初中数学竞赛专题选讲 换元法(含答案)
换元法在数学竞赛中的若干运用(李鑫)
换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。
本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。
在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。
通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。
这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。
这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。
利用换元法解决试题(非常全)
利用换元法解决试题（非常全）一、选择题1. 为解方程，我们可设，则，原方程可化为．解得，，当时，，所以；当时，，所以．故原方程的解为，，，．以上解题方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 换元与降次C. 消元D. 公理化2. 如果一个三角形的三边长分别为，，，化简的结果是A. B. C. D.3. 用换元法解方程，设，则原方程可化为A. B. C. D.4. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为A. B. C. D.5. 已知，则或 B. D. 无法确定6. 已知，则的值为A. B. C. D.7. ，则的值为A. C. 或 D. 无法确定8. 若，则A. 或或或 D. 或9. 方程的解为A. ，B. ，C. ，D. ，10. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为A. B. C. D.11. 已知，，，均为正数，且满足，．则与之间的关系为A. B. C. D. 无法确定12. 小明用计算器计算的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：从而得到了正确结果，已知是的倍，则正确的结果是A. B. C. D.13. 已知方程组的解是则方程组的解是A. B. C. D.14. 已知实数，满足：，，则的值为A. C. D.15. 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共张，购买一把价值为元的雨伞，不同的付款方式共有A. 种B. 种C. 种D. 种16. 若实数、满足，则的值为A. C. 或或17. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她设：然后在式的两边都乘，得：得，即，所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“”换成字母“”（且），能否求出的值?你的答案是A. B. C. D.18. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为A. B. C. D.19. 已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为A. B. C. D.20. 已知实数满足，则的值是B. 或或二、填空题21. 已知，则．22. 能使成立的的值为．23. 一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设．（）则原方程可变形为关于的方程：，通过先求的值，从而可得；（）上述方法用到的数学思想是．24. 若方程组的解为则方程组的解是．25. （）已知，那么．（）若实数，满足，则．26. 如果，那么的值为．27. 在求的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她假设：然后在式的两边都乘以，得：得，，即，所以．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母（且），能否求出的值?如能求出，其正确答案是．28. 关于，的方程组那么．29. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是．30. 解方程时，若设，则方程可化为．31. 若，则的值是．32. 设函数的图象与函数的图象的交点坐标为，则的值为．33. 计算的结果是．34. 计算的结果是．35. 方程的实根是．36. 三个同学对问题"若方程组的解是求方程组的解" 提出各自的想法．甲说："这个题目好象条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．37. 已知，则关于的方程的解是．38. 满足的的值为．39. 如果，那么的值为．40. 若，则的值为三、解答题41. 解下列方程组．（1）（2）42. 如图中的个点处各写有一个数字．已知每个点所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，则代数式的值是多少?43. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）；（4）．44. 解方程组：45. 若，，试比较与的大小．46. 用换元法解方程．47. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为千克，销售均价为，今年樱桃的市场销售量比去年减少了，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为千克，销售均价为，今年枇杷的市场销售量比去年增加了，但销售均价比去年减少了，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求的值．48. 计算：．49. 计算：．50. 计算：（，且为正整数）．51. 解方程：．52. 先化简，再求值：，其中．53. 解方程组：54. 求的值，令，则，因此，．参照以上推理，计算的值．55. 关于的方程：的解为：，；（可变形为）的解为：，；的解为：，；的解为：，．（1）请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程（）的解是什么?（2）请总结上面的结论，并求出方程的解．56. 阅读理解：善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组和之间存在一定关系，他的解法如下：解：将方程变形为：．把方程代入方程得：，解得：把代入方程得：．∴原方程组的解为小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组（i）把方程代入方程，则方程变为；（ii）原方程组的解为．（2）解方程组57. 先让我们一起来学习方程的解法：解：令，则，方程两边平方可得，解得，，，，．点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，是过点且垂直于轴的直线，过作，垂足为点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点运动到点处时，通过计算发现：（填“”、“”或“”）；②当点在抛物线上运动时，猜想与有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当为等边三角形时，求点坐标；（4）如图 2，设点，问是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．58. 