傅立叶变换-时域-频域
傅立叶变换，时域，频域一(2012-08-28 15:50:39)
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参考文献：
信号完整性分析
"信息传输调制和噪声"P31，
"傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。
目录
信号分析方法概述
时域
频域
时域与频域的互相转换？
傅立叶变换原理
傅立叶变换分类
傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
傅立叶积分(非周期性函数)
振幅谱和相位谱的关系
功率谱
傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质
时间-频率间的对应关系。
对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系
对应关系2，时间周期T 与频谱：呈反比关系
对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系
用脉冲宽度定义带宽
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱
周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义
离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系
傅立叶变换与正交性
傅立叶变换的思想总结与优点
时域的物理意义
频域的物理意义？
1，频域的物理意义
2，傅立叶变换与谐波
3，傅立叶反变换与谐波叠加
4，带宽与时钟频率、脉冲宽度
关键技术点解释
1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？
2，什么是正交正交的条件是什么傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件？
3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量
4, 频域中幅值与时域中的幅值有什么关系？
5，采样
傅立叶变换的缺点
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信号分析方法概述
通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。
也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。
思考：
原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。
人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。
但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。
时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。
所以：OFDM中，IFFT把频域转时域的原因是：IFFT的输入是多个频率抽样点（即各子信道的符号），而IFFT之后只有一个波形，其中即OFDM符号，只有一个周期。
时域
时域是真实世界，是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时，通常在时域中进行分析，因为产品的性能最终就是在时域中测量的。
时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。
时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔，通产用ns度量。时钟频率Fclock，即1秒钟内时钟循环的次数，是时钟周期Tclock的倒数。
Fclock=1/Tclock
上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义。一种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。这通常是一种默认的表达方式，可以从波形的时域图上直接读出。第二种定义方式是20-80上升时间，这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间。
时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知，下降时间通常要比上升时间短一些，这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中，p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的，输出连在这个两个管子的中间。在任一时间，只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。
假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T，
频域
频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。
正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：
（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。
（3）正弦波有精确的数学定义。
（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。一般情况下，就会得到一个类似正弦波的波形。而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如下图
所示：
图理想RLC电路相互作用的时域行为
频域的图如下\\
时域与频域的互相转换
时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。
时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。
按照傅里叶变换理论：任何时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
1、正弦波时域信号是单一频率信号；
2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；
3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；
解释1：
初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。
正确的解释是：一个信号有两种表示方法，时域和频域。在时域，信号只有周期，正是因为有了傅立叶变换，人们才能理解到信号频域的概念。（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的
3~4KHZ的正弦波!）
注：大家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法，可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。
无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。
时间比较好理解，就是：时间周期1发送符号1，时间周期2发送符号2.。，时域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位。在载波传输中，载波信号由振荡器产生，它的时钟频率是固定的，倒数就是时间周期。频域比较难理解，按傅立叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形（称为谐波，基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域波形的时钟频率相同）。
因为载波一般都是正弦波，所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率（以Hz为单位)，即1Hz。时间周期T=1/f。
载波的功能参见调制解调部分内容。这里可以先不理解何为载波，关键是时域与频域的对应关系。
以这个时域波形为例
设时域波形（图中的合成波）的时间周期=T（如2秒），其时钟频率则为f0=1/2 Hz。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。
而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。
谐波2的频率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。。。。
谐波8的频率f8=1/2+(1/2)*8=，周期T8=
在频域中，每个频率分量都有自己的幅度与相位。按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形。
将各谐波的时域波形叠加起来，即得到时域中合成波。
解释2：时域信号的数据传输速率，常用 bps，如100Kbps，指1s内传输了100K bits的二进制数据。即：时域的传输效率。
引入频域后，带来一个新的数据：频谱效率，作为频域的传输效率。如 80bps/Hz 指1Hz频率上能传输80bps数据。
按信息论，带宽越大，数据速率越高。
解释3：
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
注：此处仍要牢记：频域是数学构造，只要有助于我们分析信号，对应的数学方法就是有用的。
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傅立叶变换原理
傅立叶变换分类
根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：
周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series)？
非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform）？
非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）？周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)-DFT
下图是四种原信号图例：
这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。
面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。
还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT 方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信
号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。？
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
傅立叶（19世纪的法国人)认为：任何周期函数f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数
（傅立叶公式1）
它等价于下面的公式
（傅立叶公式2）
两个公式的关系是：
公式中a0,an 、bn 都是常数。A k CosW k t+B k SinW k t 即时域信号的第k 个频率分量对应
的正弦波（即谐波）表示。an,bn 也称为傅立叶系数。
时域的信号用f(t)表示，下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。 因为三角函数间有正交关系，如下
1，两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交。
2，两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi 或pi.
