数据包络分析

数据包络分析

第一节思想和原理第二节模型和步骤第三节应用和案例第一节思想和原理一个经济系统或一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的"产品"的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的"效益"。这样的单元被称为决策单元(Decision Making Units，DMU)。

DMU的概念是广义的，可以是一个大学，也可以是一个企业，也可以是一个国家。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下特征的DMU集合:具有相同的目标和任务;具有相同的外部环境;具有相同的输入和输出指标。同一个DMU的不同时段也可视为同类型DMU。

评价的依据是决策单元的"输入"数据和"输出"数据。根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣,即评价单位间的相对有效性。每个决策单元的有效性将涉及两个方面:(1)建立在相互比较的基础上，因此是相对有效性;(2)每个决策单元的有效性紧密依赖于输入综合与输出综合的比(或理解为多输入-多输出时的投入-产出比)。

数据包络分析(Data Envelopment Analysis，简称DEA)是著名运筹学家

A.Charnes和W.W.Copper等学者以"相对效率"概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。决策单元相对有效称为DEA有效。

通过输入和输出数据的综合分析，DEA可以得出每个DMU综合效率的数量指标。据此将各决策单元定级排队，确定有效的决策单元，并可给出其它决策单元非有效的原因和程度。即它不仅可对同一类型各决策单元的相对有效性做出评价与排序，而且还可以进一步分析各决策单元非DEA有效的原因及其改进方向，从而为决

策者提供重要的管理决策信息。自从1978年提出第一个DEA模型-模型以来，DEA 方法不断得到完善并在实际中被广泛运用，DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主要体现在以下几点:(1)DEA以决策单元各

输入输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重;

(2)假定每个输入都关联到一个或者多个输出，而且输出输入之间确实存在某种关系，使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。(3)DEA最突出的优点是无需任何权重假设，每一输入输出的权重不是根据评价者的主观认定，而是由决策单元的实际数据求得的最优权重。因此，DEA方法排除了很多主观因素，具有很强的客观性。

例如有4所小学S1、S2、S3、S4，在校学生分别为1200、1000、1600、1400，首先按800名学生的规模折算各校教职工数和建筑面积的投入，折算后的数据见下表:

、S2、S4三所学校的投入处于Pareto最优，就培养800名学生来看，S1

即不可能在保持其中一项投入不变的情况下，减少另一项投入。由S1、S2、S4三点连成的折线生产前沿面，凡是在前沿面上的点的投入状态均处于Pareto最优。

如S1和S4的中点M，其坐标值为:

即用22.5名教职工和2150平方米的建筑可组成培养800名学生的学校，其亦处于Pareto最优状态。

由上图可以看出，所谓生产前沿面是生产可行集的一条数据包络线，它是在现有的绩效水平下举办800名学生的规模学校，需要投入教职工和建筑面积的最低限。称处于生产前沿面上的点为DEA有效。而点S3并非DEA有效。对比点P和S3的投入，表明S3的绩效只相当于S1和S4的95.8%

上面用作图法衡量一个组织是否DEA有效，只适用于投入和产出变量总数和不超过3个的情况。但能给我们一些启发…第二节模型和步骤一、模型介绍在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一单位不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是决策单元在社会、经济和管理活动中需要耗费的经济量;产出指标表明经济活动

产出成效的经济量。根据投入指标数据和产出指标数据评价部门、企业或时期之间的相对有效性。

设某个DMU在一项生产活动中的输入向量为,输出向量为。我们可以用(x，y)来表示这个DMU的整个生产活动。现设有n个DMUj(1?j?n)，DMUj对应的输入、输出向量分别为:

xij为第j个决策单元对第i种类型输入的投入量;yrj为第j个决策单元对第r种类型输出的产出量。xij和yrj为已知的数据，可以根据历史资料得到。

由于在生产过程中各种输入和输出之间的地位与作用不同，因此要对DMU进行评价，需要对它的输入和输出进行"综合"，即把它们看作只有一个总体输入和一个总体输出的生产过程，这样就需要赋予每个输入、输出恰当的权重。(见图2) 问题是，由于我们对输入、输出量之间的信息结构了解较少或者他们之间的相互代替性比较复杂，也由于我们想尽量避免分析者主观意志的影响，我们并不事先给定输入、输出权向量:，而是先把它们看作变向量。然后在分析过程中再根据某种原则来确定他们。每个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数，我们可以适当的取权系数v和u，使得?1。

现在，对第j0个决策单元进行效率评价。一般来说，越大，表明能够用相对较少的输入而得到相对较多的输出。如果我们要对进行评价，看在这n个DMU中相对来说是不是最优的。我们可以考察当尽可能地变化权重时，的最大值究竟是多

少。以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元(含第j0个决策单元)的效率指数为约束，就构造如下的模型:

上式是一个分式规划问题，使用Charnes-Cooper变化，即令:

则可得到C2R的的线性规划模型:的对偶形式:

应用线性规划对偶理论，我们可以通过对偶规划来判断的有效性。为了讨论及应用方便，进一步引入松弛变量s+和剩余变量s-，将上面的不等式约束变为等式约束:

下面给出几条定理与定义:定理1:线性规划P和其对偶规划D均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值分别为与，则=?1。定义1:若线性规划P的最优值=1，则称决策单元为弱DEA有效。

例:四个人的输入输出见下表，试用DEA方法分析其有效性。

例:某银行的四个分理处的投入和产出情况见下表，要求分别确定各分理处的运行是否DEA有效。解:先确定分理处1是否DEA有效

求解结果为E=1，说明分理处1的运行DEA有效。同理可求得分理处3和4，E=1，但对于分理处2，E=0.966,即分理处2的运行非DEA有效。

检验的DEA有效性时，可通过构造一个稍加变化的模型可使这一检验简化。这就是具有非阿基米德无穷小的模型(祥见有关文献)。利用此模型可以一次性判断出决策单元是DEA有效，还是弱DEA有效，或者是非DEA有效。下面举一例-DEA在工业行业科技发展评价中的应用，说明DEA评价的全过程把某一工业行业科技实力发展视作DEA的一个决策单元，它具有特定的输入和输出。为了使各DMU具有可比性以及DEA综合评价指标的合理和有意义，必须选择好评价系统的输入和输出指标体系，以利于实现系统的客观描述和评价。1、工业行业科技实力评价指标体系设计的原则(1)充分、全面性原则。(2)独立性原则。(3)导向性原则。(4)均匀平滑性