计软件
Uniform Design and it’s Software
王玉方 2003年6月16日
报告的主要内容
均匀设计的概念、特点、原理 均匀设计的具体应用方法 均匀设计软件
关键词
均匀设计 Uniform Design
试验法
Experimentation
均匀设计软件 Uniform Design Software
因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
2.4 混合水平均匀设计表的产生方法
上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下 的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要 采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平 的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用 的拟水平法。一个试验次数为 n的设计表，试验 因素中某个或几个因素的水平数不足n,为m(n 必 须为 m的整数倍),则将设计表中代表该因素的水 平合并，具体的合并方法是：设 i为该试验因素 的第 i水平(i=1,2,…,n)，将 i从小到大分成 m 组，每组有n/m个i,用 i所在的组的数值 m代替 设计表中的 i,这样就形成了混合水平设计表混 合水平的设计表的例子如下：
2.2 均匀设计表的构造方法（续1）
用上述方法生成的表记作Un(nm),例如n=11时， 可以形成象前面介绍的U11(116)表。向量h称为该 表的生成向量，可以将Un(nm)记成Un(h)。给定n, 相应的 h可以用上面的方法求得，从而 m也就确 定了，所以 m是 n的一个函数，称为欧拉函数， 记为E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可 能有多少列。根据数论结果可知：(1)当n为素数 时,E(n-1)=n-1;(2)当n为素数幂时,即n可表示成 n=pl,这里p为素数,l为正整数，E(n)=n(1-1/p)， 如n=9,可表为n=32,于是 E(9)=9(1-1/3)=6,即U9 最多可以有6列;(3)若 n不属于上述两种情况，
均匀设计表U11(116)和它的使用表
均匀设计表 U11(116)
U11(116)的使用表
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1 1 2 3 5 7 10 2 2 4 6 10 3 9 3 3 6 9 4 10 8 4 481967 5 5 10 4 3 2 6 6 617895 7 7 3 10 2 5 4 8 852713 9 975182 10 10 9 8 6 4 1 11 11 11 11 11 11 11
1.2 均匀设计的特点（续1）
照顾“整齐可比”,它的试验点并没有能做到充 分 “均匀分散”;为了达到“整齐可比”，试验 点的数目就必须比较多(例如用正交表安排每因 素为q个水平数的多因素试验,试验的次数为rq2,r 为自然数)。均匀设计只考虑试验点在试验范围 内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”,因 此它的试验布点的均匀性会比正交设计试验点的 均匀性更好，使试验点具有更好的代表性。由于 这种方法不再考虑正交设计中为“整齐可比”而 设置的实验点，因而大大减少了试验次数，这是 它与正交试验设计法
2.3 均匀设计表的使用表的产生方法（续1）
由于这个报告的目的是向大家介绍这种试验 方法，而且关于偏差计算的内容也很多，因而关 于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方 法在此不做介绍（有特别需要者可以参见参考文 献[1] ）使用者只需要按每个均匀设计表所附的使 用表进行试验安排即可。比如，欲进行一个３因 素、每因素13水平的试验，可以选用均匀设计表 U13*(134)，使用表中推荐的列为1,3,4,则所有13 次试验时各因素的水平组合为：
359
1 359 2 6 10 7 3 945 4 193 5 431 6 7 8 10 7 10 2 8 8 276 9 514 10 8 6 2
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1 335 2 654 3 923 4 152 5 421 6 745 7 10 1 4 8 243 9 512 10 8 3 1
3 均匀设计的应用方法
均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精 心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用 Un(qs)或 Un*(qs)表示,其中Ｕ代表均匀设计,ｎ代 表要做的试验次数,ｑ代表每个因素有ｑ个水平， ｓ代表该表有ｓ列，有＊和无＊代表的是用两种 不同类型的均匀设计表,＊类型表是由Un+1类型的 表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以 下用均匀设计表U11(116)、U9*(94)和它们各自的 使用表介绍一下表的各部分代表的意义(表中未 用列已经删除)：
2.4 混合水平均匀设计表的产生方法(续1)
用U10*(108)产生3因素的U10(10×52)的过程
用U11构造U10→计算出U10中的3列→形成拟水平均匀设计表U10(10×52)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 4 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 5 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 7 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 8 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 9 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
1.2 均匀设计的特点（续3）
时，因素偏回归平方和的大小也体现了它对试验 指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才 能完成。
2 均匀设计的原理
均匀设计表和使用表各部分的含义 均匀设计表的构造方法 均匀设计表的使用表的产生方法 混合水平均匀设计表的产生方法
2.1 均匀设计表和使用表各部分的含义
1 什么是均匀设计
均匀设计的概念 均匀设计的特点
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计 方法(Experimental Design Method),称为均匀 设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。所有的试 验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选 代表性点的方法，均匀设计也不例外，它是只考 虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计 方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年共 同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的 一个应用。
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试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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0.0962
0.1442
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0.2076
因素1选用水平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
因素2选用水平 9 4 13 8 13 12 7 2 11 6 13 10 5
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表U9*(94)
U9*(94)的使用表
1234
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列号
1 1379
2
1
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2 2468
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3 3917
4 4286
5 5555
6 6824
7 7193
8 8462
9 9731
D 0.1574 0.1980
2.2 均匀设计表的构造方法
用好格子点法(Good Lattice Point)构造均 匀设计表的方法如下： (1) 定义试验次数n,寻求比ｎ小的整数h,且使ｎ 和ｈ的最大公约数为1,符合这些条件的正整数组 成一个向量h=(h1,…,hm)； (2) 均匀设计表的第ｊ列由uij=ihj[mod n](同余 运算) 产生，若jhi超过 n,则用它减去 n的一个 适当的倍数，使差落在[1,n]之中。uij可以递推 来生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hj≤n)或者 ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hj>n)，这里i=1,…,n-1。