2.1.1椭圆及其标准方程(1)导学案----崔永庆(1)
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 北师大版选修11
2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？答案笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?答案只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在.梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点. 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2，∴a 2＝8. 又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4，0)和(4，0)，由椭圆的定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程.跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2，0)和(0，1).解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).由椭圆的定义知， 2a ＝ －322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).又椭圆经过点(2，0)和(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程 例2 求经过(2，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142两点的椭圆的标准方程. 解 方法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).同理，得a 2＝4，b 2＝8，而a 2<b 2，与焦点在y 轴上矛盾. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.方法二 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ). 将点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答.跟踪训练2 求经过A (0，2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程.解 方法一 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4b 2＝1，122a 2＋32b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去.当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4a 2＝1，32a 2＋122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1.类型二 椭圆方程中参数的取值范围 例3 “方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A.1<m <32B.1<m <2C.2<m <3D.1<m <3答案 A 解析 要使方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆.求α的取值范围.解 x 2sin α＋y 2cos α＝1， 可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.类型三 椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积.解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， ①由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4， ②①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20， ③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3).∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长.解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量.(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练 4 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.1.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2.已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0，1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆.若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________. 答案y 216＋x 2＝1 解析 由已知得2a ＝8，2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.5.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， 所以|F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.40分钟课时作业一、选择题1.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆. ∵c ＝1，a ＝2.∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y2cos α＝1是表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( ) A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)答案 C解析 ∵焦点在y 轴上，∴cos α>sin α， 即sin(π2－α)>sin α，又α∈(0，π2)，∴π2－α>α，即α∈(0，π4).3.曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( ) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上. 对于曲线x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴25－k >9－k >0， ∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同.∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，即两者焦距相等.故选B.4.椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A.2B.4C.8D.32 答案 B解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.5.设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段 答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆.6.已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3 答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，① 又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ， h ＝223＝33. 二、填空题7.若椭圆的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________.答案 x 225＋y 216＝1 解析 如图，∵△ABF 2的周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 8.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________________________________. 答案 4或8解析 (1)当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4，解得m ＝4.(2)当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝8，∴m ＝4或8.9.若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (8，25)解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8<m <25. 10.已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3 解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S V ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题 11.P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程.解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 点在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b2＝1 (a >b >0). 12.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0). ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0).∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝－4＋52＋32＋－4－52＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.13.已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0，1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值. 解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝522＋322－222×52×32＝35.。