解释：上图中的x 对应傅立叶公式中的时间参数t 。pi 可对应时间周期T 。 首先：我们考虑如何对于 时域信号f(t)分解出其中的各个子信号(子谐波)：A k CosW k t+B k SinW k t 。
然后可以得到各个谐波在频域的表示方法:频率W，幅度Cn、相位。这三项就是傅立叶变换的结果：频域信号表示
按上述的三角函数关系，要得到a
k ，就把f(t)乘以cosw
k
t，并在整个周期内取积
分。得
图中的a
n 就是a
k.
得到（下图中的a
n
就是a
k.）
根据A
k
CosW
k
t+B
k
SinW
k
t这个波形的表示方法可以推导出：
1,就是这个正弦波的最大幅值（最大振幅）(也即幅值频谱图的y 轴)。
2,就是这个正弦波的相位。
经过简单的三角函数运算，可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方式：
（傅立叶公式3）
它可以更方便的计算出振幅和相位
（分别对应幅度谱与相位谱）
傅立叶级数f(t)的另一种表示方式是复指数形式,它也是最简捷的表达方式。
（傅立叶公式4）？
Cn是复数，定义为
从上面的f(t)推导出复指数形式的过程略，基本思想是利用了欧拉公式e^jx = cos(x) + jsin(x)
及
解释：频域分量转成的时域信号都是复信号（含实部与虚部），虽然实际信号都是实的。
实际上信号的传输都用实信号，而接收信号的处理中则使用复信号。
三角函数运算法则是：，
？
从上面的复指数傅立叶级数公式中，可以直接得到各子频率分量对应正弦波（谐波）的振幅和相位。
复指数傅立叶级数公式（傅立叶公式4 ）可以推导出三角函数形式
傅立
叶公式5
另外，在傅立叶公式4 中看起来出现了“负频率”，但实际上它们是不存在，只是数学的一种表示方法。
所以在傅立叶公式5 中就消除了“负频率”
这里给出了五种傅立叶级数f(t)的表示方式，它们都是等价的，并可互相推导出来。
傅立叶积分(非周期性函数)
非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。
因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复，这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大，在极限情况下就变为傅立叶积分。
考虑一个周期函数f(t)，用傅立叶级数表示。
其频谱图如下，
其相邻各谐波频率之间间隔为？
所以这个f(t)可以写为
，将△W代入原f(t)公式而得。
当T->无穷大时，，而Wn也->0，所以频谱会由离散频率点变为连续频谱。则Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数F(w)
则我们得到非周期函数f(t) 的傅立叶积分表示方法f(t)。
非周期函数f(t)的时域、频域图举例如下：
把F(w)的计算公式称为傅立叶积分公式。F(w)称为 f(t)的傅立叶变换。f(t)公式即傅立叶反变换公式。
F(w)与f(t)的计算公式看起来很像，甚至可以互相调换f(t)与F(w).
