2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
2020年中考数学试题《圆》试题精编含答案
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
24．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以 O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
27．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
28．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
1．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，∵O Nhomakorabea＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)
2020中考数学 压轴专题 圆的综合（含答案）1. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第1题图（1）证明：如解图，连接OB ，第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线，⊙⊙PBO ＝90°，⊙OA ＝OB ，BA ⊙PO 于点D ，⊙AD ＝BD ，⊙点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，⊙⊙APO ＝⊙BPO ，⊙⊙ADP ＝⊙BDP ＝90°，⊙⊙APD ⊙⊙BPD ，⊙AP ＝BP ，在⊙P AO 和⊙PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ⊙APO ＝⊙BPO OP ＝OP，⊙⊙P AO ⊙⊙PBO （SAS ），⊙⊙P AO ＝⊙PBO ＝90°，⊙OA 为⊙O 的半径，⊙直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：⊙⊙P AO ＝⊙PDA ＝90°，⊙⊙OAD ＋⊙AOD ＝90°，⊙OP A ＋⊙AOP ＝90°，⊙⊙OAD ＝⊙OP A ，⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ，⊙OA OP ＝OD OA，即OA 2＝OD ·OP ， 又⊙EF ＝2OA ，⊙EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：⊙OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，⊙OD ＝12BC ＝3， 设AD ＝x ，⊙tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12， ⊙DF ＝2x ，⊙OA ＝OF ＝2x －3，在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，⊙OA ＝2x －3＝5，⊙AC 为⊙O 的直径，⊙AC ＝2OA ＝10.2. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊙AC ，垂足为点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD ，第2题解图 G⊙OB ＝OD ，⊙⊙ODB ＝⊙B ，又⊙AB ＝AC ，⊙⊙C ＝⊙B ，⊙⊙ODB ＝⊙C ，⊙OD ⊙AC ，⊙DF ⊙AC ，⊙⊙DFC ＝90°，⊙⊙ODF ＝⊙DFC ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊙AC ，垂足为G ，⊙AG ＝12AE ＝2. ⊙cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25， ⊙OA ＝5，⊙OG ＝OA 2－AG 2＝21，⊙⊙ODF ＝⊙DFG ＝⊙OGF ＝90°，⊙四边形OGFD 为矩形，⊙DF ＝OG ＝21.3. 如图，在⊙O 中，直径CD ⊙弦AB 于点E ，AM ⊙BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角，⊙⊙BAD ＝⊙BCD ，⊙AE ⊙CD ，AM ⊙BC ，⊙⊙AEN ＝⊙AMC ＝90°，⊙⊙ANE ＝⊙CNM ，⊙⊙BAM ＝⊙BCD ，⊙⊙BAM ＝⊙BAD ，在⊙ANE 与⊙ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM ＝⊙BAD AE ＝AE⊙AEN ＝⊙AED， ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA)，⊙AN ＝AD ；(2)解：⊙AB ＝42，AE ⊙CD ,⊙AE ＝12AB ＝22，又⊙ON＝1，⊙设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，⊙(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，⊙AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：⊙1＝⊙F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径，⊙⊙DEB＝90°.⊙E是AB的中点，⊙DA＝DB，⊙⊙1＝⊙B.⊙⊙1＝⊙F；(2)解：⊙⊙1＝⊙F，⊙AE＝EF＝25，⊙AB＝2AE＝4 5.在Rt⊙ABC中，AC＝AB·sin B＝4，⊙BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt⊙ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，⊙CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图（1）证明：⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙CB ⊙AE ，⊙AD ⊙AE ，⊙⊙DAO ＝90°，又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ，⊙DC ⊙OC ，⊙⊙DCO ＝90°，⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL)，⊙DA ＝DC ；(2)解：⊙CB ⊙AE ，AE 是⊙O 的直径，⊙CF ＝FB ＝12BC ， 又⊙四边形ABCD 是平行四边形，⊙AD ＝BC ，⊙CF ＝12AD ， 又⊙CF ⊙DA ，⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ，⊙PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由(1)知DA ＝DC ，⊙DA ＝12PD ， ⊙在Rt⊙DAP 中，⊙P ＝30°.