008-小波分析(第三讲)--小波包_二代小波_Matlab工具使用
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北京科技大学 机械工程学院 23/ 82
提升算法
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c c U d d
－U P So Se 重构 S
第二代小波分解过程
第二代小波的重构过程
分解过程包括：剖分、预测和更新； 重构过程包括: 恢复更新、恢复预测和合并； 其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶 段引入了预测器和更新器的概念。
小波包分析与第二代小波
阳建宏
北京科技大学
2013-11-18
主要内容
小波包分析
第二代小波
Matlab在小波分析中的应用
北京科技大学 机械工程学院
2/ 82
离散小波的分解
□ 如果S表示原始的输入信号， DWT的概念是通过两 个互补的滤波器（高频和低频）产生A和D两个信号 A：信号的近似值 原始信号通过低频滤波器产 生，表示信号的低频分量 D：信号的细节值 原始信号通过高频滤波器产 生，表示信号的高频分量
软阈值 ( ) sgn( )( ), 0,
, ( ) 0,
代表原始小波系数，表示阈值处理后的小波系数，然后
北京科技大学 机械工程学院 5/ 82
再进行小波的逆变换
为什么要用小波包分析？
□
离散小波变换只是对近似信号进行再分解，而没有对 细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率 分辨率。
将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构
北京科技大学 机械工程学院
11/ 82
小波包的重构
小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析 提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信 号S表示为 5 6 S = P1 + P3 + P3 + P24 1
S
P1 1
P2 1
P21
P22
31/ 82
110
北京科技大学 机械工程学院
预测---用偶样本预测奇样本
北京科技大学 机械工程学院
24/ 82
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c U
设数据序列 S { s(k ), k Z }
P ()
d
1 第二代小波变换的分解过程如下: 1) 剖分.将数据序列 { s(k ), k Z }分为奇样本序列和偶样本序
se ( k ) s( 2k ) k Z so ( k ) s( 2k 1) k Z
北京科技大学 机械工程学院
20/ 82
第二代小波与第一代小波的比较
（1）在构造方法上，第二代小波变换采用提升方法， 而第一代小波的构造是从滤波器组的频域特性要求 出发，构造不同特性的小波。 （2）在多分辨分析方面，第二代小波变换的小波空间和 尺度空间不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得 到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩 和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是 由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。
小波包的重构
重构公式：
P (t ) H P
i j *
2 i 1 j 1
(t ) G P (t )
* 2i j 1
H*、 G*分别为H和G的对偶算子，也为H 和 G的共轭转置矩阵
重构过程：
设原始信号经过J层小波包分解后得到 2j 个小波包
如果要重构第2 数据置零。
i
个小波包的数据，把这一层中其他小波包的
第二代小波变换
假设预测器长度N=2 ，更新器长度N’=4，基于插值细分 原理的第二代小波分解过程如下
原始信号 剖分 预测 细节信号 更新 逼近信号 s[1] x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9)
xe[1] xo[1] xe[2] xo[2] xe[3] xo[3] xe[4] xo[4] xe[5] -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2
剖分
原 始 信 号 o--偶 样 本 ， .---奇 样 本 2 0 -2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
偶样本序列 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
奇样本序列 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
第5层小波包分解
0号小波包重构
2号小波包重构
电机转速频率
电机转速频率的四倍频
北京科技大学 机械工程学院
14/ 82
小波包---应用2
轴承内圈故障
轴承内圈出现故 障，出现冲击， 但被噪声淹没
圆锥轴承内圈轻度剥落信号
时域振动信号
频域图
由冲击引起的固 有振动频率，难 以识别轴承故障
第5层小波包分解
北京科技大学 机械工程学院
北京科技大学 机械工程学院
22/ 82
第二代小波的基本思想
Mallat算法