由F(w)公式得出时域信号f(t)的频率分量。频率、频谱从本质上说是某种数学抽象。
振幅谱和相位谱的关系
上面的频谱图实际上是振幅谱，看不出相位与频率间的关系。
？
F(w)是频率的复函数。F(w)也可分解为振幅谱和相位谱。
,它随频率变化。
它们有奇怪的对称性。振幅谱是频率的偶对称函数。相位谱是频率的奇对称函数。可以推导出：
即相位就是
解释：时域中的相位，与频域中的相位完全不同。
频域中相位是指各谐波的相位，它随频率而时间变化。
所以：
1，频域中完全看不出时间，只有谐波的各频率、幅值、相位。这些谐波在非
稳定信号中可能并不会在所有时间中存在，这是另一个信号处理领域的问题。
2，时域信号中看不出频率，只有各谐波叠加后的信号。
时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期，即基波的周期。频率也相当于基波的频率。相位则是各谐波叠加后形成（相位在时域与频域没有固定的、可按公式计算出的关系）。
时域信号的一个周期中的符号包括了以下信号的叠加（且可通过正交分解出来）：一个基波在一个周期内的符号，一次谐波在2个周期内的符号，二次谐波在3个
周期内的符号，三次谐波在4个周期内的符号。。。
在快速傅立叶变换中，因为时域抽样点必须是2的K次方，所以偶次谐波的幅值
总为0，即不携带信息或空符号
功率谱
从电路分析可知，如
？
代表1欧电阻上的电压，则在此电阻内损耗的平均功率为（An2+Bn2)/2瓦。
所以振幅频谱的平方就是不同频率上（n=0,1,2...)1欧电阻内所损耗功率的测量。各个频率上的功率相加，就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率。
任意电压f(t)加到1欧电阻上的瞬时功率就是｜f(t)｜2
傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质
傅立叶变换有两个重要的原理：
1，时间移位原理
将时域时间原点从t=0处移到t=t0处，则相当于频域F(w)的相移，即
2，频谱搬移原理
如果F(w)的角频率移动了W0弧度/秒，则f(t)要乘上，即：
推导公式是：
在调制技术中，信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动，即通过上述关系确立。基带信号(带有信息)f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果（即已调制信号），可表示为？
f0=W0/2pi，为时域载波信号的频率
已调制信号的傅立叶变换结果为：
即：调制之后，f(t)的频谱被移动了，
比如：先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT)，再将得到的频谱向高处搬移，最后做傅里叶反变换(IFFT)，恢复到时域，听到的声音会比原来的声调高。时间-频率间的对应关系
对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系
时域信号波形中，振幅的变化构成整个信号的包络。
下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子，振幅的变化代表了传送的信息。
，2A是最大振幅
上式经简单的三角运算后，得到
其频谱如下：
当原信息信号变化更快时（Wm增大），使得振幅调制后的信号也变化更快，边带频率(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波。
所以：较快速的变化相当于较高频率的变动。
即：时间变化速率增加，频率也增高了(这点在上升时间与带宽关系中也可见)对应关系2，时间周期T与频谱呈反比关系
下面用矩形脉冲序列来深入讨论时间-频率之间的关系。
它的频谱可以表示成
再写成
给出一个归一化的无量纲变数，则
函数 sinx/x 在x=0处有最大值，此处sinx->x, (sinx/x)->1，而当x->无穷大时，它->0
函数 sinx/x 的形状如下
因为n是离散的，所以Wn也取离散值（W1=2pi/T的各谐波），所以归一化参数x也是离散点，但Cn的包络无疑与上图一致。
虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量，但在较高频率上，振幅的包络减小。并且基本周期T越小（即每秒的脉冲数增多），频率谱线越移越开。时间函数比较快速的变化则相当于比较高的频率分量：周期T减少，则频谱变大（因为△f=2pi/T变大）
由于集中在低频区的谱线有较高的幅度，所以这个周期波所具有能量的大部分都分布在较低的频率分量上。
当函数变化增快（T减小）时，在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系
从上图可见，随着脉冲宽度的减少，信号的频率分量分布的更宽
思考：因为那么因为sinx\x的图形不变，当sinx\x=0时的x不会变，则此时减少，表示Wn会变大。
同时在处的第一个零交点在频率轴上移远。
因此，在脉冲宽度或持续时间与脉冲的频率展布之间，有反比关系存在。
用脉冲宽度定义带宽
如（即很窄的脉冲），则大部分信号能量将落在下式的范围内:
？
这个点也当作信号的带宽。
解释：上面三点其实与上升时间越小，对应带宽越大的关系是一致的。
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱
频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号；因为Cn是复数。
幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线；
相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线；
功率谱就是功率与频率之间的关系曲线。
周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱（以频率Wn为x轴、幅值Cn 为y轴）
按傅立叶公式1中定义，可知每个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第0个频率点即基波，它的频率=2Pi/T。T是时域信号的周期，
所以基波频率=时域信号的时钟频率，基波表示时域信号的直流分量。
从频谱图也能看出，相邻各谐波频率之间间隔为,它就是基波角频率。
（角频率与频率之间就是多了个2pi的关系，那么基波频率就是时域信号的频率）W0在傅立叶级级数中用常数a0表示。周期=2pi/W0.
一次谐波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，频率是基波频率的2倍。
二次谐波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，频率是基波频率的3倍。
。。。
所以：频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数。
基波的定义是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的量。