初一数学绝对值知识点与经典例题-

绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 ~

反数；0的绝对值是0.

③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负

号，绝对值是5.

【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-

②(0)(0)a a a a a ≥?=?-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：|a|≥0

；

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；

（3）ab a b =?；

a a

b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；

;

（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

|

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】

例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

解：由绝对值的非负性可知x－2＝0，y－3＝0；即：x=2，y =3；

所以x+y=5

判断必知点：①相反数等于它本身的是0

@

②倒数等于它本身的是±1

③绝对值等于它本身的是非负数

'

；

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.

2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =

【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

，

【巩固】若7322102

m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a

2)23(223222+??????---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .

（二）绝对值的性质

【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）

,

A ．11a

B ．-11a

C ．-3a

D ．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A ．1，0

B ．正数

C ．非正数

D ．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

【例4】若1-=x x ，则x 是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．非正数

【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

》

A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a

B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

C．1+a＞1-b＞a＞-b D．1-b＞1+a＞-b＞a

【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）

A．2 B．2或3 C．4 D．2或4

【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）

A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x，则有（）

A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0

\

C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。

【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________

(

【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ ,

【例15】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，

则下列各式：

①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c

c b b a a ；

④0>-a bc ； ⑤

b c a b c b a 2-=-++--．

其中正确的有 ．（请填写番号）

-

【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc

+++的值 c a 0b

￥

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．

【例题】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()

0000x x x x x x >??==??-

12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）

，在有理数范围内，零点 ，

值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+

⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=

⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+<-??=-

（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++- 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； }

当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1. 12x x +++

2. 12m m m +-+-的值

《

3. 523x x ++-．

4. (1)12-x ；

变式 5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

"

（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.

并回答下列各题：

(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗答： .

(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

/

可以表示为 .

(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .

(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .

(5) 若1232008x x x x -+-+-+

+-的值为常数，试求x 的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少

2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少

"

3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少

2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少

3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、

1）非负数：0和正数，有最小值是0

~

2）非正数：0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0

4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，

-|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n

-|x+m|+n≤n，有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）

>

例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少

（

2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少

3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少

4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少

解：1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3

}

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少

2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少

3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少

解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0

2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3

'

4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，

思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值最大（小）值是多少此时x值是多少

2）|x+a|+b有最大（小）值最大（小）值是多少此时x值是多少

3) -|x+a|+b有最大（小）值最大（小）值是多少此时x值是多少

!

例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

分析：我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：

可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分

1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3）当-10，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

4）当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3

：

5）当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

我们发现：

当x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3

当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3

当x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3

所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2

解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）

则当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3

}

评：若问代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少并求x的取值范围一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值

分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程

可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，

；

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3）当-130，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5）当-110，x-12<0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，

?

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

可知：

当x<-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当x=-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40

当-13

当x=-11时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25

{

当-11

当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|= 48

当x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48

观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11

解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）

将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12

可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小

%

值是25 。

评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

分析: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4

（1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

）

（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

（3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

（4）当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

（5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值

解：根据绝对值的化简过程可以得出

当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6

当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6

$

当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6

当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6

则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值

'

