中考数学 切割线定理
切割线定理
定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT 的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC 是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT ∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：连接A T, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) 切割线定理的证明∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT^2=PB·PA
比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求直线段长度。
切割线定理
切割线定理
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
也是圆幂定理之一。
我在《证明——切割线定理》一文中使用勾股定理求证，比较烦琐。
现在我不依靠切割线定理证了弦切角定理（过程在这里），就可以利用弦切角定理证明切割线定理。
如图所示。
已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P
求证：AP·BP=CP2
证明
连接AC、BC
由弦切角定理得
∠ACP=∠CBP
又∵∠APC=∠CPB（公共角）
∴△ACP∽△CBP（两角对应相等的两个三角形相似）
∴AP/CP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）
∴AP·BP=CP2（比例基本性质）。
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
切割线定理和割线定理
切割线定理和割线定理
切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明几何定理中起着至关重要的作用。
让我们来谈谈切割线定理。
切割线定理是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线被称为切割线，它将平行线分割成相似三角形。
这个定理在解决三角形相似性问题时非常有用，通过切割线定理，我们可以证明两个三角形的某些角度相等，从而推导出它们是相似的。
接下来，让我们来看看割线定理。
割线定理是指，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线被称为割线，它将圆分割成两个不相交的部分。
割线定理在解决圆的性质和相关定理时非常重要，通过割线定理，我们可以推导出圆内角和弧的关系，以及切线与半径的垂直关系等。
总的来说，切割线定理和割线定理都是几何学中基础而重要的概念，它们为我们理解几何形状和解决几何问题提供了重要的线索。
通过运用切割线定理和割线定理，我们可以更好地理解几何学知识，推导几何定理，解决几何难题。
在实际应用中，切割线定理和割线定理也有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要根据建筑物的不同形状和结构来设计合适的切割线和割线，以确保建筑物的稳固和美观。
在工程测量中，切割
线和割线也经常被用来确定地表的坡度和地势的高低，为工程施工提供重要的参考依据。
总的来说，切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
通过深入理解和应用切割线定理和割线定理，我们可以更好地掌握几何学知识，解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望通过本文的介绍，读者能对切割线定理和割线定理有更深入的了解，进一步探索几何学的奥秘。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
切割线定理公式：假设$V=\{v_i\}_{i=1}^{n}$是多边形$P$的一个顶点集合，$L=\{l_i\}_{i=1}^{n}$是从$v_1$出发，从$v_i$开始绕$P$沿顺时针方向绕一圈，途经定点$v_{i+1}$与$v_i$之间的一条射线，则定理结论如下：将射线$L$在多边形$P$内部切割，给出的n段子线段的总长度
T(L)与多边形面积S(P)满足：
$T(L)=2S(P)$
证明：
考虑多边形$P$包围面积S(P)中最后一个三角形，设其三个顶点分别为$v_i,v_{i+1},v_{i+2}$，以$v_i,v_{i+1}$为基线，$v_{i+2}$为外顶点。
将射线$l_i$投射到$v_i,v_{i+1}$的基线上，形成一个新的顶点
$v'_{i+2}$，由$v_i,v'_{i+2}$组成的新的三角形，与原来的三角形
$v_i,v_{i+1},v_{i+2}$完全相同，只不过替换了一个顶点，而新三角形的面积仍然为S(P)，且$v'_{i+2}$是射线$l_i$与多边形$P$之间的一个公共点，即射线$l_i$将多边形$P$内部切割，形成了两段新线段，令这两段新线段为$s_1$与$s_2$，则有：
$T(L)=s_1+s_2=2S(P)$
因此，得证切割线定理。
切割线定理推论
切割线定理推论切割线定理是高等数学中非常重要的一个定理，其在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从切割线定理的定义、推论以及实际应用等方面进行阐述。
一、切割线定理的定义切割线定理是指：若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么该曲线可以被这条切线分成两部分，其中一部分包含点P，而另一部分则不包含点P。
二、切割线定理的推论1.推论一若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么该曲线在P点处的斜率等于该曲线在P点处的切线的斜率。
2.推论二若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么在点P处，该曲线的导数等于该曲线在P点处的切线的斜率。
3.推论三若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么在点P处，该曲线的凹凸性与该曲线在P点处的切线的斜率变化的方向相同。
三、切割线定理的实际应用切割线定理在实际应用中有着广泛的应用，下面介绍几个具体的实例。
1.曲线的最大值和最小值通过对曲线进行分割，可以确定曲线的最大值和最小值。
具体的方法是，找到曲线的拐点，然后将拐点作为切割线，从而得出曲线的最大值和最小值。
2.曲线的优化在工程和科学研究中，经常需要对曲线进行优化，以达到最佳效果。
通过切割线定理，可以找到曲线的拐点，从而确定曲线的优化方向。
3.曲线的积分在计算曲线的积分时，切割线定理也有着重要的作用。
通过将曲线进行分割，可以将曲线的积分分为多个小段，从而更加方便地进行计算。
切割线定理是高等数学中非常重要的一个定理，其具有广泛的应用。
通过对切割线定理的理解和应用，我们可以更好地理解和掌握高等数学的知识，为实际应用提供更加准确和有效的数学支持。
初中数学重点梳理：切线和割线
切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。
因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。
知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的之一。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。
九年级数学切割线定理
B
推论: 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半
是它分直径所成的两条线段的比例中项． PC2=PA· PB
• 练习 : ⊙o的弦 CD平分AB于P, 且AB=12cm,CD=13cm • 试求: PC 和 PD 的长.