已知：如图1，抛物线与轴正半轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平行于轴并从点开始以每秒个单位的速度沿轴正方向平移，且分别交轴、线段于点，，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位速度运动，（如图2）；当点运动到原点时，直线与点都停止运动，连接，若点运动时间为秒；设，当为何值时，有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的条件下，是否存在的值，使以，，为顶点的三角形与相似；若存在，求的值；若不存在，请说明理由．59. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，，；当时，，，；原方程的解是，，，．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；（2）利用材料中的方法解方程：．60. 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得：，．当时，，；当时，，．所以原方程有四个根：，，，．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：答案第一部分1. B 【解析】本题体现了两个重要的数学思想，换元和降次的数学思想．2. B3. A4. D5. B6. C 【解析】由已知条件直接求解比较困难，通过观察，不难发现所求代数式与已知条件之间存在一定的关系，即．若设，则，．7. A8. A 【解析】令，则原方程化为，即，所以，．．9. B 【解析】将看成一个整体，移项，得，配方，得，即．得，，．10. C11. A12. C则故．13. C14. A15. C【解析】设壹圆、贰圆、伍圆的人民币分别有张，张，张，则由题意可得：16. D17. B 【解析】设则得，所以，即．18. D19. B 【解析】∵方程有实数根，∴．由题意得或令，则方程可化为：；方程化为：．∵是方程或的解，∴方程、的判别式非负，即，∴．20. D第二部分21.【解析】设，则有，解得，．由于，故．，或23.24.25. （），（）26.【解析】设，则，整理得，解得，即或（不合题意，舍去）．27. （且）28.29.【解析】方程整理得，，设，原方程可化为，，方程两边都乘以，去分母得，．30.或【解析】，，．33.【解析】设，35.36.【解析】37.38. 或39.40. 或【解析】令 .则原式可化为，整理得，解得，经检验都是方程的解；则，则的值为或 .第三部分41. （1）得：得：把代入得：方程组的解为（2）令，，则：由得由得把代入得方程组的解为42. 由条件可知，，，，，所以．设，，则，解得．所以43. （1）原方程可化为：整理，得解方程，得经检验：是增根，舍去；所以原方程的根是．（2）设，则方程为：所以，所以，所以所以由得：所以所以由得：所以，所以，所以，，经检验：，，，都是原方程的解，所以原方程的解是，，，．（3）设，则解得：当时，解得：当时，所以此方程无解．经检验，，是原方程的解．所以原方程的解是，．（4）整理得设则整理得：解得：当时，解得：当时，解得：经检验这四个解都是原方程的解．所以原方程的解是，，，．44. 原方程组可变形为因此，可以将与看作是方程的两个根，解方程得：，．经检验：都是原方程的解，原方程的解是45. 设，则，，．46. 解：设，则原方程化为解得，当时，解得，当时，此方程无实数根．经检验，，都是原方程的根．原方程的根为， .47. （1）设该果农今年收获樱桃千克，根据题意得：解得：答：该果农今年收获樱桃至少千克；（2）由题意可得：令，原方程可化为：整理可得：解得：（舍去），，，答：的值为．48. 设，，则49. 设，则有：，，即，故原式的值为．50. 设，则51. 设，则原方程变为即由分式值为的条件，得且．且．或，且．解得经检验，是原分式方程的解．52.当时，．53. 由题意得，又，．．解方程得原方程组的解为或．54. 设，则，，．55. （1），．（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和其倒数的倍数．可变形为 .或，即或，经检验：，都是原方程的解.原方程的解为，．56. （1）（i）；（ii）（2）将方程变形为把方程代入方程得解得把代入方程，得所以原方程组的解为57. （1）抛物线经过点，，，抛物线解析式为，顶点．（2）①②结论：．理由：设点坐标，，，．【解析】①当点运动到点处时．由勾股定理得，，．（3）为等边三角形，．，易证．，解得：，．（4），，．，，以，，为顶点的三角形与相似，与，与是对应边，，设点，，解得．点坐标或．58. （1）由直线：知：，；，，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得．抛物线的解析式：．（2）在中，，，则；，；而；，设，则，当时，取得最大值，此时取得最小值．当时，有最小值，且最小值为．（3）在中，，，则；在中，，，则；；以，，为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：①，解得；②，解得；综上所述，当时，以，，为顶点的三角形与相似．59. （1）降次．（2）设，原方程化为，解得，．当时，解得或当时，解得或；原方程的解是，，，．60. （1）换元，转化（2）设，则由原方程得到．整理，得，解得或．当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；综上所述，原方程的根为：，，，．。
中考数学复习一元二次方程专练换元法解一元二次方程专项练习35题含答案
换元法解一元二次方程(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1（30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。
初中换元法经典例题
初中换元法经典例题初中数学中，换元法是一种常用的解题方法，用于将复杂的表达式转化为简单的形式，从而更容易进行计算或求解。
下面是一个经典的例题，我将从多个角度给出详细的解答。
例题，求解方程 $2x^2 5x + 3 = 0$。
解答：1. 角度一，直接使用求根公式。
这个方程是一个二次方程，我们可以直接使用求根公式来解。
求根公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = -5$，$c = 3$。
代入公式计算可得：$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$。
$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 24}}{4}$。
$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}$。
$x = \frac{5 \pm 1}{4}$。
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
2. 角度二，使用换元法。
我们可以使用换元法将这个方程转化为一个更简单的形式。
设$y = 2x^2 5x + 3$，则原方程可以表示为 $y = 0$。
现在我们需要找到一个合适的变量替换，使得方程变得简单。
我们可以尝试令 $u = x \frac{1}{2}$，即 $x = u + \frac{1}{2}$。
将 $x$ 替换为$u + \frac{1}{2}$，得到：$y = 2(u + \frac{1}{2})^2 5(u + \frac{1}{2}) + 3$。
$y = 2(u^2 + u + \frac{1}{4}) 5u \frac{5}{2} + 3$。
$y = 2u^2 + u \frac{1}{2}$。