⊙⊙F AB ＝⊙P ＝30°，又⊙⊙ABE ＝90°，⊙⊙AEB ＝90°－30°＝60°.6. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：⊙ABD ＝⊙ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线， ⊙OD ⊙DE ，⊙⊙ADO ＋⊙ADE ＝90°. ⊙AB 为⊙O 的直径， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙⊙ADO ＋⊙ODB ＝90°. ⊙⊙ADE ＝⊙ODB ， ⊙OB ＝OD ， ⊙⊙OBD ＝⊙ODB ， ⊙⊙ABD ＝⊙ADE ;(2)解：⊙AB ＝AC ＝2×256＝253，⊙ADB ＝⊙ADC ＝90°，⊙⊙ABC ＝⊙C ，BD ＝CD . ⊙O 为AB 的中点， ⊙OD 为⊙ABC 的中位线，⊙OD ⊙AC ， ⊙OD ⊙DE ， ⊙AC ⊙DE ， 在Rt⊙ACD 中， CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ⊙⊙C ＝⊙C ，⊙DEC ＝⊙ADC ＝90°， ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC ， ⊙CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253， ⊙CE ＝3.7. 如图，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，D 是边AB 上的一点，且⊙A ＝2⊙DCB ，点E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．第7题图(1)证明：如解图⊙，连接OD ，第7题解图⊙则⊙DOB＝2⊙DCB，又⊙⊙A＝2⊙DCB，⊙⊙A＝⊙DOB，又⊙⊙A＋⊙B＝90°，⊙⊙DOB＋⊙B＝90°，⊙⊙BDO＝90°，即OD⊙AB，又⊙OD是⊙O的半径，⊙AB是⊙O的切线．（2）解：如解图⊙，过点O作OM⊙CD于点M，连接DE，第7题解图⊙⊙OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，⊙BDO ＝90°，⊙⊙B ＝30°， ⊙⊙DOB ＝60°， ⊙⊙DCB ＝30°， ⊙OC ＝2OM ＝2， ⊙OD ＝2，⊙BD ＝OD tan60°＝2 3.8. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos⊙CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OB，第8题解图⊙OA＝OB，⊙⊙OAB＝⊙OBA，⊙OP⊙AB，⊙AC＝BC，⊙OP是AB的垂直平分线，⊙P A ＝PB ， ⊙⊙P AB ＝⊙PBA ， ⊙⊙P AO ＝⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线， ⊙⊙OBP ＝90°， ⊙⊙P AO ＝90°， ⊙OA 为⊙O 的半径， ⊙P A 是⊙O 的切线； (2)解：⊙cos⊙CAO ＝45，⊙设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ⊙sin⊙CAO ＝35，tan⊙COA ＝43，⊙CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ⊙tan⊙POA ＝tan⊙COA ＝AP AO ＝43，⊙AP 10＝43，解得AP ＝403，⊙P A ＝PB ， ⊙PB ＝P A ＝403.9. 如图，在⊙ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙ACD ＝⊙ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan⊙ABC ＝23，tan⊙AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙⊙BDC ＝90°， ⊙⊙ABC ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACD ＝⊙ABC ， ⊙⊙ACD ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACB ＝90°， 即BC ⊙CA ，又⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt⊙AEC 中，tan⊙AEC ＝53，⊙AC EC ＝53，EC ＝35AC . 在Rt⊙ABC 中，tan⊙ABC ＝23，⊙AC BC ＝23，BC ＝32AC . ⊙BC －EC ＝BE ＝6，⊙32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ⊙BC ＝32×203＝10，即⊙O 的直径为10.10. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊙AC ；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD ，AD ，第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D ， ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ADB =90°， ⊙AB =AC ， ⊙D 为BC 中点， 又⊙O 为AB 中点， ⊙OD ⊙AC ，⊙DE ⊙AC ； (2)解：⊙AB =10， ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC ， ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ，⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==，设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310，⊙BF =310. 11. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ，过点C作CD ⊙AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长； (3)求证：AF ＋2DF ＝AB .第11题图（1）证明：如解图，连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ，又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ，⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ，⊙CD ⊙OC ，又⊙OC 是⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙ADE 中，⊙AD =6，DE =8，根据勾股定理得：AE =10，⊙CO ⊙AD ，⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=， ⊙r =415，⊙BE =10-2r =25； （3）证明：如解图，过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ，AD ⊙CD ，⊙CG =CD ，在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中，⊙CG =CD ，AC =AC ，⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC （HL ），⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ，⊙BC =CF ，在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中，⊙BC =FC ，CG =CD ，⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF （HL ），⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ，⊙AD +DF =AB ，即AF +2DF =AB .12. 如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第12题图（1）解：如解图，连接OD ，第12题解图⊙⊙BCD ＝36°，⊙⊙BOD ＝2⊙BCD ＝2×36°＝72°，⊙BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，⊙OB ＝5，⊙l BD ︵＝72π×5180＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：⊙BC 是⊙O 的直径，⊙⊙ADC ＝180°－⊙BDC ＝90°，又⊙点E 是线段AC 中点，⊙DE ＝12AC ＝EC ， 在⊙DOE 与⊙COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS)．⊙⊙ACB ＝90°，⊙⊙ODE ＝⊙OCE ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，⊙DOE ⊙⊙COE ，⊙OE 是线段CD 的垂直平分线，⊙点F 是线段CD 中点，⊙点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ⊙⊙BAC ＝⊙CAD ，⊙ADC ＝⊙ACB ，⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，⊙(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，⊙2CE 2＝AB ·EF .13. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是»AE 上的一点，且⊙BDE ＝⊙CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分⊙ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第13题图(1)证明：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙AEB ＝90°，⊙⊙EAB ＋⊙EBA ＝90°，⊙⊙BDE ＝⊙EAB ，⊙BDE ＝⊙CBE ， ⊙⊙EAB ＝⊙CBE ，⊙⊙ABE ＋⊙CBE ＝90°，⊙CB ⊙AB ，⊙AB 是⊙O 的直径，⊙BC 是⊙O 的切线；(2)解：⊙BD 平分⊙ABE ， ⊙⊙ABD ＝⊙DBE ，如解图，连接DO ，第13题解图⊙OD ＝OB ，⊙⊙ODB ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙ODB ，⊙OD ⊙BE ，⊙PD PE ＝PO PB， ⊙P A ＝AO ，⊙P A ＝AO ＝OB ，⊙PO PB ＝23， ⊙PD PE ＝23， ⊙PD PD ＋DE ＝23， ⊙DE ＝2， ⊙PD ＝4.。
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (20)