通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得 到低频子带和高频子带 剖分(split) 将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不 相交的子集 预测(predict) 利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测 另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通 过与原奇子集的差值，确定细节信息 更新(update) 细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定 近似信息
北京科技大学 机械工程学院 8/ 82
小波包的分解
从频域来看小波包分解
每个小波包数据是原始信号在不同频率段上的成份 小波包的频带相邻，并且带宽相等 分解的层数越多，频率段划分得越细
北京科技大学 机械工程学院 9/ 82
小波包的分解---实例
原始信号
北京科技大学 机械工程学院
10/ 82
d[1] u1 s[2]
d[2] u2
d[3] 1 s[3] u3 u4 s[4]
d[4]
s[5]
第二代小波分解过程
北京科技大学 机械工程学院 29/ 82
第二代小波变换
s[1] 恢复更新 xe[1] 恢复预测 p1
d[1] s[2] -u1 xe[2] 1 xo[1]
d[2]
s[3]
d[3]
s[4]
第5层小Байду номын сангаас包分解
频域图
16号小波包重构
一个周期内约有7 个冲击，与理论 分析相符，说明 小波包分解有效
17/ 82
北京科技大学 机械工程学院
小波包---小结
小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号进 行再分解，提高了信号高频部分的频域分辨率，弥 补了小波分解的不足
小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分， 因此小波包分解后，信号的信息量是完整的
采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分， 因此可以有效地用于信号的特征提取
北京科技大学 机械工程学院
18/ 82
主要内容
小波包分析
第二代小波
Matlab在小波分析中的应用
北京科技大学 机械工程学院
19/ 82
第二代小波的提出
1995年，贝尔实验室的Sweldens博士提出了一种全 新的在时域中构造小波的第二代小波方法(the second generation wavelet) ， 又 名 提 升 方 法 (Lifting Scheme)。 第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更 为快速有效的小波变换实现方法，它不依赖Fourier变 换，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。 这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出 优点弥补了传统频域构造方法的不足。
北京科技大学 机械工程学院
H低通滤波器 G高通滤波器
Pij是第j层小波包分解得到 的第i个小波包
7/ 82
小波包的分解
从时域来看小波包分解
每一层的小波包数目比上一层中的小波包数目增加一倍 每个小波包的数据长度比上一层小波包数据长度减半 每个小波包的时域分辨率比上一层小波包的时域分辨率减半
P23
P24
P31
P32
P34
P35
P36
P37
P38
北京科技大学 机械工程学院
12/ 82
小波包---应用1
电机振动信号，采样频率5120Hz
电机转速频率 电机转速频率的四倍频
第5层小波包分解
北京科技大学 机械工程学院
13/ 82
小波包---应用1
最高分析频率f = fs /2 = 2560 Hz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 = 80Hz 电机转速频率50Hz∈[0 80]，即为0号小波包 电机转速频率的四倍频200Hz ∈[160 240]，即2号小波包
c －U d P
Se 重构 So S
d
3) 更新.设U(· )为更新器,在细节d ( k ) 的基础上更新 Se ( k ) 其结果定义为逼近信号
c(k ) se ( k ) U [d (k )] k Z 2 重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预 测和合并组成。
se ( k ) c( k ) U [d ( k )] k Z
2) 预测.设P(· )为预测器，用se ( k ) 预测 so ( k ),定义预测偏差 为细节信号 d ( k ) d ( k ) so ( k ) P[ se ( k )] 。k Z
北京科技大学 机械工程学院 25/ 82
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c U
P ()
北京科技大学 机械工程学院
21/ 82
第二代小波与第一代小波的比较
(3)第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特性在构造 完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换 可以通过提升改善小波的特性。 (4)在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二 代小波在理论上可以任意构造小波. (5)第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小 波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波 变换相同的时频特性。
15/ 82
小波包---应用2
轴承内圈故障
