高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
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2．1.2 求曲线的方程
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栏 目 链 接
2
1．掌握求曲线方程的方法步骤．
2．了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题 的方法与过程．
3．培养数形结合的能力．
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3
栏
研
题
型
学
习
法目 链
接
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4
题型一 直接法求曲线方程
例 1 如图，过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交
栏 目 链 接
13
规律方法：代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关
动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则
栏 目
可用所求动点 P 的坐标(x，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y0)，即利
链 接
用 x，y 表示 x0，y0，然后把 x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求
x 轴于点 A，l2 交 y 轴于点 B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
解析：方法一 设点 M 的坐标为(x，y)，
栏
∵M 为线段 AB 的中点，∴A(2x，0)，B(0，2y)．
目 链
又∵P(2，4)，
接
∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2，2y－4)．
∵l1⊥l2，∴P→A⊥P→B.
解析：如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为(x2，2y)，线段 MN 的中点坐标为 (x0－2 3，y0＋2 4)，因为平行四边形的对角线互相平分 ，所以x0－2 3＝x2，y0＋2 4＝2y，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 4，由 N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 两点：(－59，152)和(－251，258)．精选ppt
动点 P 的轨迹方程．
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14
►变式训练
3．已知动点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上移动，M 和定点 B(3，0)连
线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
解析：设 P(x，y)，M(x0，y0)，
因为 P 为 MB 的中点，
栏
所以 x＝x0＋2 3，即x0＝2x－3，
y＝y20，
y0＝2y，
价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点与 链
轨迹方程的解的对应关系．
接
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7
►变式训练
1．(1)(2014·南昌高二检测)已知两点 M(－2，0)，N(2，0)，点 P
满足P→M·P→N＝0，则点 P 的轨迹方程为__________________．
栏
(2)一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2，0)的距离的 2 倍，目
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题型二 定义法求曲线方程
例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点， 则 M 的坐标为21，0. 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上， 所以圆的方程为x－122＋y2＝41(0<x≤1)．
解析：如图建立直角坐标系，根据直角三角形
栏
的性质可知|OM|＝21|AB|＝4，所以 M 的轨迹为以
目 链 接
原点 O 为圆心，以 4 为半径的圆，故 M 点的轨迹
方程为 x2＋y2＝16.
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12
题型三 代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)，求点 P 的轨迹方程．
∴P→A·P→B＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0，
即 x＋2y－5＝0.
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5
∴M 点的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
方法二 设 M的坐标为(x，y)，则 A、B 两点的坐标分别是(2x 0)、
(0，2y)，连接 PM(如图)．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
栏
而|PM|＝ （x－2）2＋（y－4）2，
目 链 接
又点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以所求轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
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析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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＋y2＝4.
(2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏
目
－8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2.
链 接
由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2
＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
链
则动点的轨迹方程为
接
_______________________________________________________ _________________．
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8
解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由P→M·P→N＝(－2－x，－y)·(2
－x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2
目 链
接
|AB|＝ （2x）2＋（2y）2.
∴2 （x－2）2＋（y－4）2＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
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6
规律方法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，
根据所满足的几何条件，将几何条件{M|P(M)} 直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等
栏 目
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栏 目 链 接
10
规律方法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定
义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方
程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特
栏
征．
目
链
接
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►变式训练
2．已知定长为 8 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，
线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程．
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2
1．掌握求曲线方程的方法步骤．
2．了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题 的方法与过程．
3．培养数形结合的能力．
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栏
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题
型
学
习
法目 链
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题型一 直接法求曲线方程
例 1 如图，过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交
栏 目 链 接
13
规律方法：代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关
动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则
栏 目
可用所求动点 P 的坐标(x，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y0)，即利
链 接
用 x，y 表示 x0，y0，然后把 x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求
x 轴于点 A，l2 交 y 轴于点 B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
解析：方法一 设点 M 的坐标为(x，y)，
栏
∵M 为线段 AB 的中点，∴A(2x，0)，B(0，2y)．
目 链
又∵P(2，4)，
接
∴P→A＝(2x－2，－4)，P→B＝(－2，2y－4)．
∵l1⊥l2，∴P→A⊥P→B.
解析：如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为(x2，2y)，线段 MN 的中点坐标为 (x0－2 3，y0＋2 4)，因为平行四边形的对角线互相平分 ，所以x0－2 3＝x2，y0＋2 4＝2y，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 4，由 N(x＋3，y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 两点：(－59，152)和(－251，258)．精选ppt
动点 P 的轨迹方程．
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►变式训练
3．已知动点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上移动，M 和定点 B(3，0)连
线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
解析：设 P(x，y)，M(x0，y0)，
因为 P 为 MB 的中点，
栏
所以 x＝x0＋2 3，即x0＝2x－3，
y＝y20，
y0＝2y，
价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点与 链
轨迹方程的解的对应关系．
接
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7
►变式训练
1．(1)(2014·南昌高二检测)已知两点 M(－2，0)，N(2，0)，点 P
满足P→M·P→N＝0，则点 P 的轨迹方程为__________________．
栏
(2)一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2，0)的距离的 2 倍，目
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题型二 定义法求曲线方程
例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点， 则 M 的坐标为21，0. 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上， 所以圆的方程为x－122＋y2＝41(0<x≤1)．
解析：如图建立直角坐标系，根据直角三角形
栏
的性质可知|OM|＝21|AB|＝4，所以 M 的轨迹为以
目 链 接
原点 O 为圆心，以 4 为半径的圆，故 M 点的轨迹
方程为 x2＋y2＝16.
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题型三 代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)，求点 P 的轨迹方程．
∴P→A·P→B＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0，
即 x＋2y－5＝0.
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∴M 点的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
方法二 设 M的坐标为(x，y)，则 A、B 两点的坐标分别是(2x 0)、
(0，2y)，连接 PM(如图)．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
栏
而|PM|＝ （x－2）2＋（y－4）2，
目 链 接
又点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以所求轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
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＋y2＝4.
(2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏
目
－8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2.
链 接
由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2
＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
链
则动点的轨迹方程为
接
_______________________________________________________ _________________．
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解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由P→M·P→N＝(－2－x，－y)·(2
－x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2
目 链
接
|AB|＝ （2x）2＋（2y）2.
∴2 （x－2）2＋（y－4）2＝ 4x2＋4y2，
化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
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6
规律方法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，
根据所满足的几何条件，将几何条件{M|P(M)} 直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等
栏 目
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栏 目 链 接
10
规律方法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定
义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方
程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特
栏
征．
目
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►变式训练
2．已知定长为 8 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，
线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程．