新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测B(1)

第二章检测(B )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知向量a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),则a (b ·c )=( )A .(-2,4)B .(-10,-20)C .(2,-4)D .(10,20)解析:∵a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),∴a (b ·c )=-10a =(-10,-20). 答案:B2已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A .(35,-45)B .(45,-35)C .(-35,45)D .(-45,35)解析:与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=(3,-4)√3+(-4)=(35,-45),故选A .答案:A3设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点P 的坐标为( ) A .(3,1) B .(1,-1) C .(3,1)或(1,-1)D .无数多个解析:设P (x ,y ),由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y), ∴由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=2(x-2,y ),x=3,y=1,得P (3,1). 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=-2(x-2,y ),x=1,y=-1,得P (1,-1). 答案:C4若向量α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( ) A .(2,0)B .(0,-2)C .(-2,0)D .(0,2)解析:∵a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).设a =x m +y n ,则a =(-x+y ,x+2y )=(2,4),即{-x +y =2,x +2y =4,解得{x =0,y =2,∴a 在基底m ,n 下的坐标为(0,2). 答案:D5在平面直角坐标系xOy 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,k),若三角形ABC 是直角三角形,则k 的可能值的个数是( ) A .1B .2C .3D .4解析:若∠A=90°,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0,k =−6; 若∠B=90°,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,6+k −5=0,k =−1;若∠C=90°,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,k2−k +3=0,无解. 综上,k 可能取-6,-1两个数.故选B . 答案:B6在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C,D 不重合),若AO⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的取值范围是( ) A .(0,12)B.(0,13)C .(-12,0)D.(-13,0)解析:由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2xCD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),∴0<-2x<1,∴−12<x <0.答案:C7已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE=λBC ,DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23,则λ+μ=( ) A .12B.23C.56D.712解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗=2×2×cos120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1, 所以4(λ+μ)-2λμ=3.由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)=−23, 所以λμ=λ+μ−23,因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43=3,解得λ+μ=56,故选C .答案:C8在△ABC 中,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,则△ABC 为( )A .等边三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .三边均不相等的三角形解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量,故由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点),所以△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,所以∠BAC=60°,所以△ABC 为等边三角形. 答案:A9若a ,b 是两个不共线的非零向量,a 与b 的起点相同,已知a ,t b ,13(a +b )三个向量的终点在同一条直线上,则t=( )A .13B.12C.23D.1解析:设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a +b )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13tOB ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵A,B,C 三点共线,∴13+13t=1,t =12.答案:B10已知点A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在l 上,且实数x 满足x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则由实数x 组成的集合为( ) A.⌀B.{-1}C .{-1-√52,-1+√52}D.{−1,0} 解析:由于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则存在实数λ,使AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有λOA⃗⃗⃗⃗⃗ −λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,由于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,又x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{x 2=λ,x =-λ.由于AC⃗⃗⃗⃗⃗ 是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以实数x 满足x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0的集合为⌀. 答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知O 是直角坐标系的原点,A (2,2),B (4,1),在x 轴上有一点P ,使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,则点P 的坐标为 .解析:设P (x ,0),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3)2+1,故当x=3时取到最小值,故P (3,0). 答案:(3,0)12在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,√3),C(3,0),动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是 . 解析:设动点D (x ,y ),则由|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-3)2+y 2=1,D 点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆. 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y +√3), 所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x -1)2+(y +√3)2,故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为点(3,0)与(1,−√3)之间的距离与1的和,即√(3-1)2+(0+√3)2+1=1+√7. 答案:1+√713在以OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k),则实数k = . 