初三数学相交弦定理和切割线定理人教版

初三数学相交弦定理和切割线定理

一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点：

1. 相交弦定理的使用特征。

2. 切割线定理的使用特征。

【典型例题】

[例1] 已知P 为⊙O 内一点，cm OP 3=，⊙O 半径为cm 6，过P 任作一弦AB ，设x AP =，

y BP =，则y 关于x 的函数关系式为 。

解：由相交弦定理得x y 2236-=，即x

y 27=，其中93≤≤x

.O

A

B P

C

D

[例2] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。

证明：

作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4

由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF

由切割线定理，CB CA CE ⋅=2

DA DB DF ⋅=2

∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2

2

DF CE = CE=DF

∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ∆≅∆（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。

解：

设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）

由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(2

2

++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：

连AB ，∴ ∠1=∴

EF CE =由切割线定理得：1441692

=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12

[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：

（1）PB PA PC ⋅=2

（2）若证明：

（1）延长CP

解：

（2）易知32

1

==

OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有20462

2

2

=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+

=x y 代②得，0203

162=-+x x ∴ 0601632

=-+x x ，3

61

28±-=

x （舍负）

∴ AP 长为

3

61

28+-

[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=

2

5

，求AB 长。

解：

设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K

由相交弦定理，ED CE BE EK ⋅=⋅，故a r r 3)2

5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ⋅=-=2

2

2

∴ )6(3)2

5(62

2

a r +=-- ② 由②—①得：018522

=--r r ，2

9

1=

r ，22-=r （舍） ∴ 32)2

529(62

22=--=AB ，AB=24

[例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ∆中三个内角的正切值。

解：易知︒=∠=

∠452

1

BOA C ∴ 145tan tan =︒=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ︒=∠90BCF 又 ∵ ︒=∠90BOM ∴ BCF BOM ∆∆~

∴ 2tan tan ==

=

∠=∠OM

OB FC

CB F BAC

∵ ︒=⋂

⋂

90m

BE

AB ∴ ︒=∠=∠4521

作MH ⊥AC 于H 点 则3tan tan =====

∠=∠ME

AM

HC AH MH AH CE AC E ABC

[例8] 如图，已知ABC ∆中︒=∠90ACB ，以C 为圆心，作圆与AB 相切于点D ，且AD=9，BD=16

（1）求⊙C 的半径 （2）求F ∠tan 的值

解：连CD 、ED ，则CD ⊥AB ，︒=∠90EDF

（1）由射影定理，1692

⨯=⋅=DB AD CD ∴ 12169=⨯=

CD ∴ EF=24 ∴ ⊙C 半径为12

（2）由弦切角定理，F ADE ∠=∠，故ADF AED ∆∆~ ∴ AD

AE

DF DE F =

=

∠tan 设x AE =，由AF AE AD ⋅=2

得：)24(92

+=x x ，故081242=-+x x

31=x ，272-=x （舍） ∴ =

∠F tan 3

193=

（答题时间：45分钟） 一. 选择题：

1. 如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 、PDC 为⊙O 的割线，则下列等式成立的是（ ）

A. PC PD BA PB ⋅=⋅

B. PD PC PT ⋅=2

C.

AC

BD

PC PA =

D. PC CD PA AB ⋅=⋅