高中数学选修2-1：2.1.1椭圆及其标准方程 导学案(无答案)
导学案授课题目（章节或主题）2.1.1椭圆及其标准方程授课时间第周授课时数学时3教学课型理论新授课√□实验课□习题课□讨论课□实习（践）课□其它□教学目标与要求：(1)正确理解椭圆的概念(2)了解椭圆的标准方程推导过程，掌握椭圆标准方程的两种标准形式，并能求出基本的椭圆方程。
教学重点：椭圆概念及其标准方程。
教学难点：根据椭圆概念推导椭圆标准方程以及区别椭圆的焦点在不同坐标轴下得标准方程。
教学方法（请打√选择）：讲授法□讨论法□演示法□自学辅导法□练习法(习题或操作)□读书指导法□[来源学科网ZXXK]案例法□其他□教学媒体（请打√选择）：教材□板书□实物□标本□挂图□模型□多媒体□幻灯□录像□CAI（计算机辅助教学）□教学过程设计（包括讲授内容、讲授方法、时间分配、媒体选用、板书设计等）： 一、呈现目标（1)正确理解椭圆的概念(2)了解椭圆的标准方程推导过程，掌握椭圆标准方程的两种标准形式，并能求出基本的椭圆方程。
二、达成目标1、课题导入：人造卫星运行的轨迹、花坛. 问题一 探究椭圆的概念（设计意图：激发学生的思维，通过讨论得出椭圆的概念） 复习：圆的概念是什么？我们如何确定圆的标准方程？ 问题1：你能画出圆的图像吗？问题2：如果把细绳两端拉开一定距离，分别固定在两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？若把直线拉直，两端固定，你得到的又是什么几何图形？结论：我们把平面内与两个定点2,1F F 的距离之和等于常数a 2（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离21F F 叫做椭圆的焦距。
如果把直线拉直，得到的是一条线段。
问题3：若把直线拉直，两端固定，你得到的又是什么几何图形？问题:4：如果a 2<21F F 得到的又是什么图形？ 师生活动：学生在画的过程中体会椭圆的特点问题二 根据椭圆的概念探究椭圆上的动点轨迹方程？ （设计意图:培养学生自主探究的能力）问题1：还记得以前学过的两点之间的距离公式吗？()()2211,,,y x B y x A 如何求AB ？ 问题2：以前我们如何确定圆的标准方程？圆心在什么地方的圆最简单？ 问题3：我们怎样建立坐标系才能使椭圆的方程最简单？ 推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）① 建系：以1F 和2F 所在直线为轴，线段21F F 的中点为原点,线段21F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy ； ② 点：设是椭圆上任意一点，设，则，；③ 定义：得板书设计(1)到两定点（2,1F F ）的距离之和等于定长（2a ）的点的集合，两个定点2,1F F 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离21F F 叫做焦距。
椭圆及其标准方程导学案(第1课时)
§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。
（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。
2.1.1椭圆及其标准方程(1课时)导学案
会宁中学高二年级数学学科导学案(文理通用)课题： 椭圆及其标准方程（1）编号 1-1 2.1.1 主备人 审核人 使用人【学习目标】理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程【自主学习】[教材助读]:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆.问题2：写出椭圆上的点满足的关系式问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。
两个定点的距离用______表示。
问题4：指出图中的哪些线段的长度是a__________________问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式__________________________[预习自测] 1、设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、42、 椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程为_________________________3、 椭圆192522=+y x 的焦点坐标____________________________ 4、椭圆13610022=+y x 上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是 5、已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程为( ) A 、 12422=+y x B 、12322=+y x C 、1222=+y x D 、12622=+y x【合作探究】探究一：椭圆的基本量根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值1．椭圆1642222=+y x 则a= ,b= ,c= 。
2．椭圆1522=+y x 则a= ,b= ,c= 。
3．椭圆8222=+y x 则a= ,b= ,c= 。
探究二：椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上．【自主检测】1下列说法中正确的是（ ）A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或一条直线D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段2.下列哪些是椭圆方程?如果是,请指出其焦点所在的坐标轴．①400251622=+y x ②1251622=-x y ③14422=+y x ④19422-=-x y ⑤24322=+y x 3．椭圆19422=+y x 的焦点坐标是（ ） A ．()0,5± B ．()5,0± C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,65 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,365 4．椭圆1422=+y m x 的焦距等于2，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．85．若方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） Ａ、.a>3 B 、a<-2 C 、a>3或a<-2 Ｄ、a>3或-6<a<-26.已知椭圆两焦点的坐标分别为(0,4),(0，-4)，且椭圆经过点(5,0)，求椭圆的方程。
椭圆导学案
椭圆及其标准方程（1）（1）从具体情境中抽象出椭圆的模型；（2）掌握椭圆的定义，能用坐标法求椭圆的标准方程；1.教材助读，预习课本32~34P P 的内容，记录下疑惑之处，并思考下列问题：（1）我们知道，到一个定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆，那么到两个定点的距离之和等于定长的动点的轨迹是什么？动动手，做教材32P 中的演示.（2）椭圆的定义：把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离（2c ）叫做 . （3）如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？有几种建立坐标系的方式?（4）椭圆的标准方程：2）2（1）已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F 、2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． （2）根据下列椭圆方程，写出,,a b c 的值，并指出焦点的坐标：（1）221169y x +=； （2） 2212516y x +=； 答：（1）a = ；b = ；c = （2）a = ；b = ；c = 焦点坐标 焦点坐标 3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究在椭圆标准方程的推导过程中，思考以下问题： (1）在标准方程的推导过程中，引入了222b a 、b 、c 的含义吗？答：（2）在椭圆的定义中，强调了22a c >；若22a c =动点的轨迹是什么？若22a c <呢？答：（3）当焦点在y 轴时，椭圆的方程是什么？