(完整版)第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理

与圆有关的定理

第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理

直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。

1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA•PB（切割线定理）

如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA•PB 证明：连接A T, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT2=PB•PA

2、推论（割线定理）：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言：

∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）

由上可知:PT2=PA•PB=PC•PD

3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

（1）切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是

切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 （ 2）几点说明

对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

（2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。

（3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

基础知识运用：

例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。

解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE

设CE 为x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理

(1+x)2=(1-x)2+12,x=41 ∴DE=1- 41=43，AE=1+41=4

5 ， ∴DE ：AE=43：45=3:5 针对性练习：

1、已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ）

A. 320

B. 3

25 C. 5 D. 8 例2.如图5，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。

解：∵PC 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线，且PA ：PB ＝1：4

∴PB ＝4PA

又∵PC ＝12cm

由切割线定理，得 PC 2=PA •PB

∴ 122=PA •4PA

∴ PA 2=36，

∴ PA=6（cm ）

∴PB ＝4×6＝24（cm ）

∴AB ＝24－6＝18（cm ）

设圆心O 到AB 距离为d cm ，

由勾股定理，得

d=22910-=19（cm ）

故应填19。,

针对性练习：

2.已知：⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若PA •PB ＝24，OP ＝5，则⊙O 的半径长为_____________。

3.若PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 割线交⊙O 于B 、C ，若BC ＝20， ，则PC 的长为_____________。

4、如图6，已知P 为⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，求证：CB 平分∠DCP 。

参考答案：

1、 A

2、 1

3、30

4、证明：如图7，连结AC ，则AC ⊥CB

∵CD ⊥AB ，∴△ACB ∽△CDB ，∴∠A ＝∠1

∵PC 为⊙O 的切线，∴∠A ＝∠2，又∠1＝∠2，

∴BC 平分∠DCP