现在方程变为 $2u^2 + u \frac{1}{2} = 0$，我们可以使用求根公式来解这个一元二次方程。
求根公式为 $u = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = 1$，$c = -\frac{1}{2}$。
初中换元法经典例题
初中换元法经典例题
初中数学中，换元法是解方程的一种常见方法。
下面是一个经典的例题：
例题，解方程 $x^2 + 2x 3 = 0$。
解答，首先，我们观察到这是一个二次方程，可以使用换元法来解决。
我们可以通过引入一个新的变量来进行换元，使得原方程变得更容易解决。
我们可以设 $y = x + 1$，即令 $y$ 代替 $x + 1$。
这样，原方程可以改写为 $y^2 4 = 0$。
接下来，我们可以将方程 $y^2 4 = 0$ 因式分解为 $(y 2)(y + 2) = 0$。
这样，我们得到两个可能的解，$y 2 = 0$ 或 $y + 2 = 0$。
解第一个方程 $y 2 = 0$，我们得到 $y = 2$。
将 $y = 2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = 1$。
解第二个方程 $y + 2 = 0$，我们得到 $y = -2$。
将 $y = -
2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = -3$。
综上所述，原方程 $x^2 + 2x 3 = 0$ 的解为 $x = 1$ 或 $x
= -3$。
通过这个例题，我们可以看到换元法是一种有效的解方程方法。
通过引入新的变量，我们可以将原方程转化为一个更简单的形式，
从而更容易求解。
2020年九年级数学中考专题复习——常用解题方法【换元法】
2020年九年级数学中考专题复习——常用解题方法【换元法】 知识点梳理： 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又分：局部换元，三角换元，均值换元，等量换元，非等量换元；初中常用的是：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
注意:换元后勿忘还元.典型例题：【例1】已知方程组：{2a −3b =133a +5b =30.9的解是：{a =8.3b =1.2，{2(x +2)−3(y −1)=133(x +2)+5(y −1)=30.9的解是( ) A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2 【答案】C【解】：在方程组{2(x +2)−3(y −1)=133(x +2)+5(y −1)=30.9中，设x +2=a ，y −1=b ， 则变形为方程组{2a −3b =133a +5b =30.9， 由题知{a =8.3b =1.2，所以x +2=8.3，y −1=1.2，即{x =6.3y =2.2． 【解题反思】此题考查了二元一次方程组的求解，解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题.在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．【例2】若x 2=y 3=z 4≠0，则2x+3y z =________． 【答案】134【解】：设x 2=y 3=z 4=k ≠0，则x =2k ，y =3k ，z =4k ，∴2x+3yz =2×2k+3×3k4k =134，【解题反思】此题主要考查了换元法，代数式的值，设x2=y3=z4=k≠0，则x=2k，y=3k，z=4k，将x=2k，y=3k，z=4k代入式子中计算，即可得到答案．【例3】下面是小颖同学对多项式(a2−2a)(a2−2a+2)+1进行因式分解的过程．解：设a2−2a=x原式=x(x+2)+1..........(第一步)=x2+2x+1.........(第二步)=(x+1)2...........(第三步)=(a2−2a+1)2.........(第四步)回答下列问题：(1)小颖同学用到了数学思想是()A.方程思想B.换元思想C.化归思想D.数形结合(2)小颖同学分解因式正确吗？若不正确，写出错误原因，并直接写出分解因式的结果．(3)请模仿以上方法分解因式：(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4【解】：(1)设a2−4a=x，用到了换元的思想，故选B；(2)(a2−2a+1)2还可以分解，即：(a2−2a+1)2=[(a−1)2]2=(a−1)4，所以分解因式不彻底，结果应为(a−1)4；(3)设x2−4x=y，(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2 =(x2−4x+4)2 =(x−2)4．【解题反思】此题考查了运用公式法分解因式和模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．(1)设a2−4a=x，用到了换元的思想，故选B；(2)(a2−2a+1)2还可以分解，即：(a2−2a+1)2=[(a−1)2]2=(a−1)4，所以是不彻底；(3)按照例题的分解方法进行分解即可．综合训练一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.用换元法解方程x2−2x+7x2−2x=8，若x2−2x=y，则原方程化为关于y的整式方程是()．A. y2+8y+7=0B. y2−8y−7=0C. y2+8y−7=0D. y2−8y+7=02.用换元法解方程(x2−x)−√x2−x=6时，设√x2−x=y，那么原方程可化为()A. y2+y−6=0B. y2+y+6=0C. y2−y−6=0D. y2−y+6=03.设a，b，c，d都是正整数且a5=b2，c3=d4，a−c=319，则ba2−cd=()．A. 15B. 17C. 18D. 204.若方程组 {2a−3b=133a+5b=30.9的解是 {a=8.3b=1.2，则方程组{2(x+2)−3(y−1)=133(x+2)+5(y−1)=30.9的解是()A. {x=8.3y=1.2B. {x=10.3y=2.2C. {x=6.3y=2.2D. {x=10.3y=0.25.若实数x、y满足(x2+y2+2)(x2+y2−1)=0，则x2+y2=()A. 1B. 2C. 2或−2D. −26.已知x≠y，且x2+2x=3，y2+2y=3，则xy的值为()A. −2B. 2C. −3D. 3二、填空题7.若(x+y)(x+y+2)−8=0，则x+y的值为__________．8.已知(a2+b2)2−(a2+b2)−6=0,则a2+b2=___________9.若2aba+2b =23,3cb2b−c=−9,5abcab−bc+3ac=157,则a2+b2+c2=__________．10.已知关于x的一元一次方程x2018+3=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程y−12018=2(y−1)−3+b的解为________．11.已知关于x的方程x2+1x2+3(x+1x)=2，则x+1x+1的值为________12.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1.(a,b，m均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是________．13.方程x2−3|x|+2=0的最小一个根的负倒数是_________．14. 已知a ：b ：c =2：3：4，求2a+b−3c b+c 的值．15. x 4−5x 2+4=0是一个一元四次方程。
