反馈系统的稳定性与稳定判据

1 ess lim sE ( s) lim s R( s ) s 0 s 0 1 G ( s ) K (a) r(t) 1(t) R(s) 1 s
非单位反馈系统的偏差和误差之间并不相等，但具有确定的关系。
2.稳态误差
稳态误差：反馈系统误差信号ε(t)的稳态分量，记作εss(t)。 动态误差：反馈系统误差信号ε(t)的暂态分量，记作εts(t)。
(t ) (t ) (t ),
ss ts
对稳定系统，
t
ts (t ) 0
稳态误差的大小与系统开环传递函数GK(s）以及输入信号R(s)的形式有关。
1、稳态误差终值的计算 （1）系统型 别 设系统的开环传函为
K( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) G K( S) v s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn v s 1)
§3-7 反馈系统的稳态误差及计算
一．误差与稳态误差的定义 1.误差与偏 差 系统输出量的期望值c0(t)与实际输出c(t)之差定义为反馈系统响应r(t)的误差信号，
即
(t )＝c (t ) c(t )
0
对于单位反馈系统，其输入量r(t)的值即为输出 量期望值，即
c0 (t ) r (t )
E (s)
E ( s) R( s) H ( s)C ( s)
偏差为零时的输出量即为期望值，即
G (s)
C (s)
H (s)
0 R(s) - H(s)C0 (s) R(s) H(s)C0 (s) 因而 E(s) H(s)C0 (s)－ H(s)C(s) H(s)C 0 (s)－ C(s) H ( s ) ( s )
说明：
1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定 义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只 具有数学意义。 2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种 方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。
3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。 4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定 义。
5）影响系统稳态误差的因素有很多，如系统的机构、参数以及输入量的形式等。
二、给定输入信号作用下系统的误差分析
对于非单位反馈系统而言，有
1 1 E(s) R(s) R(s) 1 G(s)H(s) 1 G K (s)
K ( i s 1) s v (T j s 1)
i 1 n v
m
j 1 系统的型别以 来划分 0 称为零型系统 1 称为 I 型系统 称为 II 型系统 2 优点：1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。 2．系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且 不影响稳态误差的数值。
s
( s 1 T ) (s 2 2 ) T 1 T s T 2 3 1 2 2 2 2 2 T 1 s 1 T T 1 s 2 T 2 2 1 s 2 2 2 2 T T T t T e(t) 2 2 e 2 2 cost 2 2 sin t T 1 T 1 T 1 T T 2 2 e ss (t ) 2 2 cost 2 2 sin t T 1 T 1 这里, e ss () 0, 应当注意正弦函数在虚 轴上不解析 , 所以此时 不能采用终值定理来计 算稳态误差值 , 否则得出 s 2 e ss () lim sE ( s ) lim 0 2 2 s 0 s 0 ( s 1 T ) (s ) 的错误结论 .
R( s)
E (s)
G(s)
C (s)
代入上式得
(t ) c0 (t ) c(t ) r (t ) c(t ) e(t )
e (t ) －偏差
单位反馈系统的偏差和误差是相等的，偏差的稳态值ess就是系统的稳态误差 εss ，即
ss ess
对于非单位反馈系统
R( s)
eБайду номын сангаасs
(2) 由 终 值 定 理 ess lim sE(s) lim s(s 11/T)
s 0 s 0
尽管在数学上 sE ( s )在 坐 标 原 点 不 解 析 , 但 与 实际 所 求 一 致 ,因 而 是 允 许 的 。
(3) R(s) 2 s 2
E(s) e ( s ) R( s )
令
E ( s) 1 e (s) R( s) 1 G K (s)
－系统的误差传递函数
对于稳定的系统，根据拉氏变换的终值定理和稳态误差的定义，系统的稳态误 差为
sR( s) ess lim e(t ) lim sE (s) lim t s0 s0 1 GK ( s)
2.利用终值定理计算
lim s E ( s) lim s ( s) R( s)
ss s0 s0 e
应用终值定理的条件是sE(s)在s右半平面及虚 轴上解析，或者说sE(s)的极点位于左半平面（包括 坐标原点）。
1 例. 设 单 位 反 馈 系 统 的 开 传 环递 函 数 为 G K (s) , Ts 1 2 试 求 当 输 入 信 号 分 别r 为 (t ) t 和r (t ) sin wt时, 2 控 制 系 统 的 稳 态 误 差。 值
解 : e (s) 1G1 K (S)
S S 1 / T 1 S3
2 当 r(t ) 1 t 时 R(s) 2
(1) E(s) (s)R(s) e(t ) T e t 时
t 2 -T
1 S2 (S1/T)

T S2
-
T2 S

T2 S1/T
T (t- T )