最高分析频率f = fs /2 = 20/2 = 10 KHz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 =312.5 Hz 频谱图中的频率范围6000~8000 Hz 对应的小波包频宽范围6000/312.5 ~ 8000/312.5 Hz。即为 18~26 号小波包
so ( k ) d ( k ) P[ se ( k )] k Z
北京科技大学 机械工程学院 26/ 82
第二代小波---构造方法
1、Haar小波
2、db4小波
北京科技大学 机械工程学院
27/ 82
第二代小波---构造方法
3、以双正交小波CDF(2,2)
北京科技大学 机械工程学院
28/ 82
第5层小波包分解
23号小波包重构
一个周期内约有9 个冲击，与理论 分析相符，说明 小波包分解有效
16/ 82
轴的转动周期 北京科技大学 机械工程学院
小波包---应用3
轴承外圈剥落故障
时域振动信号
最高分析频率 f = fs /2 = 20/2 = 10 KHz
每个小波包的频率带宽为
d = f /32 =312.5 Hz 频谱图中的频率范围 3500~5500 Hz 对应的小波包频宽范围 3500/312.5 ~ 5500/312.5 Hz 即为 11~18号小波包
北京科技大学 机械工程学院
6/ 82
小波包的分解
□ □
小波包理论是在多尺度分析和Mallat算法基础上发展 起来的。 小波包分析同时分解细节信号和近似信号
S
P1 1
P2 1
P21
P22
P23
P24
P31
P32
P34
P35
P36
P37
P38
小波包分解算法：
近似信号
细节信号
Pj2i 1 (t ) HPji1 (t ) 2i Pj (t ) GPji1 (t )
d[4] -u4
s[5]
-u2 1 -u3 xe[3] p2 p1 1 xo[3] x(5) x(6) x(7) xe[4]
xe[5] p2
p2 p1 1 xo[2] x(3) x(4)
p2 p1 1 xo[4] x(8)
合并
x(1)
x(2)
x(9)
第二代小波重构过程
北京科技大学 机械工程学院
30/ 82
双通道滤波过程
然后，对信号的近似信号A继续 使用滤波器进行分解
北京科技大学 机械工程学院 3/ 82
离散小波的分解
小波分解树
北京科技大学 机械工程学院 4/ 82
离散小波的重构
完全重构 小波系数不经过处理，通过逆 变换重构回原始信号 S=cA1+cD1 =cA2+cD2+cD1 =cA3+cD3+cD2+cD1 单支重构 用其中某一层近似或细节系数 重构 阈值处理小波系数后重构 , 硬阈值 ( ) 0,
提升算法
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c c U d d
－U P So Se 重构 S
第二代小波分解过程
第二代小波的重构过程
分解过程包括：剖分、预测和更新； 重构过程包括: 恢复更新、恢复预测和合并； 其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶 段引入了预测器和更新器的概念。
小波包分析与第二代小波
阳建宏
北京科技大学
2013-11-18
主要内容
小波包分析
第二代小波
Matlab在小波分析中的应用
北京科技大学 机械工程学院
2/ 82
离散小波的分解
□ 如果S表示原始的输入信号， DWT的概念是通过两 个互补的滤波器（高频和低频）产生A和D两个信号 A：信号的近似值 原始信号通过低频滤波器产 生，表示信号的低频分量 D：信号的细节值 原始信号通过高频滤波器产 生，表示信号的高频分量
软阈值 ( ) sgn( )( ), 0,
, ( ) 0,
代表原始小波系数，表示阈值处理后的小波系数，然后
北京科技大学 机械工程学院 5/ 82
再进行小波的逆变换
为什么要用小波包分析？
□
离散小波变换只是对近似信号进行再分解，而没有对 细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率 分辨率。
将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构
北京科技大学 机械工程学院
11/ 82
小波包的重构
小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析 提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信 号S表示为 5 6 S = P1 + P3 + P3 + P24 1
S
P1 1
P2 1
P21
P22
31/ 82
110
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预测---用偶样本预测奇样本
北京科技大学 机械工程学院
24/ 82
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c U
设数据序列 S { s(k ), k Z }
P ()
d
1 第二代小波变换的分解过程如下: 1) 剖分.将数据序列 { s(k ), k Z }分为奇样本序列和偶样本序
se ( k ) s( 2k ) k Z so ( k ) s( 2k 1) k Z
北京科技大学 机械工程学院
20/ 82
第二代小波与第一代小波的比较
（1）在构造方法上，第二代小波变换采用提升方法， 而第一代小波的构造是从滤波器组的频域特性要求 出发，构造不同特性的小波。 （2）在多分辨分析方面，第二代小波变换的小波空间和 尺度空间不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得 到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩 和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是 由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。