(完整版)(755)换元法解一元二次方程专项练习35题(有答案)8页ok
换元法解一元二次方程专项练习(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．(31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。
2019-2020年八年级数学《换元法在求解二次根式中的应用》练习题
2019-2020年八年级数学《换元法在求解二次根式中的应用》练习题 换元法是解决数学问题的重要方法之一，其应用十分广泛。
下面举例说明它在求解二次根式竞赛题中的应用。
一、单元换元 例1 、化简：184838281+⨯⨯⨯。
分析：本题若先计算出81×82×83×84将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式，将会出现“柳暗花明又一村”的境界。
解：令a=81，则原式=1)3)(2)(1(++++a a a a =2213）（++a a =a 2+3a+1=6805。
例2 、化简：x x x +-28÷（x x ++22）+（x +22-x x ）·x x x 24+-。
分析：本题显然不是分式，因为式中含有根号，自然会联想到将其中的根式代换掉，转化为分式运算。
解：令x =a ，则原式=a a +-283÷（2+a a +22）+（a+aa +22）·a a a 2422+-=2。
二、双元换元例3 、化简：63232231++-+。
分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上的运算，运算量大。
如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。
解：令a=2，b=3，则原式=ab b a a b ab a b a b ++-+-+)())((=abb a ab b a a b ++++-))((=b －a=3－2. 例4 、化简：32163223-+--+。
解析：令a=2，b=3，则6=ab ，原式=b a ab b a a -+--++1212=ba ab a a a -++-+++1)1()1()1( =ba b a a -+-++1)1)(1(=a+1=12+。
三、多元换元例5 、化简：5813104++。
分析：运用字母代数的方法。
解：令13=a ，8=b ，5=c ，则104=2bc 。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.8）
换元法
一、内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.
两边都除以x 2,得a(x 2+
2
1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.
对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.
原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.
ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x
)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x
=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.
二、例题
例1. 解方程1112---+
+x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .
原方程化为： y －2
1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，
解得，x=4
5. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=62
6.
解：（用平均值2
4-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.
［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0
整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).
(y 2+33)(y 2－9)=0.
当y 2+33=0时， 无实根 ；
当y 2－9=0时， y=±3.
即x －2=±3，
∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，
两边除以x 2,并整理 得2(x 2+
21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.
解得 y=－4；或y=2
5. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.
由y=2.5得 x=2；或x=2
1. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
1012124012522222y x y xy x y x y xy x
解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .
三、练习
解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.
2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.
5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=1
6.
6. x x x x 11
2+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 5
63964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .
14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15
x x
x x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .
17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____
18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x －
2
1 的所有根的和是_____.
参考答案 1. 22
12
29 2. ±
43±3
4 3. －2
5 4. 2,－
23,4651± 5.32
31-32211， 6. 1 7.2
1,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==55
5555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1
11.－3
2,－35
12.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10
358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==10
31041031041513y x y x y x y x 15. x=2
51± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y
17.设原式=k, k=442
18. –2可设2x －21=t, x=21t+4
1代入[3x+1]。