切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
南江石 2018年4月7日星期六
圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理
共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线
4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点
3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点
共割线上任意一点到圆的
4个切线的长度相等，4切点共圆
共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆
圆幂定理
是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂
P 点对圆O 的幂定义为
2
2
R OP F
B
性质
点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PB
PT
PT PA =
PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=
割线定理（切割线定理的推论）
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙
2222Cn Pn Am Pm -=-
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙
2222A Pn Cn Pm m -=-
垂径定理（相交弦定理推论）
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
PB
PC
PC PA =
PB PA PC ∙=2 222OP R PC -=
P 点在圆外，切割线定理、割线定理
2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=∙=∙=
P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理
222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=∙=∙
222OP R PB PA PC -=∙=
题目1．圆定点割线2等分
题目2．弧定点割线2等分
题目3．切线长角度割线弦长
题目4．直角三角形（BD-132）
题目5．直角三角形（AE-321）
题目6．大圆过两小圆直径线与90度
题目7．大圆过两小圆直径线与28
题目8．大圆过两小圆直径线圆心在右圆上
【解法1】圆幂法
PB PA R OP ∙=-22 22222d d d R OP =∙=-
222
2
R OP d -=
以OP 为直径作圆，以R 半径作圆，得到 2
2
R OP -以为腰作等腰直角三角形，得到高2
2
R OP -222
2
R OP d -=
题目1【解法1】
【解法2】切割线法1
PB PA PT ∙=2
2222d d d PT =∙=
PT d 2
2=
作圆切线OT
以OT 为腰作等腰直角三角形，得到高OT d
2
=
题目1【解法2】
【解法3】切割线法2
222Am Pm PB PA PT -=∙=
222Am PT Pm +=
22Am PT Pm +=
题目3【解法3】题解2
【解法4】相似三角形法
圆幂定理实质是相似三角形。
q 为OP 中点
21
2====d d PB PA OP Pq OB qA R OB qA 2
121==
题目2【解法4】
题目4分析
以BT 为直径作圆O ，直角三角形边高问题，转换为切割线问题，适用切割线公式求解，适用【解法3】求解。
222Am Pm PT -= 222Am PT Pm +=
5．小圆的直径是大圆的弦，大小圆连心线是弦的垂直平分线
6
7．直角所对的弦为圆的直径
8．圆直径相互平分，所以四边形上下两点到竖向直径的距离相等
9．垂直于弦的直径平分弦线，所以四边形外接圆垂直于连心线的直径线，过连心线题目1011．大圆圆心位于右竖线与28横线交点
题目6、7、8解题1，画横线两圆
12．大圆圆心位于右竖线与右圆交点
解题2，画公切线，自公切线中点画竖线
解题3，画公切线，自公切线中点画竖线
题目6、7、8解题4，自连心线中点画竖线，
左竖线镜像出右竖线
题目6解题5，以连心线为直径画圆，拉长左右竖线与圆相交题目7解题5-1，偏移连心线28，拉长右竖线与上横线相交
题目7解题5-2，以两圆圆心和上交点
三点作圆，拉长左竖线与圆相交
题目
题目6解题6，连线圆心与左竖线下交点，
以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
题目7解题6，连线圆心与左竖线下交点，以右竖线上交点为圆心，过交点画圆题目8解题6，连线圆心与左竖线下交点，以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
题目6题解题目7题解
题目8题解。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理之欧阳法创编
切线长定理、弦切角定理、切以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解南江石 2018年4月7日星期六圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点共割线上任意一点到圆的4个切线的长度相等，4切点共圆共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂P 点对圆O 的幂定义为22R OP FB性质点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PBPTPT PA =PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=割线定理（切割线定理的推论）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222Cn Pn Am Pm -=-相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222A Pn Cn Pm m -=-垂径定理（相交弦定理推论）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、订交弦定理之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日以及与圆有关的比例线段［进修目标］1.切线长概念切线长是在经由圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具罕见目标特色,而“切线”是一条直线,它不成以度量长度.2.切线长定理对于切线长定理,应明确（1）若已知圆的两条切线订交,则切线长相等；（2）若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；（3）经由圆外一点引圆的两条切线,贯串衔接两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经由圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线,等分过这点向圆引的两条切线所夹的角.3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆订交,另一边和圆相切的角.直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角.6.碰着圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理.7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法订交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB＝PC·PD.贯串衔接AC、BD,证：△APC∽△DPB.订交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用订交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB贯串衔接TA、TB,证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用订交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过必定点P向⊙O作任一贯线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径）,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理.时间：二O二一年七月二十九日。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
初中深度几何定理
1.圆幂定理<1>切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=PA·P B（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD<2>相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）<3>割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD=LT^2。