小波包的重构
重构公式：
P (t ) H P
i j *
2 i 1 j 1
(t ) G P (t )
* 2i j 1
H*、 G*分别为H和G的对偶算子，也为H 和 G的共轭转置矩阵
重构过程：
设原始信号经过J层小波包分解后得到 2j 个小波包
如果要重构第2 数据置零。
i
个小波包的数据，把这一层中其他小波包的
第二代小波变换
假设预测器长度N=2 ，更新器长度N’=4，基于插值细分 原理的第二代小波分解过程如下
原始信号 剖分 预测 细节信号 更新 逼近信号 s[1] x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9)
xe[1] xo[1] xe[2] xo[2] xe[3] xo[3] xe[4] xo[4] xe[5] -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2
剖分
原 始 信 号 o--偶 样 本 ， .---奇 样 本 2 0 -2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
偶样本序列 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
奇样本序列 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
第5层小波包分解
0号小波包重构
2号小波包重构
电机转速频率
电机转速频率的四倍频
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14/ 82
小波包---应用2
轴承内圈故障
轴承内圈出现故 障，出现冲击， 但被噪声淹没
圆锥轴承内圈轻度剥落信号
时域振动信号
频域图
由冲击引起的固 有振动频率，难 以识别轴承故障
第5层小波包分解
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22/ 82
第二代小波的基本思想
Mallat算法
通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得 到低频子带和高频子带 剖分(split) 将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不 相交的子集 预测(predict) 利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测 另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通 过与原奇子集的差值，确定细节信息 更新(update) 细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定 近似信息
北京科技大学 机械工程学院 8/ 82
小波包的分解
从频域来看小波包分解
每个小波包数据是原始信号在不同频率段上的成份 小波包的频带相邻，并且带宽相等 分解的层数越多，频率段划分得越细
北京科技大学 机械工程学院 9/ 82
小波包的分解---实例
原始信号
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10/ 82
d[1] u1 s[2]
d[2] u2
d[3] 1 s[3] u3 u4 s[4]
d[4]
s[5]
第二代小波分解过程
北京科技大学 机械工程学院 29/ 82
第二代小波变换
s[1] 恢复更新 xe[1] 恢复预测 p1
d[1] s[2] -u1 xe[2] 1 xo[1]
d[2]
s[3]
d[3]
s[4]
第5层小Байду номын сангаас包分解
频域图
16号小波包重构
一个周期内约有7 个冲击，与理论 分析相符，说明 小波包分解有效
17/ 82
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小波包---小结
小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号进 行再分解，提高了信号高频部分的频域分辨率，弥 补了小波分解的不足
小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分， 因此小波包分解后，信号的信息量是完整的
采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分， 因此可以有效地用于信号的特征提取
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18/ 82
主要内容
小波包分析
第二代小波
Matlab在小波分析中的应用
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19/ 82
第二代小波的提出
1995年，贝尔实验室的Sweldens博士提出了一种全 新的在时域中构造小波的第二代小波方法(the second generation wavelet) ， 又 名 提 升 方 法 (Lifting Scheme)。 第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更 为快速有效的小波变换实现方法，它不依赖Fourier变 换，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。 这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出 优点弥补了传统频域构造方法的不足。
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H低通滤波器 G高通滤波器