解析:∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k)−(−3,1)=(1,k −1). 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为矩形相邻两边所对应的向量,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×1+1×(k −1)=−4+k =0, 即k=4. 答案:414如图,点A ,B 是圆O 上的两点,∠AOB=60°,点D 是圆O 上异于A ,B 的任意一点,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ与λ的关系是 .解析:设圆的半径为r ,则OA=OB=OD=r.∵OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2, 即r 2=μ2r 2+2λμr 2·cos60°+λ2r 2, 整理得μ2+λ2+λμ=1. 答案:μ2+λ2+λμ=115如图,在平面斜坐标系xOy 中,∠xOy=60°,平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1+y e 2(其中e 1,e 2分别为与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量),则点P 的斜坐标为(x ,y ).若点P 的斜坐标为(3,-4),则点P 到原点O 的距离|PO|= .解析:|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(3e 1-4e 2)2=9|e 1|2-24e 1·e 2+16|e 2|2=9-24cos60°+16=13,所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13,所以点P 到原点O 的距离|PO|=√13. 答案:√13三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在四边形ABCD (A ,B ,C ,D 为顺时针排列)中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−3),若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 解设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1)+(x,y)+(−2,−3)=(x +4,y −2). 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以y (x+4)-x (y-2)=0, 整理得x=-2y.①AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1)+(x,y)=(6+x,y +1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3). 又因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(6+x )(x-2)+(y+1)(y-3)=0, 整理得x 2+4x+y 2-2y-15=0, ② 由①②得{x =2,y =-1或{x =-6,y =3.所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(2,-1)或(-6,3).17(8分)已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =(cos (π2-θ),sin (π2-θ)). (1)求证:a ⊥b ;(2)若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b 满足x ⊥y ,试求此时k+t 2t 的最小值.(1)证明∵a =(cos(-θ),sin(-θ))=(cos θ,-sin θ),b =(cos (π2-θ),sin (π2-θ))=(sin θ,cos θ),∴a ·b =(cos θ,-sin θ)·(sin θ,cos θ)=cos θsin θ-sin θcos θ=0. ∴a ⊥b .(2)解由x ⊥y ,得x ·y =0,即[a +(t 2+3)b ]·(-k a +t b )=0,∴-k a 2+(t 3+3t )b 2+[t-k (t 2+3)]a ·b =0, ∴-k|a |2+(t 3+3t )|b |2=0. 又|a |2=1,|b |2=1,∴-k+t 3+3t=0, ∴k=t 3+3t ,∴k +t 2t =t 3+t 2+3t t =t2+t +3=(t +12)2+114.故当t=−12时,k+t 2t 有最小值114.18(9分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2). (1)若a ∥b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值. 解(1)∵a ∥b ,∴2sin θ=cos θ-2sin θ,于是4sin θ=cos θ,故tan θ=14.(2)由|a |=|b |知,sin 2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 即sin 2θ-sin θcos θ=1. 若cos θ=0,又0<θ<π, 则θ=π2,等式成立.若cos θ≠0,sin 2θ-sin θcos θ=sin 2θ-sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-tanθtan 2θ+1=1,即tan θ=-1,∴θ=3π4. ∴θ的值为π2或3π4.19(10分)已知O 为坐标原点,直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4分别交于A ,B 两点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2,求实数a 的值.解由{x 2+y 2=4,y =x +a ,消去y 得,2x 2+2ax+a 2-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程2x 2+2ax+a 2-4=0的解.由根与系数的关系,得x 1+x 2=-a ,x 1x 2=a 2-42.所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+a)(x2+a)=2x1x2+a(x1+x2)+a2=a2−4−a2+a2=−2,所以a 2=2,即a=±√2.20(10分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求证:A ,B ,C 三点共线;(2)求|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值; (3)已知A (1,cos x ),B (1+cos x ,cos x ),x ∈[0,π2],f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ −(2m +23)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为−32,求实数m 的值.(1)证明∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗), 即AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AC ,AB 有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线. (2)解由(1)得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.(3)解AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cos x ,cos x )-(1,cos x )=(cos x ,0). ∵x ∈[0,π2], ∴cos x ∈[0,1]. ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|cos x|=cos x. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1+cos x ,cos x )+(1,cos x )=(3+2cos x ,3cos x ), ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+23cosx ,cosx). ∴f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ −(2m +23)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =1+23cos x+cos 2x −(2m +23)cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为−32相矛盾,即m<0不合题意; 当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=−32,得m=±√102(舍去);当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=−32,得m=74>1.综上所述,实数m的值为74.。