均匀设计法

(8 6)
L11b1
L1M bm L1y
L21b1
L2mbm L2 y
Lm1b1
Lmmbm Lmy
_N
_
b0 y bi yi
i 1
（8－7）
当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素
的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法
例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：
这时收率大于前面所讲的用U表安排的7号试验的结果
棗 48.2%，达到了优化的目的
例.均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用
• 1. 均匀设计表的选取 • 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固
定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠25g/L，醋酸钠25g/L。 考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个 因素，每个因素取值范围为t个水平（t 为实验次数），4 个因素的一次项及二次项各有4项，4项因素间的两两交互 作用设有6项，共14项，实验数不能小于14，本实验选用 U17（178）表。
▪ 均匀设计法愈正交设计法的不同：
▪ 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点 在试验范围内充分“均衡分散”
▪ 均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的 范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后 用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有 关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用， 乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40 年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法 的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率 问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题， 这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多 重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组 随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于 随机数的均匀性与独立性。
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
就可能得到能满足需要的结果
▪ 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因 素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数 又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与 王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计， 即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了 成效
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
▪
▪
可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验
结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试
验的次数也会很大。如5因素5水平，用正交表需要安排55
＝25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验
因素，每个因素的每个水平一视同仁。
▪ 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
▪ 例如用U6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的 点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大 的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
这时这三个t值遵从含四个自由度的t分布，临界值为 t4 (0.05) 2.78,从而X1应从方程中剔除，然后对Y和X3 建立回归方程
Y 0.2141 0.079X3
(8 13)
这里t3 3.34 t5(0.05) 2.57, 0.063。因此，回归方
程(8-13)并非真正的最终模型，而是在线性框架下的
U7(76)使用表
列号
2
13
3
12 3
4
12 3 6
5
12 3 46
6
12 3 456
U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应 该取1，2，3列安排试验。
制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果
No.
配比 吡啶量 反应时 收率
（A） （B） 间（C） （Y）
1
1.0(1) 13(2) 1.5(3) 0.330
_
x1 2.2
_
x2 19
_
x3 2.0
_
y 0.3683
L11 4.48 L12 16.8 L12 1.4 L1y 0.2404
L22 252.0 L23 10.5 L2 y 0.5640
L33 7.0 L3y 0.5245
由于Lij
L
，故不必全部列出，将它们代入方程组中
✓ 根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后 一列，其中以第7号试验为最好，其工艺条件为配 比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。
✓ 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
解：这时n＝7，7组观测值为(0.330,1.0,13,1.5),(0.336，1.4, 19,3.0） (0.482,3.4,29,3.5),它们的均值Lij为：
m
T
m
y=b0 bi xi bij xi x j bii xi2
i1
i1
i1
j1
(T Cm2 )
(8 9)
其中xi x j反映了因素间的交互效应，xi2反映因素的二次项效应
，通过变量代换(8-9)式可化为多元线性方程求
解。
即令
x1 xi x j (i 1, 2, m; j 1) (8 10)
用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将 这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排 好了
▪ 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选 取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三个 因素，它们各取了7个水平如下：
✓ 原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 ✓ 吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 ✓ 反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5
最终产物。
上述的分析只发现X3对Y有显著作用，其它两个因素均 没有显著作用，该结论与实际经验不吻合，因此猜想用
线性模型不一定符合实际。
于是进一步考虑二次回归模型
m
m
Y 0
i Xi
ii
X
2 i
ij X i X j
i 1
i 1
i j
(8 14)
这时方程中有9项（不算0）。利用逐步回归技术求得回
ji
可以解得
从而
b1 0.037,b2 0.00343,b3 0.077
a 0.3683 0.037 2.2 0.0034319 0.077 2.0 0.201
的估计 0.07,于是回归方程为：
Y 0.201 0.037X1 0.00343X2 0.0077X3 (8 12) 进一步对它做方差分析，其方差分析表如下：
• 三、试验结果分析
• 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果 不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分 析或逐步回归分析的方法：
^
y b0 b1x1 b2x2 bm xm
(8 1)
令xik 代表因素xi在第k次试验时取的值，yk 表示响应值
y在第k次试验的结果。
Lij
n k 1
方差分析表
方差来源 自由度 平方和
均方
F
回归
3
0.048770 0.016257
3.29
误差
Leabharlann Baidu
3
0.014838 0.004946
总和
6
0.063608
当 0.05时F表的临界值 Fm,nm1( ) F3,3(0.05) 9.28 F 3.29
回归方程不可信。
• 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：
值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显
著。今 均小于(0.05)=3.18 ，说明回归方程(2.18)的三个
变量至少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的X2 删去，重新建立Y和X1及X3的线性回归方程，得
Y 0.169 0.0251X1 0.0742X3
2 0.065262,三个t值分别为t0 2.12,t1 0.79,t3 2.91,
▪ 设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将 所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有 显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显 著贡献为止。
▪ 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程， 得(2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的t值， t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本 例有
反应时间0.5-3.5时，求方程(8-15)中Yˆ的极大值。
此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于X在试
验范围内极大值3.4，将X1＝3.4代入(8 15)得
Yˆ
0.06232
0.3309
X3
0.06
X
2 3
令 Yˆ / X3 0，解得0.3309-0.12X3 0,X3 2.7575
这时Yˆ的极大值为51.85%。
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
•
逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术.开始它
将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个
阈值Fin和Fout，用于决定变量能否入选或剔除.逐步回归在 每一步有三种可能的功能：
✓ 将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于Fin ✓ 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于Fout ✓ 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。
归方程如下：
Y
0.06232
0.251X 3
0.06
X
2 3
0.0235X1X 3
(8 15)
其响应的 0.0217, R2 97.77。
显然，回归方程(8-15)的效果优于(8-13)。该方程表明
因素X3和交互作用X1 X3对Y有显著的影响
(8-15)方程要求我们在配比1.0-3.4，吡啶量10-28，
• 二、均匀设计表
▪ 均匀设计表符号表示的意义
因素数
均匀表的代号
U7(76)
因素的水平数 试验次数
图9-1 两因素均匀设计布点图
▪ 如U6(64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平， 该表有4列。
U6(64)
列号 试验号
1
2
3
4
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
3
3
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
▪ 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表 中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。 下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1， 3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…， 最后1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小， 表示均匀度越好。
U6(64)的使用表
s列
号
D
213
0.1875
312 3
0.2656
4
1
2
3
4
0.2990
• 均匀设计有其独特的布（试验）点方式：
▪ 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验
▪ 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且 仅有一个试验点
▪
以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各
•
t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77
•
这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（Y）影
响最大，配比次之，吡啶量最小。
•
这些t 值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。 若取
α=0.05 ，这时n=7,m=3, tn-m-1= 的临界值t3(0.05)=3.18。t
▪ 7个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们可以 选用U7(76)完成该试验。
U7(76)
1 列号
试验号
2
3
4
5
6
11 2 3 6 5 6
22 4 6 5 3 5
33 6 2 4 1 4
44 1 5 3 6 3
55 3 1 2 4 2
66 5 4 1 2 1
77 7 7 7 7 7
因素数