※ 典型例题【例】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点坐标分别是)0,4(-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； ＊（2）两焦点的坐标分别是)2,0(-、(0,2)，并且椭圆经过点)25,23(-.※ 动手试试练：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4=a ，2b =，焦点在x 轴上； （2）4=a ，c =，焦点在y 轴上三、我的收获 ※ 当堂检测：1. 已知6,5a b ==，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 （ ）A .2213635y x += B . 2213625y x += C . 2213536y x += D . 2212536y x += 2. 如果椭圆22110036y x +=上一点到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 A . 8 B . 14 C . 16 D . 203. 椭圆221169y x +=的左、右焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B ，则2ABF ∆的 周长为 .xxxx椭圆及其标准方程（2）（1）掌握点的轨迹的求法；（2）进一步熟练掌握椭圆的定义及标准方程； .1．教材助读：（1）如何求动点的轨迹？ （2）椭圆与圆的关系是什么？2.预习自测（1）下列哪些是椭圆方程？如果是，请指出其焦点所在的坐标轴．①22342x y +=； ②221259y x +=； ③22144y x +=； ④22183y x +=-. 答：（2）在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ． （3）方程2231kx y +=的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的范围是 .3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上． ※ 典型例题【例1】在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？【例2】设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积＊变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练：一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、我的收获 ※ 当堂检测 1．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠2．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 3. 设,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．课后作业1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.1.2 椭圆及其简单几何性质（1）（1）通过对椭圆标准方程的讨论，理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；（2）掌握e c b a ,,,的几何意义及相互关系．P 37~ P 40填写下表）2椭圆2212516y x +=的几何性质呢？范围：x ： ，y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴长为 ；短轴长为 ；离心率： ce a== ．离心率：刻画椭圆 程度．（椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<）． 3．我的疑惑：二、探究·合作·展示 ※典型例题【例1】 求椭圆22916144x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：已知椭圆方程是221981x y +=，则其长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 ． 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆22195x y +=有相同的焦点，且离心率为2；（2）长轴长等到于20，离心率等于35．3．我的疑惑：（1）经过点(0),P Q -； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ．19．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
学案9：2.1.1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．教材新知知识点1 椭圆的定义思维导航思维导航在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出椭圆呢？给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？新知导学1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为______________________________．也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的_____等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，_______间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为__________，当常数小于|F1F2|时，轨迹_______．牛刀小试1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，(1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______.(2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是_______.知识点2 椭圆的标准方程思维导航思维导航1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．答：求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x 轴经过两个定点F 1、F 2，并且使坐标原点为线段F 1F 2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．2．在推导椭圆方程时，为何要设|F 1F 2|＝2c ，常数为2a ？为何令a 2－c 2＝b 2？答：在求方程时，设椭圆的焦距为2c (c >0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a (a >0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单．令a 2－c 2＝b 2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？答：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．4．椭圆的标准方程 ，参数a 、b (a >b >0)有什么意义？方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1有何不同？a 、b 、c 满足什么关系？答：a 表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a 、b 、c 的关系如图．当a >b >0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，方程y 2a 2＋x 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．牛刀小试2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．44．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过点(3，－5)．命题方向1 椭圆的定义例1 (1)椭圆x 225＋y 216＝1上一点M 到一个焦点的距离为4，则M 到另一个点的距离为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．2(2)如果方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．3<m <4B ．m >72C ．3<m <72D ．72<m <4 方法规律总结1.由椭圆的标准方程可求a 、b 、c 的值，进而可求焦点坐标等．2.椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上．3.当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑可否利用定义求解．跟踪训练1(1)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)椭圆x 225＋y 29＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 2交椭圆于P 、Q 两点，则△PQF 1的周长为__________.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4，32)；(3)经过两点(2，－2)，(－1，142)．