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1．如图，点B为长为5的线段AC上一点，且AB＝2，过B作BE⊥BC于B，且BE＝4，以BC、BE为邻边作矩形BCDE，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段BF，优弧交BE于N，交BC于M，设旋转角为a（1）若扇形MBF的面积为π，则a的度数为200；（2）连接EC，判断CE与扇形ABF所在圆⊙B的位置关系，并说明埋由．（3）设P为直线AC上一点，沿EP所在直线折叠矩形，若折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的⊙B相切，求CP的长．【分析】（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，即可求解；（2）过点B作BG⊥CE于点G，则CB×BE＝CE×BG，求出BG＝＞2，即可求解；（3）分点Q在BE的左侧、点Q在BE右侧两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，a＝180°+20°＝200°，答案为：200；（2）相离．如图1，∵BE⊥BC，∴∠EBC＝90°，∵BE＝4，BC＝3，∴EC＝5，过点B作BG⊥CE于点G，∴CB×BE＝CE×BG，∴BG＝＞2，∴CE与扇形ABF所在圆⊙B相离；（3）①当折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在BE的左侧时，连接BQ，则∠BQE＝90°，∵BQ＝2，BE＝4，sin∠QEB＝，∴∠QEB＝30°，∵四边形EBCD为矩形，∴∠DEB＝90°，∴∠QED＝120°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝60°，∴∠EPB＝30°，∵BE＝4，∴PB＝，∴CP＝3﹣；②如图3，当点Q在BE右侧时，同理可得：∠QEB＝30°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝30°，∵BE＝4，∴PB＝4，∠BEP＝60°，∴CP＝4﹣3．③当D′E于圆相切时，如图3，由折叠知：∠1＝∠2，在Rt△BQE中，∵BQ＝BE，∴∠BEC＝30°，又∠B′EC＝90°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt△PBE中，PB＝tan∠PEB•BE＝×4＝，PC＝3+；④当D′E同左侧圆相切时，如图4，同理可得：PB＝4，PC＝4+3；综上，PC＝3﹣或4﹣3或3+或4+3．。
2020中考数学 压轴专题 圆的综合(包含答案)
2020中考数学 压轴专题 圆的综合（含答案）1. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第1题图（1）证明：如解图，连接OB ，第1题解图⊙PB 是⊙O 的切线，⊙⊙PBO ＝90°，⊙OA ＝OB ，BA ⊙PO 于点D ，⊙AD ＝BD ，⊙点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，⊙⊙APO ＝⊙BPO ，⊙⊙ADP ＝⊙BDP ＝90°，⊙⊙APD ⊙⊙BPD ，⊙AP ＝BP ，在⊙P AO 和⊙PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ⊙APO ＝⊙BPO OP ＝OP，⊙⊙P AO ⊙⊙PBO （SAS ），⊙⊙P AO ＝⊙PBO ＝90°，⊙OA 为⊙O 的半径，⊙直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：⊙⊙P AO ＝⊙PDA ＝90°，⊙⊙OAD ＋⊙AOD ＝90°，⊙OP A ＋⊙AOP ＝90°，⊙⊙OAD ＝⊙OP A ，⊙⊙OAD ⊙⊙OP A ，⊙OA OP ＝OD OA，即OA 2＝OD ·OP ， 又⊙EF ＝2OA ，⊙EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：⊙OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，⊙OD ＝12BC ＝3， 设AD ＝x ，⊙tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12， ⊙DF ＝2x ，⊙OA ＝OF ＝2x －3，在Rt⊙AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，⊙OA ＝2x －3＝5，⊙AC 为⊙O 的直径，⊙AC ＝2OA ＝10.2. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊙AC ，垂足为点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD ，第2题解图 G⊙OB ＝OD ，⊙⊙ODB ＝⊙B ，又⊙AB ＝AC ，⊙⊙C ＝⊙B ，⊙⊙ODB ＝⊙C ，⊙OD ⊙AC ，⊙DF ⊙AC ，⊙⊙DFC ＝90°，⊙⊙ODF ＝⊙DFC ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊙AC ，垂足为G ，⊙AG ＝12AE ＝2. ⊙cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25， ⊙OA ＝5，⊙OG ＝OA 2－AG 2＝21，⊙⊙ODF ＝⊙DFG ＝⊙OGF ＝90°，⊙四边形OGFD 为矩形，⊙DF ＝OG ＝21.3. 如图，在⊙O 中，直径CD ⊙弦AB 于点E ，AM ⊙BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：⊙⊙BAD 与⊙BCD 是同弧所对的圆周角，⊙⊙BAD ＝⊙BCD ，⊙AE ⊙CD ，AM ⊙BC ，⊙⊙AEN ＝⊙AMC ＝90°，⊙⊙ANE ＝⊙CNM ，⊙⊙BAM ＝⊙BCD ，⊙⊙BAM ＝⊙BAD ，在⊙ANE 与⊙ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧⊙BAM ＝⊙BAD AE ＝AE⊙AEN ＝⊙AED， ⊙⊙ANE ⊙⊙ADE (ASA)，⊙AN ＝AD ；(2)解：⊙AB ＝42，AE ⊙CD ,⊙AE ＝12AB ＝22，又⊙ON＝1，⊙设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，第3题解图⊙⊙AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，⊙(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，⊙AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：⊙1＝⊙F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图⊙BD是⊙O的直径，⊙⊙DEB＝90°.