[高考数学]2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修II ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=?（M N ）

A ．{}12，

B ．{}23，

C ．{}2，4

D ．{}1，4

2

．函数0)y x =≥的反函数为

A ．2

()4

x y x R =∈ B ．2

(0)4

x y x =≥

C ．2

4y x =()x R ∈

D ．2

4(0)y x x =≥

3．权向量a,b 满足1

||||1,2

a b a b ==?=-,则2a b +=

A

B

C

D

4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤??

-≤??≥?

，则23z x y -+的最小值为

A ．17

B ．14

C ．5

D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-

C ．2

2

a b >

D ．33

a b >

6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

7．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移

3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

A ．

1

3

B ．3

C ．6

D ．9

8．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，

AC=BD=1，则CD=

A ．2

B C

D ．1

9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5

()2

f -=

A ．-

1

2

B ．1 4

-

C ．

14

D ．

12

11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =

A ．4

B ．

C ．8

D ．

12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0

60，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作．．．．．

答无效．．．

）

13．（）10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ． 14．已知a ∈（3,

2

π

π），tan 2,cos αα=则= 15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 。

16．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 2

27

y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），

AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S 18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知sin csin sin sin ,a A C C b B += （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若0

75,2,A b a c ==求与

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保

险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知函数

{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈

（I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；

（II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题

1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13．0 14

．5- 15．2

3

16．6 三、解答题

17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得 12

116,630.

a q a a q =??

+=? …………3分

解得113,2,2, 3.a a q q ==????==??

或 …………6分

当113,2,32,3(21);n n

n n a q a S -===?=?-时 当112,3,23,3 1.n n

n n a q a S -===?=-时

…………10分

18．解：

（I

）由正弦定理得2

2

2

.a c b += …………3分

由余弦定理得2

2

2

2cos .b a c ac B =+-

故cos 45.2

B B =

=?因此 …………6分

（II ）sin sin(3045)A =?+?

sin 30cos 45cos30sin 45=??+??

= …………8分

故sin 26

13,sin 2

A a b

B +=?==+ sin sin 602 6.sin sin 45

C c b B ?=?

=?=?

…………12分

19．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分 （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=

…………9分 12

3()0.20.80.384.P E C =??=

…………12分

20．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故2

2

2

ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。

…………3分

由,,AB DE AB SE DE

SE E ⊥⊥=，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3

.SD SE SF DE ?=

= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG

FG G ⊥=，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

3

7

SF FG FH SG ?=

=

，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21

.7

设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则2121sin ,arcsin .d EB αα=

== …………12分

解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，

由||||AS BS =得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+

故x=1。

由22

||11,DS y z =+=得

又由222

||2(2)4,BS x y z =+-+=得

即22

13410,,.22

y z y y z +-+==

=故 …………3分

于是133333

(1,,

),(1,,),(1,,)2222S AS BS =--=-， 13

(0,,),0,0.22

DS DS AS DS BS =?=?=

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又

所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=

又33

(1,,),(0,2,0),22

BS CB =-

=

故30,2220.m n p n ?-+

=???=?

…………9分

取p=2

得(2),(2,0,0)a AB ==-又。

cos ,7||||

AB a AB a AB a ?=

=?

故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 7

21．解：（I ）2

'()3636.f x x ax a =++-

…………2分

由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为 由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2） …………6分

（II ）由2

'()02120.f x x ax

a =++-

=得 （i ）当11,()a f x

≤≤

时没有极小值；

（ii ）当11,'()0a

a f x >

<

=或时由得

12x a x a =-

=-

故02.x x =由题设知1

3.a <-<

当1a >

时，不等式1

3a <-<无解。

当1a <时，解不等式5

13 1.2

a a <-+<-

<

<得 综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5

(,1).2

- …………12分

22

．解：（I ）F （0，1），l 的方程为1y =+，

代入2

2

12

y x +=并化简得 2410.x --=

…………2分

设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则12,,44

x x -=

=

121212)21,2

x x y y x x +=

+=++=

由题意得312312()() 1.2

x x x y y y =-+=-

=-+=-

所以点P 的坐标为(1).2

-

-

经验证，点P 的坐标为(1)-满足方程 2

2

1,2

y x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分

（II ）由(1)2P -

-和题设知， 2

Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为

.2

y x =-

①

设AB 的中点为M ，则1

(

)42

M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为

1.24

y x =

+

②

由①、②得12,l l 的交点为1

()8

N 。 …………9分

21

||

8

||||

2

||

4

||

8

||

8

NP

AB x x

AM

MN

NA

==

=-=

=

==

==

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分