方法规律总结 求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ))，避免讨论；②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，且过点(－32，52)，则椭圆的标准方程为__________.(2)已知椭圆经过点(3，12)，(152，－14)，求其标准方程．命题方向3 焦点三角形问题例3 如图所示，已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．方法规律总结 在解焦点三角形问题时，一般有两种方法：(1)几何法：利用两个关系式：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；②利用正余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|的关系式，然后求出|PF 1|，|PF 2|.但是，一般我们不直接求出，而是根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体来处理．(2)代数法：将P 点坐标设出来，利用条件，得出点P 的坐标间的关系式，再由点P 在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点P 的纵坐标，然后求出面积．跟踪训练3已知椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．方法规律总结如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．跟踪训练4已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．参考答案新知导学1．连结这两点的线段的垂直平分线2．和 焦点 两焦点 线段|F 1F 2| 不存在牛刀小试1．【答案】 (1)以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆 (2)线段F 1F 2【解析】 (1)因为|F 1F 2|＝8且动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10>8＝|F 1F 2|，由椭圆定义知，动点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆．(2)因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2.牛刀小试2．【答案】 C【解析】 ∵椭圆方程为x 225＋y 2169＝1， ∴椭圆焦点在y 轴上，又∵a ＝13，b ＝5，∴c ＝12，∴椭圆焦点坐标为(0，±12)．3．【答案】 B【解析】 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.4．解：(1)椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得2a ＝8，得a ＝4.又因为c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7.因此，所求椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得c ＝4.因为c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝b 2＋16. ①因为点(3，－5)在椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.将①式代入②，得5b 2＋16＋3b 2＝1， 解得b 2＝4(b 2＝－12舍去)．由①得a 2＝4＋16＝20.因此，所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 命题方向1 椭圆的定义例1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)设椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，不妨令|MF 1|＝4， 由|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，得|MF 2|＝10－|MF 1|＝10－4＝6，故选B ．(2)由题意，得4－m >m －3>0，∴3<m <72. 跟踪训练1【答案】 (1)B (2)20【解析】 (1)若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时， 可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．(2)如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝10，∴△PQF 1的周长等于|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝|PF 1|＋|PF 2|＋|QF 1|＋|QF 2|＝4a ＝20.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)解法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6.又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝32.∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. 解法二：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 18a 2＋16b 2＝1a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝32. ∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. (3)解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝11a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在.综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 解法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，(1，142)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4A ＋2B ＝1A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝18B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 跟踪训练2(1)【答案】y 210＋x 26＝1 【解析】(定义法)由椭圆的定义知，2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2＝210， ∴a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝6.又∵椭圆的焦点在y 轴上，∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)解：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，把点(3，12)，(152，－14)分别代入方程， 列方程组为⎩⎨⎧ 3A ＋B 4＝1，15A 4＋B 16＝1，解得A ＝14，B ＝1， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1. 命题方向3 焦点三角形问题 例3 解：在椭圆y 25＋x 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25 ① 由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4 ②①式两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3. 跟踪训练3 【答案】 A【解析】 解法一：几何法如图，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝64. 由此可得|PF 1||PF 2|＝18，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝9.解法二：代数法设点P 坐标为(x ，y )，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∵PF 1⊥PF 2，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即：x 2＋y 2＝16，又∵点P 在椭圆上，所以x 225＋y 29＝1， 联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，解得：y ＝±94， ∴S △F 1PF 2＝12|F 1F 2||y P |＝12×8×94＝9. 命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．跟踪训练4解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M和内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x264＋y248＝1.。
椭圆及其标准方程导学案
2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
高中数学人教B版选修1-1导学案：2.1.1椭圆及其标准方程Word版
