有限元复习要点

有限元分析重点

1.诉述有限元法的定义P1

答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法

2.有限元法的基本思想是什么P3

答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3.有限元法的分类和基本步骤有哪些P3

答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

4.有限元法有哪些优缺点P4

答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD 软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。

5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定

答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度

6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义P9

答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵

单元刚度矩阵中元素aml 的物理意义为单元第L 个节点位移分量等于1 ，其他节点位移分量等于0 时，对应的第m 个节点力分量。

7.有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14

答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），：整个结构的节点位移列阵，：结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。

8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么

答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。

9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14

答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。

10.写出面钢架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式P27

答：手写

11.简述整体坐标的概念P25

答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X Y'下的单元刚度矩阵变换

到一个统一的坐标系xOy 下，这个统一的坐标系xOy 称为整体坐标系。

12.平面钢架局部坐标系下的单元刚度矩阵与整体坐标系的下单元刚度矩阵的关系P31

答：

13.简述平面钢架问题有限元法的基本过程

答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。

14.弹性力学的基本假设是什么。P36

答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。

15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。

答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研

究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体

区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分

方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的，材料

力学只研究和适用于杆件问题。

16.写出弹性力学中平面问题的几何方程、物理方程及平衡方程。并说明它们分别表示什么关系。

P46，

答：几何方程描述的是应变与位移的关系；物理方程描述的是应力分量和应变分量之间的关系；平衡方程描述的是应力与体力之间的关系。

17.简述圣维南原理。P45

答；把物体一小部分上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，但影响近处的应力分量，而不影响远处的应力。“局部影响原理”

18.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么？试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的

实例。

答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板的面力，且沿厚度均匀分布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。

平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同，受有平行

于横截面且不沿z向变化的外载荷，约束条件沿z向也不变，即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别：平面应力问题中z方向上应力为零，平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零。

19.三角形常应变单元的特点是什么？矩形单元的特点是什么？写出它们的位移模式。

答：三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。

矩形单元的位移模式是双线性函数，单元的应力、应变式线性变化的，具有精度较高，形状规整，便于实现计算机自动划分等优点，缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界，也不能随意改变大小，适用性非常有限。

20.写出三角形单元有限元基本方程并说明单元节点位移分别于单元应变应力和载荷的关系。

21.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关。

答：，单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵，局部坐标系下的单元刚度矩阵，节点位移有关的坐标变换矩阵。

22.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵（叠加法）？

答：（1）把单元刚度矩阵扩展成单元贡献矩阵,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列，空白处用零子块填充。（2）把单元的贡献矩阵的对应列的子块相叠加，即可得出整体刚度矩阵。

23.整体刚度矩阵的性质。

答：（1）整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力；（2）整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；（3）整体刚度矩阵是一个对称阵；（4）整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵。（5）整体刚度矩阵式一个奇异阵，在排除刚体位移后，他是正定阵。

24.简述形函数的概念和性质。P58

答：式中（i,j,m 可轮换），为三角形单元的面积。形函数的性质有：（1）形函数单元节点上的值，

具有“本点为一、他点为零”的性质；（2）在单元的任一节点上，三角函数之和等于1；（3）三角形单元任

一一条边上的形函数，仅与该端点节点坐标有关，而与另外一个节点坐标无关；（4）型函数的值在0~1

之间变换。

25.有限元分析的解题步骤。

答：（1）力学模型的确定；（2）结构的离散化；（3）计算载荷的等效节点力；（4）计算各单元的刚度矩阵；（5）组集整体刚度矩阵；（6）施加便捷约束条件;（7）求解降阶的有限元基本方程；（8 ）求解单元应力；（9 ）计算结果的输出。

26.结构的网格划分应注意哪些问题.如何对其进行节点编号。才能使半带宽最小。P50 ，P8 相邻节点的号码差最小

答：一般首选三角形单元或等参元。对平直边界可选用矩形单元，也可以同时选用两种或两种以上的单元。一般来说，集中力，集中力偶，分布在和强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点，支撑点都应该取为节点，相邻节点的号码差尽可能最小才能使半带宽最小

27.为了保证解答的收敛性，单元位数模式必须满足什么条件？

答：（1）位移模式必须包含单元刚体位移；（2）位移模式必须包含单元的常应变；（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。