如下图所示。
(LT为切线）2.射影定理：<1>射影定理：直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如左图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD^2;=AD·DB，②BC^2=BD·BA ，③AC^2=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD<2>面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ=S′︰S．证明：如上图，作△ABC的AB边上的高CD，垂足为D，连0D，易知OD⊥AB，故∠CDO即为二面角C-AB-O的平面角，即∠CDO=θ．3.正切定理：证明：由开始，由正弦定理得出4.角平分线定理：<1>内角平分线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
相交弦定理
相交弦定理、弦切角定理、切割线定理定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB 用相交弦定理弦切角定理直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
∠BPD=∠DCP∠APC=∠PDC切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理一、选择题1.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形2.如图：⊙O的弦AB、CD相交于P，PC=8，PD=9（1）若PA=4，则PB= ，AB= 。
（2）若PA=PB，则CD= 。
（3）若PA：PB=2：3，则PA= ，PB= 。
（4）若AB=18(PA<PB)，则PA= ，PB= 。
3.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A. B. C. 5 D. 84.已知如图，直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°5.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm二、填空题6、如图，弦AB垂直于⊙O直径MN于Q，MN：QN=5：1，AB=8，则MN= 。
7、AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上;这点和切点之间的线段的长度;“切线长”是切线上一条线段的长;具有数量的特征;而“切线”是一条直线;它不可以度量长度..2.切线长定理对于切线长定理;应明确1若已知圆的两条切线相交;则切线长相等；2若已知两条切线平行;则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线;连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线;切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线;平分过这点向圆引的两条切线所夹的角..3.弦切角：顶点在圆上;一边和圆相交;另一边和圆相切的角..直线AB切⊙O于P;PC、PD为弦;图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角..5.弄清和圆有关的角：圆周角;圆心角;弦切角;圆内角;圆外角..6.遇到圆的切线;可联想“角”弦切角;“线”切线的性质定理及切线长定理..7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中;AB、CD为弦;交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD;证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中;AB为直径;CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中;PT切⊙O于T;割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB;证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线;交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T;用两次切割线定理圆幂定理⊙O中;割线PB交⊙O于A;CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M;延长OP'交⊙O于N;用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线;交⊙O于两点;则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R为圆半径;因为叫做点对于⊙O的幂;所以将上述定理统称为圆幂定理..。
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲 四年制 试题
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
[例1] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：作DN ∥EC ，交MF 于N ，那么∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF由切割线定理，CB CA CE ⋅=2DA DB DF ⋅=2∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 22DF CE = CE=DF∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ∆≅∆〔AAS 〕 ∴ CM=MD[例2] PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，假设OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解：设即3由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD +=∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y∴ cm y 20=[例3]假设BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由相交弦定理得26⨯=ab ② 由①、②解得：4=b ，3=a 由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：〔1〕PB PA PC ⋅=2〔2〕假设证明：〔1〕延长CP 解：〔2〕易知PM 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由〔1〕结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x 〔舍负〕∴ AP 长为36128+-[例5] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
九年级数学相交弦定理和切割线定理人教四年制版知识精讲
九年级数学相交弦定理和切割线定理人教四年制版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
证明：作∵∴[例2]求PB解：设即3∴∴y[例3] 两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
解：连AB ，∴∠1=∴EF CE =∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PC =2（2）若证明：（1）延长CP 解：（2）易知PM ∴ 由（1 33∴0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例5] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
2由②—①得：018522=--r r ，291=r ，22-=r （舍）∴32)2529(6222=--=AB ，AB=24【模拟试题】一.A.A.2. MN一. 选择题：1. B2. B3. A4. A5. C二. 填空题： 1. 2或9 2.21 3. 7或1 4. 75. 2.4三. 解答题： 1. 证明：∵ CD ∥AB ∴∠1=∠2 ∵ BG 与⊙O 相切 ∴∠3=∠2 ∴∠3=∠1又 ∵GFB PFE ∠=∠∴PFE ∆∽GFB ∆∴FGPFBF EF =∴FB PF FG EF ⋅=⋅ 又由相交弦定理得FD CF FB PF ⋅=⋅ ∴FD CF FG EF ⋅=⋅∴FG FD CF EF ::=2. 解：由弦切角定理知31∠=∠，又 ∵21∠=∠∴32∠=∠∴ AC=BC由切割线定理，92==NBNA NC ∴5=-=NB NC BC ∴ AC=5 又由C ∠=∠4知NAB ∆∽NCA ∆，故NANBAC AB = ∴310564=⨯=⋅=AC NA NB AB。