例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值

分析：在数轴上表示出A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x

则DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|

当点C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC

当点A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC

当点D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC

当点D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC

`

当点D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC

当点D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC

当点D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC

综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25

解：令x+11=0 x-12=0 |x+13=0

则x=-11 x=12 x=-13

将-11 ，12 ，-13从小到大排练为-13＜-11＜12

∴当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间的距离即AC=12-(-13)=25

#

【例题6】

|x-1|的最小值

|x-1|+|x-2|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值

：

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值

【解】：

当x=1时，|x-1|的最小值是0

当1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1

当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0

！

当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1

当x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2

当3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1

当x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2

当4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1

当x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2

当5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1

\

【解法2】：捆绑法

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|

=（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间

|x-2+|x-9|的和最小，可知数x在数2和数9之间

|x-3|+|x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间

|x-4|+|x-7|的和最小，可知数x在数4和数7之间

|x-5|+|x-6|的和最小，可知数x在数5和数6之间

：

∴若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6）都可以。

总结：

若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值

或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以

若想求出最小值可以求关键点即可求出

】

【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值

（2）已知|x|≤3，求x的取值范围

（3）已知|x|＜3，求x的取值范围

（4）已知|x|≥3，求x的取值范围

（5）已知|x|＞3，求x的取值范围

【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，

（1）若|x|=3，则x=-3或x=3

（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3

$

（3）若|x|＜3，则-3＜x＜3

（4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3或x≥3

（5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3

【解】：（1）x=-3或x=3 (2) -3≤x≤3

(3 ) -3＜x＜3 (4 ) x≤-3或x≥3

(5 ) x＜-3或x＞3

【例题8】

)

（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少且所有整数的和是多少

（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少且所有整数的和是多少

【分析】：从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3 所以

（1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3；和为0

（2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0

【解】：(1) ∵|x|≤3

∴-3≤x≤3

∵x为整数

%

∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3

∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0

(2) ∵|x|＜3

∴-3＜x＜3

∵x为整数

∴满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3

∴-3+-2+-1+0+1+2+3=0

[

【乘方最值问题】

（1）当a取何值时，代数式（a-3)2有最小值，最小值是多少

（2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少

（3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少

（4）当a取何值时，代数式-（a-3)2有最大值，最大值是多少

（5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少

（6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少

（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少

|

分析：根据a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)2为非负数，即（a-3)2≥0，则-（a-3)2≤0 可以进一步判断出最值

解：（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2有最小值是0

（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2+4有最小值是4

（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2-4有最小值是-4

（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2有最大值是4

（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2+4有最大值是4

（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2-4有最大值是4

!

(7 ) 4-（a-3)2可以变形为- (a-3)2+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，

即a=3时，4-（a-3)2有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）

评：很好理解掌握a2即-a2的最值是解决本题的关键

归纳总结：

若x为未知数，a,b为常数，则

当x取何值时，代数式(x+a)2+b有最小值，最小值是多少

当x取何值时，代数式-(x+a)2+b有最大值，最大值是多少

】

------------------------------------------------------------------------------------

【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好

探究：设点A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x，使M

到A、B、C、D距离和最小。

MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+ lx-cl+|x-d|

其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知

当a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB）

^

当d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD）

综上所述，当d≤x≤c时，MA+ MB+ MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。

【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好

探究：加油站M应建在A3汽车站．

|

【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好

探究：当n为奇数时，加油站M应建在汽车站处；

当n为偶数时，加油站M应建在线段上。(即此两站之间)

【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。

'

根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是

|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617|

=308+307+…+1+1+2+…+308

=95172.

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【课后练习】

1.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值这个最小值是多少

（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值这个最大值是多少

| （3）求

54-+-x x 的最小值。 （4）求987-+-+-x x x 的最小值。

2．已知

1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的

， 最大值与最小值．

3、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

…

4．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．

A ．a>b

B ．a=b

C ．a

D ．a ≥b

5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；

⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；

⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。

；

因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距

离。

6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相减：

⑴当x≤时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑵当x≥时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑶当x

<<时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值；当x 时，有最小值；

<

7．设

=

+

+c

b

a，0

>

abc，则的值是（）．

A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1

8．设

c

b

a、

、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c

b

a≤

≤，

则

a

c

c

b

b

a-

+

-

+

-

可能取得的最大值是．

绝对值（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

…

根据实数含绝对值的意义，即|x|=

(0)

(0)

x x

x x

≥

?

?

-<

?

，有

|x|

(0)

(0)

c x c c

c

-<<>

?

??

?≤

?

；|x|>c

(0)

0(0)

(0)

x c x c c

x c

x R c

<->>

?

?

?≠=

?

?∈<

?

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

c

b

a

b

a

c

a

c

b+

+

+

+

+

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2

x 可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 $ 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝 对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去 绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式 来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等 …

式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这 种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观 化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简

单化，此解法适用于|

|||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)

类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

?

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值