⊙E是AB的中点，⊙DA＝DB，⊙⊙1＝⊙B.⊙⊙1＝⊙F；(2)解：⊙⊙1＝⊙F，⊙AE＝EF＝25，⊙AB＝2AE＝4 5.在Rt⊙ABC中，AC＝AB·sin B＝4，⊙BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt⊙ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，⊙CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求⊙P及⊙AEB的度数.第5题图（1）证明：⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙CB ⊙AE ，⊙AD ⊙AE ，⊙⊙DAO ＝90°，又⊙直线DP 和⊙O 相切于点C ，⊙DC ⊙OC ，⊙⊙DCO ＝90°，⊙在Rt⊙DAO 和Rt⊙DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ⊙Rt⊙DAO ⊙Rt⊙DCO (HL)，⊙DA ＝DC ；(2)解：⊙CB ⊙AE ，AE 是⊙O 的直径，⊙CF ＝FB ＝12BC ， 又⊙四边形ABCD 是平行四边形，⊙AD ＝BC ，⊙CF ＝12AD ， 又⊙CF ⊙DA ，⊙⊙PCF ⊙⊙PDA ，⊙PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由(1)知DA ＝DC ，⊙DA ＝12PD ， ⊙在Rt⊙DAP 中，⊙P ＝30°.⊙⊙F AB ＝⊙P ＝30°，又⊙⊙ABE ＝90°，⊙⊙AEB ＝90°－30°＝60°.6. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：⊙ABD ＝⊙ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图 ⊙DE 为⊙O 的切线， ⊙OD ⊙DE ，⊙⊙ADO ＋⊙ADE ＝90°. ⊙AB 为⊙O 的直径， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙⊙ADO ＋⊙ODB ＝90°. ⊙⊙ADE ＝⊙ODB ， ⊙OB ＝OD ， ⊙⊙OBD ＝⊙ODB ， ⊙⊙ABD ＝⊙ADE ;(2)解：⊙AB ＝AC ＝2×256＝253，⊙ADB ＝⊙ADC ＝90°，⊙⊙ABC ＝⊙C ，BD ＝CD . ⊙O 为AB 的中点， ⊙OD 为⊙ABC 的中位线，⊙OD ⊙AC ， ⊙OD ⊙DE ， ⊙AC ⊙DE ， 在Rt⊙ACD 中， CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ⊙⊙C ＝⊙C ，⊙DEC ＝⊙ADC ＝90°， ⊙⊙DEC ⊙⊙ADC ， ⊙CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253， ⊙CE ＝3.7. 如图，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，D 是边AB 上的一点，且⊙A ＝2⊙DCB ，点E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．第7题图(1)证明：如解图⊙，连接OD ，第7题解图⊙则⊙DOB＝2⊙DCB，又⊙⊙A＝2⊙DCB，⊙⊙A＝⊙DOB，又⊙⊙A＋⊙B＝90°，⊙⊙DOB＋⊙B＝90°，⊙⊙BDO＝90°，即OD⊙AB，又⊙OD是⊙O的半径，⊙AB是⊙O的切线．（2）解：如解图⊙，过点O作OM⊙CD于点M，连接DE，第7题解图⊙⊙OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，⊙BDO ＝90°，⊙⊙B ＝30°， ⊙⊙DOB ＝60°， ⊙⊙DCB ＝30°， ⊙OC ＝2OM ＝2， ⊙OD ＝2，⊙BD ＝OD tan60°＝2 3.8. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos⊙CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OB，第8题解图⊙OA＝OB，⊙⊙OAB＝⊙OBA，⊙OP⊙AB，⊙AC＝BC，⊙OP是AB的垂直平分线，⊙P A ＝PB ， ⊙⊙P AB ＝⊙PBA ， ⊙⊙P AO ＝⊙PBO . ⊙PB 为⊙O 的切线， ⊙⊙OBP ＝90°， ⊙⊙P AO ＝90°， ⊙OA 为⊙O 的半径， ⊙P A 是⊙O 的切线； (2)解：⊙cos⊙CAO ＝45，⊙设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ⊙sin⊙CAO ＝35，tan⊙COA ＝43，⊙CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ⊙tan⊙POA ＝tan⊙COA ＝AP AO ＝43，⊙AP 10＝43，解得AP ＝403，⊙P A ＝PB ， ⊙PB ＝P A ＝403.9. 如图，在⊙ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙ACD ＝⊙ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan⊙ABC ＝23，tan⊙AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙⊙BDC ＝90°， ⊙⊙ABC ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACD ＝⊙ABC ， ⊙⊙ACD ＋⊙DCB ＝90°， ⊙⊙ACB ＝90°， 即BC ⊙CA ，又⊙BC 是⊙O 的直径， ⊙CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt⊙AEC 中，tan⊙AEC ＝53，⊙AC EC ＝53，EC ＝35AC . 在Rt⊙ABC 中，tan⊙ABC ＝23，⊙AC BC ＝23，BC ＝32AC . ⊙BC －EC ＝BE ＝6，⊙32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ⊙BC ＝32×203＝10，即⊙O 的直径为10.10. 