Pij是第j层小波包分解得到 的第i个小波包
7/ 82
小波包的分解
从时域来看小波包分解
每一层的小波包数目比上一层中的小波包数目增加一倍 每个小波包的数据长度比上一层小波包数据长度减半 每个小波包的时域分辨率比上一层小波包的时域分辨率减半
P23
P24
P31
P32
P34
P35
P36
P37
P38
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小波包---应用1
电机振动信号，采样频率5120Hz
电机转速频率 电机转速频率的四倍频
第5层小波包分解
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13/ 82
小波包---应用1
最高分析频率f = fs /2 = 2560 Hz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 = 80Hz 电机转速频率50Hz∈[0 80]，即为0号小波包 电机转速频率的四倍频200Hz ∈[160 240]，即2号小波包
c －U d P
Se 重构 So S
d
3) 更新.设U(· )为更新器,在细节d ( k ) 的基础上更新 Se ( k ) 其结果定义为逼近信号
c(k ) se ( k ) U [d (k )] k Z 2 重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预 测和合并组成。
se ( k ) c( k ) U [d ( k )] k Z
2) 预测.设P(· )为预测器，用se ( k ) 预测 so ( k ),定义预测偏差 为细节信号 d ( k ) d ( k ) so ( k ) P[ se ( k )] 。k Z
北京科技大学 机械工程学院 25/ 82
第二代小波变换
Se S 剖分 So －P c U
P ()
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21/ 82
第二代小波与第一代小波的比较
(3)第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特性在构造 完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换 可以通过提升改善小波的特性。 (4)在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二 代小波在理论上可以任意构造小波. (5)第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小 波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波 变换相同的时频特性。
15/ 82
小波包---应用2
轴承内圈故障
最高分析频率f = fs /2 = 20/2 = 10 KHz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 =312.5 Hz 频谱图中的频率范围6000~8000 Hz 对应的小波包频宽范围6000/312.5 ~ 8000/312.5 Hz。即为 18~26 号小波包
so ( k ) d ( k ) P[ se ( k )] k Z
北京科技大学 机械工程学院 26/ 82
第二代小波---构造方法
1、Haar小波
2、db4小波
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27/ 82
第二代小波---构造方法
3、以双正交小波CDF(2,2)
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28/ 82
第5层小波包分解
23号小波包重构
一个周期内约有9 个冲击，与理论 分析相符，说明 小波包分解有效
16/ 82
轴的转动周期 北京科技大学 机械工程学院
小波包---应用3
轴承外圈剥落故障
时域振动信号
最高分析频率 f = fs /2 = 20/2 = 10 KHz
每个小波包的频率带宽为
d = f /32 =312.5 Hz 频谱图中的频率范围 3500~5500 Hz 对应的小波包频宽范围 3500/312.5 ~ 5500/312.5 Hz 即为 11~18号小波包
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小波包的分解
□ □
小波包理论是在多尺度分析和Mallat算法基础上发展 起来的。 小波包分析同时分解细节信号和近似信号
S
P1 1
P2 1
P21
P22
P23
P24
P31
P32
P34
P35
P36
P37
P38
小波包分解算法：
近似信号
细节信号
Pj2i 1 (t ) HPji1 (t ) 2i Pj (t ) GPji1 (t )
d[4] -u4
s[5]
-u2 1 -u3 xe[3] p2 p1 1 xo[3] x(5) x(6) x(7) xe[4]
xe[5] p2
p2 p1 1 xo[2] x(3) x(4)
p2 p1 1 xo[4] x(8)
合并
x(1)
x(2)
x(9)
第二代小波重构过程
北京科技大学 机械工程学院
30/ 82
双通道滤波过程
然后，对信号的近似信号A继续 使用滤波器进行分解
北京科技大学 机械工程学院 3/ 82
离散小波的分解
小波分解树
北京科技大学 机械工程学院 4/ 82
离散小波的重构
完全重构 小波系数不经过处理，通过逆 变换重构回原始信号 S=cA1+cD1 =cA2+cD2+cD1 =cA3+cD3+cD2+cD1 单支重构 用其中某一层近似或细节系数 重构 阈值处理小波系数后重构 , 硬阈值 ( ) 0,