A
C P •O
B
D
A
D P • C
PA · PB = PD · PC
B
G
O•
F
思考题: 若延长PE交圆O于F,BF交CD于G 求证: PC•BG=PD • BC
C
交端×交端=交端×交端
PA· PB = PD· PC 相 交 弦 定 理 PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PA AB PC CD 2 PT PA AB
PC· PD =PA· PB
P
PM· PN =PC2
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC =PD。
B o1 • A C
o2
•
D
P
是BA的延长线上一点。PC，PD，PE …分别与圆o1，圆o2，圆 o3 …相切于C，D，E … ，求证：C，D，E … 在同一个圆上。
T
练习一: 如下图,圆o的两条弦AB和CD相交于点E,AC和DB 的延长线交于P,下列结论成立的是( D ). (A) PC • CA=PB • BD (B) CE • AE=BE • ED (C) CE • CD=BE • BA (D) PB • PD=PC • PA
PA· PB = PD· PC
PB = 4
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【知识点小结】
1．切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2．切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
课题
切割线定理
教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题；
2．理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法；
3．使学生理解切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；
重点、难点
10.已知：如图，在 中， ， ，以 为弦的圆 与 切干点 ，与 交于 点。求证： ．
5． 、 分别切 于 、 ， 交 于 ，连结 、 ，则圆中的直角三角形共有（）个
A．3B．4C．5D．6
6．已知：如图1，直线 切 于 点， ， ，那么 ____．
7．已知：如图2，直线 与 相切于点 ， 为 直径， 于 ， ，则 ____．
8．已知：直线 与 切于 点，割线 与 交于 和 两点， ， ，则 ；
A． B． C． D．
3． 是 的直径， 是 延长线上一点，且 ， 是 的切线，且 ，则 半径为（）
A． B． C． D．
4． 是 的直径， 是 延长线上一点，且 ， 是 的切线，且 ，则 半径为( )
A． B． C． D．
5．已知：如图3， 的 ，内切圆 与 的三边分别切于 、 、 三点， ，那么 ____．
【经典例题】
【例1】已知：如图， 切圆于 ， 为圆直径， ， ， 。求 的长。
【例2】如图所示， 中， ，以 为直径 交 于点 ，切线 交 于 。求证： 。
【例3】如图所示， 、 是 的切线， 、 为切点， 于 ，交 于 ，求证： 。
【例4】已知， 为 的直径，过 点作 的切线 ， 交 于点 ， 的延长线交 于 。
2．圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为2，则这个四边形的面积为（）
A．6B．12C．24D．48
3．外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（）
A．任意三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4． 、 分别切圆于 、 ， 、 两点分圆所得两弧比为 ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
重点：理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题；理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法；
难点：切割线定理的综合运用
考点及考试要求
理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题；了解切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；
6．已知：如图4，圆 为 外接圆， 为直径， 切 于 点， ，那么 ____．
7．已知：如图， 切 于 ， 交 于 、 ， 平分 ，求 的度数。
8．已知：如图， 、 分别切 于 、 ， 为割线交 于 、 ，若 ， ， ，求 的长。
9．已知：如图， 是 半径， 是 延长线上一点， 切 于 ， 于 。求证： 平分 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 、 的长。
【例5】如图所示， 是 的外接圆， 的平分线 交 于 ，交 于 ， 的切线 交 的延长线于 。求证： 。
【课堂练习】
1．已知 、 分别切 于 、 ， 是劣弧 上任意一点，过 作 的切线和 、 分别交于 、 ，若 ， 半径为 ，则 的周长为（）
A． B． C． D．不确定
9．已知：如图， 与 切于 ， 为直径， ， 为 一弦。求 与 的度数。
10.已知： ， 与 分别切于 、 两点，延长 到 ，使 ，求证： 。
【课外练习】
1． 切 于 ， 是过 点的割线,且 ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
2．过 外一点 引圆的两切线 、 ， 、 是切点， ， ，则 半径的长为（）
3．弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
4．弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角；
5．切割线定理：已知 中， 切 于 ，割线 交 于 ，则有 。证明方法：连结 、 ，证：
6．切割线定理推论：已知 、 为 的两条割线，交 于 、 ，则有 ，证明方法：过 作 切 于 ，用两次切割线定理。