如图，在⊙ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊙AC ；(2)若AB ＝10，AE ＝8，求BF 的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD ，AD ，第10题解图⊙DE 与⊙O 相切于点D ， ⊙OD ⊙DE .⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ADB =90°， ⊙AB =AC ， ⊙D 为BC 中点， 又⊙O 为AB 中点， ⊙OD ⊙AC ，⊙DE ⊙AC ； (2)解：⊙AB =10， ⊙OB =OD =5. 由(1)知OD ⊙AC ， ⊙⊙ODF ⊙⊙AEF ，⊙ABBF OB BF AF OF AE OD ++==，设BF =x ,则有10585++=x x 解得x =310，⊙BF =310. 11. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分⊙BAF 且交⊙O 于点C ，过点C作CD ⊙AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长； (3)求证：AF ＋2DF ＝AB .第11题图（1）证明：如解图，连接OC .第11题解图⊙AC 平分⊙BAD ,⊙⊙OAC =⊙CAD ，又⊙OAC =⊙OCA ,⊙⊙OCA =⊙CAD ，⊙CO ⊙AD .又CD ⊙AD ，⊙CD ⊙OC ，又⊙OC 是⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙ADE 中，⊙AD =6，DE =8，根据勾股定理得：AE =10，⊙CO ⊙AD ，⊙⊙EOC ⊙⊙EAD ,⊙ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，⊙OE =10-r . ⊙61010r r -=， ⊙r =415，⊙BE =10-2r =25； （3）证明：如解图，过点C 作CG ⊙AB 于点G .⊙⊙OAC =⊙CAD ，AD ⊙CD ，⊙CG =CD ，在Rt⊙AGC 和Rt⊙ADC 中，⊙CG =CD ，AC =AC ，⊙Rt⊙AGC ⊙Rt⊙ADC （HL ），⊙AG =AD .又⊙⊙BAC =⊙CAD ，⊙BC =CF ，在Rt⊙CGB 和Rt⊙CDF 中，⊙BC =FC ，CG =CD ，⊙Rt⊙CGB ⊙Rt⊙CDF （HL ），⊙GB =DF .⊙AG +GB =AB ，⊙AD +DF =AB ，即AF +2DF =AB .12. 如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若⊙BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第12题图（1）解：如解图，连接OD ，第12题解图⊙⊙BCD ＝36°，⊙⊙BOD ＝2⊙BCD ＝2×36°＝72°，⊙BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，⊙OB ＝5，⊙l BD ︵＝72π×5180＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：⊙BC 是⊙O 的直径，⊙⊙ADC ＝180°－⊙BDC ＝90°，又⊙点E 是线段AC 中点，⊙DE ＝12AC ＝EC ， 在⊙DOE 与⊙COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，⊙⊙DOE ⊙⊙COE (SSS)．⊙⊙ACB ＝90°，⊙⊙ODE ＝⊙OCE ＝90°，⊙OD 是⊙O 的半径，⊙DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，⊙DOE ⊙⊙COE ，⊙OE 是线段CD 的垂直平分线，⊙点F 是线段CD 中点，⊙点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ⊙⊙BAC ＝⊙CAD ，⊙ADC ＝⊙ACB ，⊙⊙ACD ⊙⊙ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，⊙(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，⊙2CE 2＝AB ·EF .13. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是»AE 上的一点，且⊙BDE ＝⊙CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分⊙ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第13题图(1)证明：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙AEB ＝90°，⊙⊙EAB ＋⊙EBA ＝90°，⊙⊙BDE ＝⊙EAB ，⊙BDE ＝⊙CBE ， ⊙⊙EAB ＝⊙CBE ，⊙⊙ABE ＋⊙CBE ＝90°，⊙CB ⊙AB ，⊙AB 是⊙O 的直径，⊙BC 是⊙O 的切线；(2)解：⊙BD 平分⊙ABE ， ⊙⊙ABD ＝⊙DBE ，如解图，连接DO ，第13题解图⊙OD ＝OB ，⊙⊙ODB ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙OBD ，⊙⊙EBD ＝⊙ODB ，⊙OD ⊙BE ，⊙PD PE ＝PO PB， ⊙P A ＝AO ，⊙P A ＝AO ＝OB ，⊙PO PB ＝23， ⊙PD PE ＝23， ⊙PD PD ＋DE ＝23， ⊙DE ＝2， ⊙PD ＝4.。
初中数学重点梳理：切线和割线
切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。
因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。
知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的之一。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题及答案解析 (45)