2.1.1椭圆及其标准方程学习目标：1使学生掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程2 让学生能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程德育目标：通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对立统一的思想重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因活动一：自主预习，知识梳理一、椭圆的定义平面内与两个定点2,1F F 的 等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个 叫做椭圆的焦点， 的距离21F F 叫做椭圆的焦距.二、椭圆的标准方程活动二：问题探究，若椭圆定义中的≤a 221F F ，则动点的轨迹是什么图形呢？活动三：要点导学，合作探究要点一：椭圆的定义及其应用例1：（1）设定点)3,0(),3,0(21F F -,动点),(y x P 满足条件)0(21>=+a a PF PF ，则动点P的轨迹为（ ）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在（2）椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 练习：（1）已知2,1F F 是定点，821=F F ，动点M 满足821=+PF PF ，则点M 的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段（2）直线AB 过椭圆14922=+y x 的左焦点,1F ，交椭圆于A,B 两点，则2ABF ∆的周长是要点二 求椭圆的标准方程例2：根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3, 0），椭圆上一点P 与两个焦点的距离的和等于8；（2） 两个焦点的坐标分别为（0，-4），（0,4），并且椭圆经过点（5,3-）（3） 焦点在y 轴上，且经过点（0,2），（1,0）（4） 经过点)2,3(),1,32(--Q P练习：P37练习A要点三 椭圆中的焦点三角形例3：已知椭圆的两焦点为P F F ),0,2(),0,2(21-在椭圆上且21212PF PF F F +=,(1) 求此椭圆的方程(2) 若,6021=∠PF F 求21PF F ∆的面积小结：反思：作业：P38练习B。
2019-2020学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程(一)导学案新人教版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程（一）导学案新人教版选修1-1【学习目标】1、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
2、通过对椭圆标准方程的推导的教学，提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程难点：椭圆的标准方程的推导【课前导学】阅读《选修1-1》课本P32～34的内容后回答下列问题：1、实验探究：取一条定长的细绳,把它的两端都固定在画板的同一点上，套上铅笔，拿紧绳子，移动笔尖，这时笔尖移动的轨迹是______；若把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拿紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是________，移动的笔尖所满足的条件是___________________________________。
2、椭圆定义：平面内与两个______ F 1和F 2的距离之____等于常数( )的点的轨迹；这两定点叫___________，两焦点间的距离叫____________。
3、椭圆的标准方程(1)建系：以___________________为x 轴，________________为y 轴，建立直角坐标系,如图(2)设点：设M (x ，y )是椭圆上任一点，焦距为2c (c >0)，则焦点F 1、F 2的坐标分别是________、_________，设M 到焦点F 1、F 2的距离之和为2a (a >0)。
(3)限制条件：由椭圆定义可知点M 所满足的关系式为：12||||MF MF +=______，(4)由两点间的距离公式得：1MF =__________________，2MF =__________________，故点M 所满足的方程为：_____________________。
(5)化简：通过移项，平方，整理得：22__________x y +=1……① 由椭圆的定义可知道，2a >2c >0，即a >c >0，故2a >2c 。
高中数学选修1-1人教A教案导学案：2.1.1椭圆及其标准方程
2. 1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？．2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3．椭圆的定义：---------------------------------------------------------------- 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做 ----------------。
4. 椭圆标准方程的推导：①建系；以-----------为轴，----------- 为轴，建立直角坐标系，则的坐标分别为：--------------------②写出点集；设P（）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知： ------------------------------③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为：-------------------------- 其中焦点坐标为：--------------------------三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2．推导椭圆的标准方程．1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．b2=a2-c2得：() 222210 x ya ba b+=>>3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．设椭圆的标准方程为--------------------，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上， 代入化简可得标准方程。
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椭圆及其标准方程（一）
学习目标：
1、经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程。
2、能利用椭圆的标准方程解决相关问题。
学习重点：理解椭圆标准方程的推导过程并能灵活运用。
预习学案：
1、坐标法求动点的轨迹方程的步骤
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
2、已知直角ABC 的斜边BC 长度为2，求：直角顶点A 的轨迹方程
课堂学案：
※新知探究:制作模型,取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖，观察画出的轨迹是什么曲线？
思考1：移动的笔尖（动点）满足的条件有哪些？ 总结椭圆定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离 常数（ ）的点的轨迹方程叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ，两定点间的距离叫做椭圆的 思考2：椭圆定义中为什么要加上“大于12F F ”这个条件？如果不加上这个条件，轨迹又是怎样的曲线？
通过建系求出椭圆的标准方程
以 为x 轴， 为y 轴，建立平面直角坐标系xoy
通过推导得出椭圆的轨迹方程为
思考3：观察下图，从中找出表示,a c
思考4：如果椭圆的中心是原点，焦点在y 轴上，那么椭圆的轨迹方程是什么？ ※及时巩固:指出下列椭圆方程中所对应的,,a b c 的数值、焦距、焦点坐标及位置
（1）22
110036
x y += （2）22
195
x y += （3）22
11612
y x += ※典例讲解:已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0）、（2,0），并且经过点（2,3），求它的标准方程。
※课堂演练:练习1：如果椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是
练习2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）4,1,a b ==焦点在x 轴上；
（2）4,a c
==焦点在y 轴上
（3）10,a b c +==
练习3：22
14
x y m +=的焦距是2，则m = 作业学案：
1、椭圆22
125169
x y +=的焦点坐标是 （ ） A. (5,0)± B. (0,5)± C. (0,12)± D. (12,0)±
2、如果方程222x kx +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点坐标分别为（0，-8）和（0,8），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20
（2）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0）（3）焦点在y轴上，且经过两点（0，2）和（1，0）
（4）经过点P
11
(,)
33
，B
1
(0,)
2。