2020年中考数学重难点复习《圆》解答题1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．（1）若△EOF的面积为S：①用关于x的代数式表示线段EF的长；②求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．【分析】（1）①连接OA，判断出AO是△ABC的高，AM是△AEF的高，再利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可得出结论；②利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式，即可得出结论；（2）先判断出DE＝DG，再用三角函数表示出BE，BD，BG，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，连接OA，交EF于M，∵AB＝AC，O为BC边中点，∴OA⊥BC，∵EF∥BC，∴AM⊥EF，∵BC＝8，∴OB＝BC＝4，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝3，∵点O到EF的距离为为x，∴OM＝x，∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴EF＝（3﹣x）；②由①知，EF＝（3﹣x），∴S＝S△OEF＝×（3﹣x）•x＝﹣（x2﹣3x）＝﹣（x﹣）2+3，∵﹣＜0，∴当x＝时，S最大＝3；（2）如图2，∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合，∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D，∴DE＝DG，连接OA，由（1）知，OA⊥BC，OA＝3，在Rt△AOB中，sin B＝＝，cos A＝＝，过点E作EP⊥BC于P，PE＝x，在Rt△BPE中，sin B＝，∴BE＝＝x，过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y，在Rt△BQG中，BG＝＝y，∴DE＝EG＝（BG﹣BE）＝（y﹣x），在Rt△BDO中，BD＝OB•cos B＝4×＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，∴（y﹣x）＝﹣x，∴y＝﹣x+，∵S△AOB＝AB•OD＝OA•OB，∴OD＝＝，根据勾股定理得，BD＝＝，∵以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，∴OE＝OG，即：⊙与线段AB相交于E，G两点，在Rt△BPE中，BE＝x，当⊙O与AB相切时，点E，G重合，此时，BD＝BE，∴x＝，∴x＝，当点F在点H下方是，即：点G在点E上方，此时，BE越小时，x越小，∴当点G和点A重合时，x最小，即：y＝OA＝3，∴﹣x+＝3，∴x＝，当点F在点H上方是，即：点G在点E下方，∴当点E和点A重合时，x最大，即：x＝OA＝3，即：y＝﹣x+（＜x＜3且x≠）．。
2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析
2020-2021中考数学培优(含解析)之圆的综合及答案解析一、圆的综合1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接M O′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE =2123．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴35535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_____cm ．（用含t 的代数式表示） （2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB=22AC BC=10．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．故答案为t﹣1．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，解得：t＞1，∴1＜t＜4．∵△DFN∽△ABC，∴DNFN=ACBC=86=43．∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ，∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ，∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =356s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =356s （舍）． 综上所述：当t =103s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切． 点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．5．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•BD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．6．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当BC=233时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）22 .【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，»»AB CD．（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABE≌△DCE；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）833．【解析】分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以»»BE CE=，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．本题解析：（1）解：BE=CE ，理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，∴∠BCE=∠EAC ，∴»»BECE =， ∴BE=CE ；（2）证明：∵»»AB CD =，∴AB=CD ，∵»»BE CE =，»»AE ED=，∴AE=ED ， 由（1）得：BE=CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SSS ）；（3）解：如图，∵过O 作OG ⊥BE 于G ，OH ⊥BC 于H ，∴BH=12BC=12×8=4，BG=12BE ， ∵BE=CE ，∠EBC=∠EAC=60°， ∴△BEC 是等边三角形，∴BE=BC ，∴BH=BG ，∵OB=OB ，∴Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°， 设OH=x ，则OB=2x ， 由勾股定理得：（2x ）2=x 2+42，x=43， ∴OB=2x=83，∴⊙O 的半径为83．点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.8．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆Q 为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.9．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．如图1，已知⊙O 是ΔADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC ．（1）求证：AC=BC ；（2）如图2，在图1 的基础上做⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH//BC ，求∠ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若ΔABD的面积为63，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）233【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；（3）过点D作DG⊥AB ，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtΔAEO 中，求出AO的长，得CF的长，再求DG 的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，∴AI⊥BC，∴BI=IC，∵AC=BC，∴IC=1AC，2∴∠IAC=30°，∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．∵FC 是直径，∴∠FAC=90°，∴∠ACF=180°-90°-60°=30°．（3）过点D 作DG AB ⊥，连接AO由（1）（2）知ABC 为等边三角形∵∠ACF=30°，∴AB CF ⊥，∴AE=BE ， ∴2ΔABC 33S AB == ∴AB=3 ∴33AE =在RtΔAEO 中，设EO=x ，则AO=2x ，∴222AO AE OE =+，∴()(222233x x =+，∴x =6，⊙O 的半径为6，∴CF=12． ∵ΔABD 11636322S AB DG DG =⨯⨯=⨯= ∴DG=2．如图，过点D 作DG CF '⊥,连接OD ．∵AB CF ⊥,DG AB ⊥，∴CF//DG ，∴四边形G ′DGE 为矩形，∴2G E '=， 63211CG G E CE +=++'=='，在RtΔOG D '中，5,6OG OD ='=， ∴11DG '=∴222''=+=+=CD DG CG1111233点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.11．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴PO，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE 为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．12．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB 于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=2C 2， ∴NF=2b c 2-，CK=2a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b 2c +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-）×2c 2， 化简得：)22a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（2c ）（2c ）=8 化简得：()2ab 2c a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，解得：c22=-（舍去），=，或c22∴m=22=⨯=，c22222即△CPF的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．13．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．14．如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE ∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵BF=BD=OD=r=310， ∴OM=22OD DM -＝22(310)9-＝9081-＝3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610设CE=CD=x ，则BC=310+x ，AC=610+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC 各边长AB=910，AC=1510，BC=1210【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．15．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。
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《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。